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小题专练24-2021届高考数学二轮复习新高考版（含解析）
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这是一份小题专练24-2021届高考数学二轮复习新高考版（含解析），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
小题专练24
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:集合,★)已知集合A={-1,1,2,3,5},B=x∈N1
C.2,3,5 D.-1,1,5
2.(考点:复数,★)若复数z满足(1-i)z=1+2i,则z-在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(-1,1)时,f(x)=lg21-x+a,则f40412=( ).
A.0 B.lg 3 C.lg 5 D.1
4.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=2tanπ7,则cosα-5π14sinα+6π7=( ).
A.3 B.1 C.-1 D.-3
5.(考点:等比数列,★★)已知数列an中,a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a1+a3+a5+a7+a9=( ).
A.31 B.63 C.123 D.1023
6.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若tan∠CF2F1=15,则双曲线的离心率为( ).
A.1611 B.2 C.4 D.4或1611
7.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x1,x2,…,x16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=116?i=116(xi-x-)2≈0.212,其中i=1,2,…,16,则?i=116xi2=( ).(结果保留小数点后三位数字)
A.1584.034 B.1589.134
C.1591.134 D.1594.134
8.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f(x)=sinx+xcosx+x在[-π,π]上的大致图象为( ).
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:立体几何的综合运用,★★)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形,AA1=23,且其外接球O的表面积为20π,则下列说法正确的是( ).
A.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积的最小值为163
B.直四棱柱的对角线长为25
C.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积的最大值为83
D.直四棱柱的外接球的体积为20π3
10.(考点:椭圆,★★)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点,以AB为直径的圆与l相切,则下列结论正确的是( ).
A.直线l的斜率为2
B.椭圆C的长轴长为短轴长的5倍
C.椭圆C的离心率为55
D.|AF2|与点A到直线x=a2c的距离之比为55
11. (考点:三角函数的图象和性质,★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在区间π18,4π9上单调,若f(x)的图象经过点(0,-1),且f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原图象重合,则下列说法正确的是( ).
A.f(x)的周期为π
B.2π3是f(x)的一个极值点
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)在0,π2的值域为[-1,1]
12.(考点:新定义题型,★★★)我们定义这样一种运算“?”:①对任意a∈R,a?0=0?a=a;②对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,根据上述性质,研究函数f(x)=ex-1?e1-x,以下结论正确的是( ).
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在R上单调递减
C.f(x)的最小值为3
D.f223>f232>flog319
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(2,y),b=(1,-1),若|a-b|=|a+b|,则y的值为 .
14.(考点:二项式定理,★★)若(ax+1)(x-1)5的展开式中,x3的系数是20,则a= .
15.(考点:古典概型,★★)定义个位数字比十位数字大,千位数字是偶数,百位数字为奇数的四位数为“特征数”.从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,则这个四位数是“特征数”的概率为 .
16.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,周长为5,bcos C=(2a-c)cos B,则角B= ;若b=2,则△ABC的面积为 .
答案解析：
1.(考点:集合,★)已知集合A={-1,1,2,3,5},B=x∈N1
C.2,3,5 D.-1,1,5
【解析】由题意得B={x∈N|1
2.(考点:复数,★)若复数z满足(1-i)z=1+2i,则z-在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】由(1-i)z=1+2i,可得z=1+2i1-i=(1+2i)(1+i)2=1+3i-22=-12+32i.
z-=-12-32i在复平面内对应的点为-12,-32,位于第三象限.故选C.
【答案】C
3.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(-1,1)时,f(x)=lg21-x+a,则f40412=( ).
A.0 B.lg 3 C.lg 5 D.1
【解析】因为f(x)=lg21-x+a(x∈(-1,1))是奇函数,所以f(0)=lg(2+a)=0,解得a=-1,故当x∈(-1,1)时,f(x)=lg1+x1-x,又因为f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数,所以f40412=f12=lg 3.
【答案】B
4.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=2tanπ7,则cosα-5π14sinα+6π7=( ).
A.3 B.1 C.-1 D.-3
【解析】根据诱导公式,sinα-5π14+π2=cosα-5π14=sinα+π7,所以原式=sinα+π7sinα+6π7=sinαcosπ7+cosαsinπ7cosαsin6π7+sinαcos6π7=sinαcosπ7+cosαsinπ7cosαsinπ7-sinαcosπ7,
分子、分母同时除以cos αcosπ7,得出原式=tanα+tanπ7tanπ7-tanα=-3.
【答案】D
5.(考点:等比数列,★★)已知数列an中,a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a1+a3+a5+a7+a9=( ).
