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小题专练23-2022届高考数学二轮复习新高考版（含解析）
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这是一份小题专练23-2022届高考数学二轮复习新高考版（含解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
小题专练23
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(UA)∩B=( ).
A.{x|-1
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为( ).
A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12
4.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是( ).
A.f(x)=cos(x-1) B.f(x)=-x2+2x
C.f(x)=log2|x-1| D.f(x)=ex-1-e1-x
5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是( ).
A.f(x)=1x B.f(x)=xx2-4
C.f(x)=xx2+1 D.f(x)=x2x2-4
7.(考点:等差数列,★★)已知数列{an}为递增的等差数列,a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,则数列{(-1)nan}的前50项和为( ).
A.50 B.100 C.500 D.2500
8.(考点:均值不等式,★★★)若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是( ).
A.a2+b2+c2≤13
B.a2b+b2c+c2a≤1
C.a4+b4+c4≤abc
D.a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线T于A,B两点,交抛物线T的准线于点M,MA=-2AF,|AB|=163,则下列说法正确的是( ).
A.直线l的倾斜角为120°
B.|MB||FB|=2
C.点F到准线的距离为4
D.抛物线T的方程为y2=4x
10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R上的函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x)>0,若f(a)>f(b),则下列不等式恒成立的是( ).
A.log3|a|>log3|b| B.a3>b3
C.sin|a|>sin|b| D.11+a2<11+b2
11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是矩形, CB=1,C1B1⊥平面AA1B1B,直线A1C与B1C1所成的角的余弦值为33,则下列说法正确的是( ).
A.BB1⊥平面A1B1C1
B.A1C=23
C.三棱锥C-AB1B的外接球的体积为3π2
D.三棱锥C-AB1B的外接球的表面积为3π2
12.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3a7=256,S4-S2=12,则下列结论正确的是( ).
A.an=2n B.a3=a22
C.S3=S22+1 D.Sn=2n-1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x,1).若(a-c)⊥b,则x= .
14.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2AD=4,BC=22,BD=23,则△ABC的面积为 .
15.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是 .(用数字作答)
16.(考点:椭圆,★★★)已知O为坐标原点,过点T(0,-2)的直线l与曲线E:x24+y2=1相交于P,Q两点,当l⊥x轴时,PQ的长为 ;当l不垂直于x轴时,△OPQ的面积的最大值为 .
答案解析：
1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(UA)∩B=( ).
A.{x|-1
【答案】C
2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,1-2i1+i在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】根据题意,1-2i1+i=(1-2i)(1-i)2=-1-3i2,在复平面内对应的点为-12,-32,位于第三象限.故选C.
【答案】C
3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为( ).
A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12
【解析】根据题意,将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为y=sin2x-π6+φ=sin2x-π3+φ,所以-π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ+π3,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π3.故选C.
【答案】C
4.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是( ).
A.f(x)=cos(x-1) B.f(x)=-x2+2x
C.f(x)=log2|x-1| D.f(x)=ex-1-e1-x
【解析】A选项中f(x)在(1,+∞)上无单调性.B选项中f(x)在(1,+∞)上为减函数.D选项中f(x)的图象关于点(1,0)对称.只有C选项符合条件.
【答案】C
5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】∵f(x)=2|x|在[0,+∞)上单调递增,
∴若a>|b|,则f(a)>f(|b|)=f(b),即充分性成立;
若f(a)>f(b),则f(|a|)>f(|b|),即|a|>|b|,解得a>|b|或a<-|b|,即必要性不成立.
故“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件,故选A.
【答案】A
6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是( ).
A.f(x)=1x B.f(x)=xx2-4
C.f(x)=xx2+1 D.f(x)=x2x2-4
【解析】根据图象,x≠±2,所以排除A,C;又函数图象关于原点对称,故选B.
【答案】B
7.(考点:等差数列,★★)已知数列{an}为递增的等差数列,a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,则数列{(-1)nan}的前50项和为( ).
A.50 B.100 C.500 D.2500
【解析】设数列{an}的公差为d,由题意知d>0.
因为a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,
所以有a52=a1·3a14,即(1+4d)2=3(1+13d),整理得16d2-31d-2=0,
解得d=2或d=-116(舍去),
所以(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a49+a50)=d+d+…+d25个=25×2=50.
【答案】A
8.(考点:均值不等式,★★★)若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是( ).
A.a2+b2+c2≤13
B.a2b+b2c+c2a≤1
C.a4+b4+c4≤abc
D.a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2
【解析】对于A,∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac,
∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2=1,∴a2+b2+c2≥13,故A错误;
对于B,∵a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,
∴a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c,即a2b+b2c+c2a≥a+b+c,
∴a2b+b2c+c2a≥1,故B错误;
对于C, ∵a4+b4≥2a2b2,a4+c4≥2a2c2,b4+c4≥2b2c2,
∴a4+b4+c4≥a2b2+a2c2+b2c2,
∵a2b2+b2c2≥2a2b2·b2c2=2ab2c,
a2c2+b2c2≥2a2c2·b2c2=2ac2b,
a2c2+b2a2≥2a2c2·b2a2=2ca2b,
∴a2b2+a2c2+b2c2≥abc(a+b+c)=abc,故C错误;
对于D, ∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2,即a2+b2=(a+b)22,两边开平方得a2+b2≥22a+b=22(a+b),同理可得b2+c2≥22(b+c),c2+a2≥22(c+a),三式相加得a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c)=2,故D正确.
【答案】D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线T于A,B两点,交抛物线T的准线于点M,MA=-2AF,|AB|=163,则下列说法正确的是( ).
