高考数学一轮复习总教案：3.1 导数的应用(一)

3.1导数的应用(一)

典例精析

题型一　求函数f(x)的单调区间[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]

【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间.

【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞).

f′(x)＝2x－a－＝，

①若a≤0，则≤1，f′(x)＝＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞).

②若a＞0，则＞1，

故当x∈(1，]时，f′(x)＝≤0；

当x∈[，＋∞)时，f′(x)＝≥0，

所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，]，f(x)的增区间为[，＋∞).

【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.

【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a的取值范围.[来源:数理化网]

【解析】因为f′(x)＝2x＋－a，f(x)在(0,1)上是增函数，

所以2x＋－a≥0在(0,1)上恒成立，

即a≤2x＋恒成立.

又2x＋≥2(当且仅当x＝时，取等号).

所以a≤2，

故a的取值范围为(－∞，2].[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时⇒f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时⇒f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了.

题型二　求函数的极值

【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.

(1)试求常数a，b，c的值；

(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.

【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

因为x＝±1是函数f(x)的极值点，

所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根.

由根与系数的关系，得

又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.   ③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)由(1)得f(x)＝x3－x，

所以当f′(x)＝x2－＞0时，有x＜－1或x＞1；

当f′(x)＝x2－＜0时，有－1＜x＜1.[来源:www.shulihua.net]

所以函数f(x)＝x3－x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.

所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点x＝x0处取极值的必要条件是f′(x)＝0.但是， 当x0满足f′(x0)＝0时， f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.[来源:www.shulihua.net]

【变式训练2】定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有(　　)

A. f(x1)＜f(x2)        B. f(x1)＞f(x2)

C. f(x1)＝f(x2)        D.不确定

【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋)]＝f(x＋)，即f(－x)＝f(x＋)，所以函数f(x)的图象关于x＝对称.又因为(x－)f′(x)＜0，所以当x＞时，函数f(x)单调递减，当x＜时，函数f(x)单调递增.当＝时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以＞，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2).故选B.

题型三　求函数的最值

【例3】 求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.

【解析】f′(x)＝－x，令－x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

又由f′(x)＝－x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理， 得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－为函数f(x)的极大值.又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－为函数f(x)在[0,2]上的最大值.

【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值.

【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝　　　.

【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立.

当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥－，

设g(x)＝－，则g′(x)＝，

x∈(0，)时，g′(x)＞0，x∈(，1]时，g′(x)＜0.

因此g(x)max＝g()＝4，所以a≥4.

当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为

a≤－，此时g′(x)＝＞0，

g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.

综上可知，a＝4.

总结提高

1.求函数单调区间的步骤是：

(1)确定函数f(x)的定义域D；

(2)求导数f′(x)；

(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间.

2.求函数极值的步骤是：

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值.

3.求函数最值的步骤是：

先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.