A.31 B.63 C.123 D.1023
【解析】因为an+1=2an,所以数列an为等比数列,公比为2,所以数列a2n-1也为等比数列,公比为2,故a1+a3+a5+a7+a9=1-251-2=31.
【答案】A
6.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若tan∠CF2F1=15,则双曲线的离心率为( ).
A.1611 B.2 C.4 D.4或1611
【解析】由已知得tan∠CF2F1=2bc-2a=15,
又b2=c2-a2,∴64a2-60ac+11c2=0,
∴11e2-60e+64=0,解得e=4或e=1611.
又∵c-2a>0,∴e>2,
∴e=4.
【答案】C
7.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x1,x2,…,x16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=116?i=116(xi-x-)2≈0.212,其中i=1,2,…,16,则?i=116xi2=( ).(结果保留小数点后三位数字)
A.1584.034 B.1589.134
C.1591.134 D.1594.134
【解析】因为x-=116?i=116xi=116×(15×10.02+9.22)=9.97,s=116?i=116(xi-x-)2=116(?i=116xi2-16x-2)≈0.212,
所以?i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134.
【答案】C
8.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f(x)=sinx+xcosx+x在[-π,π]上的大致图象为( ).
【解析】因为f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+-x=-sinx+xcosx+x=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;
因为f(π)=ππ-1>1,所以排除C,D.
故选B.
【答案】B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:立体几何的综合运用,★★)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形,AA1=23,且其外接球O的表面积为20π,则下列说法正确的是( ).
A.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积的最小值为163
B.直四棱柱的对角线长为25
C.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积的最大值为83
D.直四棱柱的外接球的体积为20π3
【解析】因为球O的表面积为20π,所以S=4πR2=20π,解得R=5,则直四棱柱的对角线长为25,且外接球的体积为4π3(5)3=205π3.
设AB=x,BC=y,则x2+y2+12=(25)2,所以x2+y2=8,
所以直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积为23·(2x+2y)=43(x+y)≤46x2+y2=163,体积为23xy≤3(x2+y2)=83,当且仅当x=y=2时取等号.综上,BC正确.
【答案】BC
10.(考点:椭圆,★★)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点,以AB为直径的圆与l相切,则下列结论正确的是( ).
A.直线l的斜率为2
B.椭圆C的长轴长为短轴长的5倍
C.椭圆C的离心率为55
D.|AF2|与点A到直线x=a2c的距离之比为55
【解析】由题意知,直线l:x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心的坐标为(c,0).根据题意,将x=c代入椭圆C的方程得y=±b2a,即圆的半径r=b2a.又圆与直线l相切,所以2bcb2+c2=b2a,化简得2c=b,平方整理得a2=5c2,所以e=ca=55,直线l的斜率为bc=2,2a2b=52,AF2=b2a,点A到直线x=a2c的距离为a2c-c=b2c,所以比值为b2ab2c=ca=55.故ACD正确.
【答案】ACD
11. (考点:三角函数的图象和性质,★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在区间π18,4π9上单调,若f(x)的图象经过点(0,-1),且f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原图象重合,则下列说法正确的是( ).
A.f(x)的周期为π
B.2π3是f(x)的一个极值点
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)在0,π2的值域为[-1,1]
【解析】根据题意,-1=2sin φ,∴φ=-π6,∴f(x)=2sinωx-π6,平移后的函数解析式为g(x)=2sinω(x+π)-π6=2sinωx+ωπ-π6,∴ωπ=2kπ,∴ω=2k,k∈Z,又4π9-π18≤T2=πω,∴ω≤187,故ω=2,∴f(x)=2sin2x-π6,故A正确;令2x-π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π3,k∈Z,当kπ2+π3=2π3时,k无整数解,故B错误;令2x-π6=kπ,k∈Z,得x=kπ2+π12,k∈Z,∵-π≤kπ2+π12≤π,k∈Z,∴k=-2,-1,0,1,故C正确;∵x∈0,π2,2x-π6∈-π6,5π6,∴f(x)∈[-1,2],故D错误.
【答案】AC
12.(考点:新定义题型,★★★)我们定义这样一种运算“?”:①对任意a∈R,a?0=0?a=a;②对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,根据上述性质,研究函数f(x)=ex-1?e1-x,以下结论正确的是( ).
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在R上单调递减
C.f(x)的最小值为3
D.f223>f232>flog319
【解析】由题意,对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,令c=0,得(a?b)?0=0?(ab)+a?0+b?0,化简可得(a?b)?0=a?b=ab+a+b,
所以f(x)=ex-1?e1-x=ex-1+e1-x+1.
