高三数学第一轮复习 二次函数（1）教案 文

课题：二次函数(1)

一、知识梳理

二次函数作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．　

二次函数研究就应从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征．从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法．

1、二次函数解析式的三种形式

一般式：

顶点式：

零点式：存在零点，

则有

2、二次函数的图象和性质

（1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是          ，顶点的坐标      ，因此对任意的实数x，都有                       。

当 时，抛物线开中方向      ，在区间        上是递增，在区间         上 ，是递减，因此抛物线在        处，取得最小值            。

当 时，抛物线开中方向      ，在区间        上是递增，在区间         上 ，是递减，因此抛物线在        处，取得最大值            。

（2）、二次函数的图象与x轴的位置关系：由判别式判定

3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系

一般地，设二次函数，二次方程的根的差别式

 ，我们可以利用二次方程的根求出不等式,或,解集，它们的关系如下表：

二、题型探究

[探究一]二次函数的最值问题

例1：已知函数f(x)=,t为实数，求函数的最小值。

变式：如何求函数的最大值。

[探究二] 二次函数与一元二次方程

例2．若函数是偶函数，则函数的最小值为        ．

解：∵二次函数是偶函数，∴其图像关于轴对称．∴．∴函数的最小值为．

例3：【2014高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是      .

【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．

[探究三] 二次函数与导数

例4． 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是              .

解：由

得，

即，∴

∴，∴切线方程为，即

例5.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为         ．

解：由已知，而，∴

[探究四] 二次函数与恒成立问题

例6.若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是    

            ．

解：由已知对一切实数恒成立．

（1）当时，满足题意；（2）当时，只须解得．

由（1）、（2）得．

练习：若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是    

            ．

解：由已知对一切实数恒成立．

（1）当时，满足题意；（2）当时，只须．解得．

由（1）、（2）得．