专题17 数学中的新定义问题-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题17数学中的新定义问题

一、单选题

1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用定义可知函数为奇函数，根据解析式可得，分三种情况讨论可求得结果.

【详解】

因为，所以，

所以，即，

因为，

当时，，所以，，此时，

当时，，所以，，此时，

当时，，此时，，此时，

所以函数的值域为.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：利用函数为奇函数解题是本题解题关键.

2．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解.当(且p､)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

按照为偶数、为奇数分类，再结合等比数列的前n项和公式即可得解.

【详解】

当为偶数时，；当为奇数时，；

所以数列的前2020项和

.

故选：A.

【点睛】

本题考查了数学文化及等比数列前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

3．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为，动点满足，当不共线时，面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

建立直角坐标系，求出点P的轨迹方程，即可得解.

【详解】

以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图，

则，，设，

，，

整理得，

点P到AB（x轴）的距离最大值为，

所以面积的最大值为.

故选：C.

【点睛】

本题考查了动点轨迹方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

4．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（    ）

A．16 B．9 C．8 D．4

【答案】B

【分析】

根据题意，子集和不可以互换，从子集分类讨论，结合计数原理，即可求解.

【详解】

由题意，对子集分类讨论：

当集合，集合可以是，共4中结果；

当集合，集合可以是，共2种结果；

当集合，集合可以是，共2种结果；

当集合，集合可以是，共1种结果，

根据计数原理，可得共有种结果.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.

5．已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：

①的一个周期是；    ②是非奇非偶函数；

③在单调递减；    ④的最大值大于．

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②④ B．②④ C．①③ D．①②

【答案】A

【分析】

根据函数周期的定义判断①正确，利用特值判断函数是非奇非偶函数，得到②正确，根据取整函数的定义，可以判断在上函数值是确定的一个值，得到③错误，利用得到④正确，从而得到结果.

【详解】

因为，

所以的一个周期是，①正确；

又，④正确；

又，

，

所以，，所以是非奇非偶函数，所以②正确；

当时，，，所以，所以，所以③错误；

综上所以正确的结论的序号是①②④，

故选：A．

【点睛】

该题考查三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数，奇偶性、单调性、周期性的综合应用，属于较难题目.

6．设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；

②函数是“似周期函数”；

③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．

以上正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】

根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.

【详解】

解：①∵“似周期函数”的“似周期”为，

，，

故它是周期为2的周期函数，故①正确；

②若函数是“似周期函数”，则存在非零常数，使，

即恒成立，故成立，但无解，故②错误；

③若函数是“似周期函数”， 则存在非零常数，则，

即恒成立，故恒成立，

即恒成立，

故，故或，故③正确．

所以以上正确结论的个数是2.

故选：C.

【点睛】

本题考查与函数有关的命题的真假判断，正确理解“似周期函数”的定义是解题的关键.

7．我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立，下列判断正确的是（    ）

A．若为“函数”，则不一定成立

B．若为“函数”，则在上一定是增函数

C．函数在上是“函数”

D．函数在上是“函数”

【答案】D

【分析】

对任意的，，总有，令，则，判断A；利用特例法判断B；如果、，设、，则，，可判断C；利用新定义的性质判断D.

【详解】

对任意的，，总有，，

又，，则有成立，

，，，故错误；

，是函数，但不是增函数，故错误；

显然满足条件（1），如果、，则，，；如果、，设、，则，，，不满足条件（2），不是函数，故错误；

显然，满足条件（1），，满足条件（2），是函数，故正确．

故选：．

【点睛】

新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

8．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．

【详解】

，

，

，

在上为“凸函数”，

在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，

，

在上单调递增，

，

，

即.

故选：.

【点睛】

本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．

9．记，设，为平面内的非零向量，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据向量加法减法的几何意义和向量数量积运算，结合排除法解题.

【详解】

对于A选项：考虑，根据向量加法减法法则几何意义知： ，所以A错误；

B选项：根据平面向量数量积可知：不能保证恒成立，

，

所以它们的较小者一定小于等于，所以B错误D正确；

C选项：考虑 ，所以C错误.

故选：D

【点睛】

此题考查向量相关新定义问题，其本质考查向量加减法运算的几何意义，平面向量数量积的运算和辨析，综合性较强，解题中结合排除法得选项.

10．对于向量，把能够使得取到最小值的点称为的“平衡点”.如图，矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交于两点.下列的结论中，正确的是（     ）

A．的“平衡点”为.

B．的“平衡点”为的中点.

C．的“平衡点”存在且唯一.

D．的“平衡点”必为

【答案】D

【分析】

利用“平衡点”的定义、三角形中两边之和大于第三边，对选项进行一一验证．

【详解】

对，、的“平衡点”为线段上的任意一点，故错误；

对，、、的“平衡点”为三角形内部对3条边的张角均为的点，故错误；

对，、、、的“平衡点”是线段上的任意一点，故错误；

对，因为矩形的两条对角线相交于点，延长至，使得，联结，分别交、于、两点，所以、、、的“平衡点”必为，故正确．

故选：．

【点睛】

本题考查“平衡点”的求法，考查对新定义的理解与应用，求解时要注意平面向量知识的合理运用．

11．已知数列满足，，，给出下列两个命题，则（    ）

命题①：对任意和，均有

命题②：存在和，使得当时，均有

注：和分别表示与中的较大和较小者.

A．①正确，②正确 B．①正确，②错误

C．①错误，②正确 D．①错误，②错误

【答案】A

【分析】

命题①先证，再证即可得出命题为真;命题②根据条件，构造指数为等比数列，即可求得，进而判断命题②正确.

【详解】

因为，，对任意和，

所以，，以此类推，，即可得：，

所以所有分母均为大于1的正数，

所以，，以此类推可得，即可得 (当且仅当时等号成立),所以命题命题①为真；

当，即，令，则，

当数列为等比数列符合题意，

则有：，解得：，

当时，， ，当时，均有.

所以，存在和，使得当时，均有，命题②正确.

故选：A

【点睛】

本题考查递推公式构成的新数列问题，考查逻辑推理能力和数学抽象思维，属于难题.

12．意大利数学家斐波那契（1175年—1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为（设是不等式的正整数解，则的最小值为（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】C

【分析】

根据题意，是不等式的正整数解，化简得，即，根据数列的单调性，求出成立的的最小值，即可求出答案.

【详解】

解析：∵是不等式的正整数解，

∴，

∴，

∴，

即

∴，

∴，

∴，

∴，

令，则数列即为斐波那契数列，

，即，

显然数列为递增数列，所以数列亦为递增数列，

不难知道，，且，，

∴使得成立的的最小值为8，

∴使得成立的的最小值为8.

故选：C.

【点睛】

本题考查数列的新定义，以及利用数列的单调性求最值，还根据对数运算化简不等式，考查转化思想和化简运算能力.

13．设数列的前项和是，令，称为数列，，…，的“理想数”，已知数列，，…，的“理想数”为2012，则数列6，，，…，的理想数为（    ）

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017

【答案】A

【分析】

依题意知，2012，可求得S1+S2+…+S502＝2012×52，利用“理想数”的概念知，6，a1，a2，…，a502的“理想数”为，从而可求得答案．

【详解】

解：∵2012，

∴S1+S2+…+S502＝2012×52，

又数列6，a1，a2，…，a502的“理想数”为：

＝6

＝2014．

故选：

【点睛】

本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的应用能力.