对于A,因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确.
对于B,当x<1时,f'(x)=ex-1-e1-x<0;当x>1时, f'(x)=ex-1-e1-x>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故B错误.
对于C,f(x)=ex-1+e1-x+1≥2ex-1·e1-x+1=3,当且仅当x=1时等号成立,故C正确.
对于D,根据A可知,flog319=f(-2)=f(4),又因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,1<223<232<4,所以f223
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(2,y),b=(1,-1),若|a-b|=|a+b|,则y的值为 .
【解析】因为a=(2,y),b=(1,-1),所以a+b=(3,y-1),a-b=(1,y+1).因为|a-b|=|a+b|,所以9+(y-1)2=1+(y+1)2,解得y=2.
【答案】2
14.(考点:二项式定理,★★)若(ax+1)(x-1)5的展开式中,x3的系数是20,则a= .
【解析】因为(ax+1)(x-1)5=ax(x-1)5+(x-1)5,而(x-1)5展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5-r·(-1)r,所以(ax+1)(x-1)5的展开式中x3的系数为aC53(-1)3+C52(-1)2=20,解得a=-1.
【答案】-1
15.(考点:古典概型,★★)定义个位数字比十位数字大,千位数字是偶数,百位数字为奇数的四位数为“特征数”.从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,则这个四位数是“特征数”的概率为 .
【解析】根据题意,由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数共有A44=24个.其中“特征数”的个数的求法可分为三步:第一步考虑千位数字,有C21=2种选择;第二步考虑百位数字,有C21=2种选择;第三步直接按大小顺序安排个位和十位,只有1种选择.故“特征数”有2×2×1=4个.所以从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,这个数是“特征数”的概率为424=16.
【答案】16
16.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,周长为5,bcos C=(2a-c)cos B,则角B= ;若b=2,则△ABC的面积为 .
【解析】由正弦定理可得sin Bcos C=(2sin A-sin C)cos B,
即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Acos B,
所以sin(B+C)=2sin Acos B.
因为sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,sin A≠0,所以cos B=12.
因为0
所以(a+c)2-3ac=4,解得ac=53,
所以S△ABC=12acsin B=5312.
【答案】π3 5312
小题专练24
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:集合,★)已知集合A={-1,1,2,3,5},B=x∈N1
C.2,3,5 D.-1,1,5
2.(考点:复数,★)若复数z满足(1-i)z=1+2i,则z-在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(-1,1)时,f(x)=lg21-x+a,则f40412=( ).
A.0 B.lg 3 C.lg 5 D.1
4.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=2tanπ7,则cosα-5π14sinα+6π7=( ).
A.3 B.1 C.-1 D.-3
5.(考点:等比数列,★★)已知数列an中,a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a1+a3+a5+a7+a9=( ).
A.31 B.63 C.123 D.1023
6.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若tan∠CF2F1=15,则双曲线的离心率为( ).
A.1611 B.2 C.4 D.4或1611
7.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x1,x2,…,x16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=116?i=116(xi-x-)2≈0.212,其中i=1,2,…,16,则?i=116xi2=( ).(结果保留小数点后三位数字)
A.1584.034 B.1589.134
C.1591.134 D.1594.134
8.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f(x)=sinx+xcosx+x在[-π,π]上的大致图象为( ).
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:立体几何的综合运用,★★)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形,AA1=23,且其外接球O的表面积为20π,则下列说法正确的是( ).
A.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积的最小值为163
B.直四棱柱的对角线长为25
C.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积的最大值为83
D.直四棱柱的外接球的体积为20π3
10.(考点:椭圆,★★)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点,以AB为直径的圆与l相切,则下列结论正确的是( ).
A.直线l的斜率为2
B.椭圆C的长轴长为短轴长的5倍
C.椭圆C的离心率为55
D.|AF2|与点A到直线x=a2c的距离之比为55
11. (考点:三角函数的图象和性质,★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在区间π18,4π9上单调,若f(x)的图象经过点(0,-1),且f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原图象重合,则下列说法正确的是( ).
A.f(x)的周期为π
B.2π3是f(x)的一个极值点
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)在0,π2的值域为[-1,1]
12.(考点:新定义题型,★★★)我们定义这样一种运算“?”:①对任意a∈R,a?0=0?a=a;②对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,根据上述性质,研究函数f(x)=ex-1?e1-x,以下结论正确的是( ).
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在R上单调递减
C.f(x)的最小值为3
D.f223>f232>flog319
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(2,y),b=(1,-1),若|a-b|=|a+b|,则y的值为 .
