高考数学一轮复习总教案：3.4　定积分与微积分基本定理

3.4　定积分与微积分基本定理

典例精析

题型一　求常见函数的定积分[来源:数理化网]

【例1】 计算下列定积分的值.

(1)(x－1)5dx；[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

(2) (x＋sin x)dx.

【解析】(1)因为[(x－1)6]′＝(x－1)5，

所以 (x－1)5dx＝＝.

(2)因为(－cos x)′＝x＋sin x，

所以(x＋sin x)dx＝＝＋1.

【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；

(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；

(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：

①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2f(x)dx；

②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0.

【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx.

【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线

y＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.

又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)

＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x).

所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数，

所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx，

所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0.[来源:www.shulihua.net]

题型二　利用定积分计算曲边梯形的面积

【例2】求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x所围成的平面图形的面积.

【解析】方法一：如图，

由

得交点A(2,2)，B(8，－4)，

则S＝[－(－)]dx＋[4－x－(－)]dx

＝＋

＝＋＝18.

方法二：S＝[(4－y)－]dy

＝＝18.

【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.

【变式训练2】设k是一个正整数，(1＋)k的展开式中x3的系数为，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为　　　　.

【解析】Tr＋1＝C()r，令r＝3，得x3的系数为C＝，解得k＝4.由得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.

所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝.

题型三　定积分在物理中的应用

【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；

(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功.

【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为

s＝v(t)dt＋(－v(t))dt

＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt

=＋＝2.

2秒末所在的位置为

x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝.

所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝.

(2) 物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2.

媒质阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k为比例常数，且k＞0.[来源:www.shulihua.net]

当x＝0时，t＝0；

当x＝a时，t＝t1＝()，

又ds＝vdt，故阻力所做的功为

W阻＝ds ＝kv2·vdt＝kv3dt

＝ k(3bt2)3dt＝kb3t ＝ k.

【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt和W＝F(x)dx这三个公式.

【变式训练3】定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.

【解析】因为F(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.

所以解得B(3,6)，

所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(－3x2＋9x)=9.

总结提高

1.定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数.

2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理.

3.利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；

（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；[来源:www.shulihua.net]

（4）计算定积分，写出答案.