14.(考点:二项式定理,★★)若(ax+1)(x-1)5的展开式中,x3的系数是20,则a= .
15.(考点:古典概型,★★)定义个位数字比十位数字大,千位数字是偶数,百位数字为奇数的四位数为“特征数”.从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,则这个四位数是“特征数”的概率为 .
16.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,周长为5,bcos C=(2a-c)cos B,则角B= ;若b=2,则△ABC的面积为 .
答案解析：
1.(考点:集合,★)已知集合A={-1,1,2,3,5},B=x∈N1
C.2,3,5 D.-1,1,5
【解析】由题意得B={x∈N|1
2.(考点:复数,★)若复数z满足(1-i)z=1+2i,则z-在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】由(1-i)z=1+2i,可得z=1+2i1-i=(1+2i)(1+i)2=1+3i-22=-12+32i.
z-=-12-32i在复平面内对应的点为-12,-32,位于第三象限.故选C.
【答案】C
3.(考点:函数的奇偶性与周期性,★★)已知奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(-1,1)时,f(x)=lg21-x+a,则f40412=( ).
A.0 B.lg 3 C.lg 5 D.1
【解析】因为f(x)=lg21-x+a(x∈(-1,1))是奇函数,所以f(0)=lg(2+a)=0,解得a=-1,故当x∈(-1,1)时,f(x)=lg1+x1-x,又因为f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的函数,所以f40412=f12=lg 3.
【答案】B
4.(考点:三角恒等变换,★★)已知tan α=2tanπ7,则cosα-5π14sinα+6π7=( ).
A.3 B.1 C.-1 D.-3
【解析】根据诱导公式,sinα-5π14+π2=cosα-5π14=sinα+π7,所以原式=sinα+π7sinα+6π7=sinαcosπ7+cosαsinπ7cosαsin6π7+sinαcos6π7=sinαcosπ7+cosαsinπ7cosαsinπ7-sinαcosπ7,
分子、分母同时除以cos αcosπ7,得出原式=tanα+tanπ7tanπ7-tanα=-3.
【答案】D
5.(考点:等比数列,★★)已知数列an中,a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a1+a3+a5+a7+a9=( ).
A.31 B.63 C.123 D.1023
【解析】因为an+1=2an,所以数列an为等比数列,公比为2,所以数列a2n-1也为等比数列,公比为2,故a1+a3+a5+a7+a9=1-251-2=31.
【答案】A
6.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,若tan∠CF2F1=15,则双曲线的离心率为( ).
A.1611 B.2 C.4 D.4或1611
【解析】由已知得tan∠CF2F1=2bc-2a=15,
又b2=c2-a2,∴64a2-60ac+11c2=0,
∴11e2-60e+64=0,解得e=4或e=1611.
又∵c-2a>0,∴e>2,
∴e=4.
【答案】C
7.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x1,x2,…,x16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=116?i=116(xi-x-)2≈0.212,其中i=1,2,…,16,则?i=116xi2=( ).(结果保留小数点后三位数字)
A.1584.034 B.1589.134
C.1591.134 D.1594.134
【解析】因为x-=116?i=116xi=116×(15×10.02+9.22)=9.97,s=116?i=116(xi-x-)2=116(?i=116xi2-16x-2)≈0.212,
所以?i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134.
【答案】C
8.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f(x)=sinx+xcosx+x在[-π,π]上的大致图象为( ).
【解析】因为f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+-x=-sinx+xcosx+x=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;
因为f(π)=ππ-1>1,所以排除C,D.
故选B.
【答案】B
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:立体几何的综合运用,★★)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形,AA1=23,且其外接球O的表面积为20π,则下列说法正确的是( ).
A.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积的最小值为163
B.直四棱柱的对角线长为25
C.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积的最大值为83
D.直四棱柱的外接球的体积为20π3
【解析】因为球O的表面积为20π,所以S=4πR2=20π,解得R=5,则直四棱柱的对角线长为25,且外接球的体积为4π3(5)3=205π3.
设AB=x,BC=y,则x2+y2+12=(25)2,所以x2+y2=8,
所以直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面积为23·(2x+2y)=43(x+y)≤46x2+y2=163,体积为23xy≤3(x2+y2)=83,当且仅当x=y=2时取等号.综上,BC正确.
【答案】BC
10.(考点:椭圆,★★)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2作x轴的垂线,交椭圆C于A,B两点,直线l过椭圆C的左焦点和上顶点,以AB为直径的圆与l相切,则下列结论正确的是( ).
A.直线l的斜率为2
B.椭圆C的长轴长为短轴长的5倍
C.椭圆C的离心率为55
D.|AF2|与点A到直线x=a2c的距离之比为55
【解析】由题意知,直线l:x-c+yb=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心的坐标为(c,0).根据题意,将x=c代入椭圆C的方程得y=±b2a,即圆的半径r=b2a.又圆与直线l相切,所以2bcb2+c2=b2a,化简得2c=b,平方整理得a2=5c2,所以e=ca=55,直线l的斜率为bc=2,2a2b=52,AF2=b2a,点A到直线x=a2c的距离为a2c-c=b2c,所以比值为b2ab2c=ca=55.故ACD正确.
【答案】ACD
11. (考点:三角函数的图象和性质,★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在区间π18,4π9上单调,若f(x)的图象经过点(0,-1),且f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原图象重合,则下列说法正确的是( ).
A.f(x)的周期为π
B.2π3是f(x)的一个极值点
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
D.f(x)在0,π2的值域为[-1,1]
【解析】根据题意,-1=2sin φ,∴φ=-π6,∴f(x)=2sinωx-π6,平移后的函数解析式为g(x)=2sinω(x+π)-π6=2sinωx+ωπ-π6,∴ωπ=2kπ,∴ω=2k,k∈Z,又4π9-π18≤T2=πω,∴ω≤187,故ω=2,∴f(x)=2sin2x-π6,故A正确;令2x-π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π3,k∈Z,当kπ2+π3=2π3时,k无整数解,故B错误;令2x-π6=kπ,k∈Z,得x=kπ2+π12,k∈Z,∵-π≤kπ2+π12≤π,k∈Z,∴k=-2,-1,0,1,故C正确;∵x∈0,π2,2x-π6∈-π6,5π6,∴f(x)∈[-1,2],故D错误.
【答案】AC
12.(考点:新定义题型,★★★)我们定义这样一种运算“?”:①对任意a∈R,a?0=0?a=a;②对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,根据上述性质,研究函数f(x)=ex-1?e1-x,以下结论正确的是( ).
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)在R上单调递减
C.f(x)的最小值为3
D.f223>f232>flog319
【解析】由题意,对任意a,b∈R,(a?b)?c=c?(ab)+a?c+b?c,令c=0,得(a?b)?0=0?(ab)+a?0+b?0,化简可得(a?b)?0=a?b=ab+a+b,
所以f(x)=ex-1?e1-x=ex-1+e1-x+1.
对于A,因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确.
对于B,当x<1时,f'(x)=ex-1-e1-x<0;当x>1时, f'(x)=ex-1-e1-x>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故B错误.
对于C,f(x)=ex-1+e1-x+1≥2ex-1·e1-x+1=3,当且仅当x=1时等号成立,故C正确.
对于D,根据A可知,flog319=f(-2)=f(4),又因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,1<223<232<4,所以f223
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(2,y),b=(1,-1),若|a-b|=|a+b|,则y的值为 .
【解析】因为a=(2,y),b=(1,-1),所以a+b=(3,y-1),a-b=(1,y+1).因为|a-b|=|a+b|,所以9+(y-1)2=1+(y+1)2,解得y=2.
【答案】2
14.(考点:二项式定理,★★)若(ax+1)(x-1)5的展开式中,x3的系数是20,则a= .
【解析】因为(ax+1)(x-1)5=ax(x-1)5+(x-1)5,而(x-1)5展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5-r·(-1)r,所以(ax+1)(x-1)5的展开式中x3的系数为aC53(-1)3+C52(-1)2=20,解得a=-1.
【答案】-1
15.(考点:古典概型,★★)定义个位数字比十位数字大,千位数字是偶数,百位数字为奇数的四位数为“特征数”.从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,则这个四位数是“特征数”的概率为 .
【解析】根据题意,由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数共有A44=24个.其中“特征数”的个数的求法可分为三步:第一步考虑千位数字,有C21=2种选择;第二步考虑百位数字,有C21=2种选择;第三步直接按大小顺序安排个位和十位,只有1种选择.故“特征数”有2×2×1=4个.所以从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,这个数是“特征数”的概率为424=16.
【答案】16
16.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,周长为5,bcos C=(2a-c)cos B,则角B= ;若b=2,则△ABC的面积为 .
【解析】由正弦定理可得sin Bcos C=(2sin A-sin C)cos B,
即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Acos B,
所以sin(B+C)=2sin Acos B.
因为sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,sin A≠0,所以cos B=12.
因为0
所以(a+c)2-3ac=4,解得ac=53,
所以S△ABC=12acsin B=5312.
【答案】π3 5312
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