A.直线l的倾斜角为120°
B.|MB||FB|=2
C.点F到准线的距离为4
D.抛物线T的方程为y2=4x
【解析】过点A作AH垂直于准线,垂足为H(图略),因为MA=-2AF,所以|MA||AH|=2,|MB||FB|=|MA||AH|=2,所以直线l的斜率为3或-3,故直线l的倾斜角为60°或120°,故A错误,B正确.
设直线l的解析式为y=3x-p2,A(x1,y1),B(x2,y2),M-p2,-3p,
由y=3x-p2,y2=2px,消去y得3x2-5px+34p2=0,所以x1+x2=5p3,x1x2=p24.
所以|AB|=x1+x2+p=5p3+p=163,解得p=2,所以点F到准线的距离为2,抛物线T的方程为y2=4x,故D正确,C错误.故选BD.
【答案】BD
10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R上的函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x)>0,若f(a)>f(b),则下列不等式恒成立的是( ).
A.log3|a|>log3|b| B.a3>b3
C.sin|a|>sin|b| D.11+a2<11+b2
【解析】根据题意,f(x)为偶函数,函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(|a|)>f(|b|).故|a|>|b|,根据对数函数的性质得log3|a|>log3|b|,故A的不等式恒成立;又|a|3>|b|3成立,但不能确定a3>b3恒成立,故B的不等式不恒成立;根据三角函数的性质可知C的不等式也不恒成立;因为|a|>|b|,所以a2>b2,所以11+a2<11+b2,故D的不等式恒成立.故选AD.
【答案】AD
11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是矩形, CB=1,C1B1⊥平面AA1B1B,直线A1C与B1C1所成的角的余弦值为33,则下列说法正确的是( ).
A.BB1⊥平面A1B1C1
B.A1C=23
C.三棱锥C-AB1B的外接球的体积为3π2
D.三棱锥C-AB1B的外接球的表面积为3π2
【解析】根据题意,因为C1B1⊥平面AA1B1B,A1B1,BB1⊂平面AA1B1B,所以C1B1⊥A1B1,C1B1⊥BB1,又BB1⊥A1B1,C1B1∩A1B1=B1,所以BB1⊥平面A1B1C1.故平面AB1B,CB1B,ABC两两垂直,所以三棱锥C-AB1B外接球的直径等于A1C,又B1C1∥BC,所以直线A1C与B1C1所成的角等于直线A1C与BC所成的角或其补角,所以BCA1C=33,所以A1C=3,所以三棱锥C-AB1B的外接球的表面积为4π322=3π,体积为4π3323=3π2,故选AC.
【答案】AC
12.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3a7=256,S4-S2=12,则下列结论正确的是( ).
A.an=2n B.a3=a22
C.S3=S22+1 D.Sn=2n-1
【解析】∵a3a7=256,∴a52=256,解得a5=16.又S4-S2=12,∴a3+a4=12.设等比数列{an}的公比为q(q>0),则a3+a4=a5q2+a5q=16q2+16q=12,解得q=-23(舍去)或q=2,∴a1=a5q4=1624=1,等比数列{an}的通项公式为an=2n-1,故A错误;a3=4,a2=2,故B正确;等比数列的前n项和Sn=2n-1,故D正确;S3=7,S2=3,故C错误.
【答案】BD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x,1).若(a-c)⊥b,则x= .
【解析】因为a-c=(1-x,1),(a-c)⊥b,所以3×(1-x)+(-3)×1=0,解得x=0.
【答案】0
14.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2AD=4,BC=22,BD=23,则△ABC的面积为 .
【解析】在△ABD中,因为AB=4,AD=2,BD=23,所以cos∠BAD=AB2+AD2-BD22AB·AD=12,所以∠BAD=60°,所以∠BCD=120°.
在△BCD中,BC=22,BD=23,由BCsin∠CDB=BDsin∠BCD,得sin∠CDB=BCsin∠BCDBD=22sin120°23=22,则∠CDB=45°,所以∠ABC=45°,
所以S△ABC=12×4×22×22=4.
【答案】4
15.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是 .(用数字作答)
【解析】根据题意,将4名班主任每人分到1个小组,其余8人分到4个小组的分法有C82C62C42C22=2520种,所以不同的分法有2520种.
【答案】2520
16.(考点:椭圆,★★★)已知O为坐标原点,过点T(0,-2)的直线l与曲线E:x24+y2=1相交于P,Q两点,当l⊥x轴时,PQ的长为 ;当l不垂直于x轴时,△OPQ的面积的最大值为 .
【解析】当l⊥x轴时,PQ=2.
当l不垂直于x轴时,设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入x24+y2=1,得(4k2+1)x2-16kx+12=0,
Δ=(16k)2-4×12(4k2+1)=16(4k2-3)>0,即k2>34,
所以x1+x2=16k4k2+1,x1x2=124k2+1.
又PQ=1+k2·x1-x2
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2·16k4k2+12-4×124k2+1
=1+k2·44k2-34k2+1,
点O到直线l的距离d=21+k2,
所以S△OPQ=12d·PQ=44k2-34k2+1.
设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.
因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,且满足Δ>0,
所以△OPQ面积的最大值为1.
【答案】2 1
小题专练23
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(UA)∩B=( ).
A.{x|-1
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为( ).
A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12
4.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是( ).
A.f(x)=cos(x-1) B.f(x)=-x2+2x
C.f(x)=log2|x-1| D.f(x)=ex-1-e1-x
5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是( ).
A.f(x)=1x B.f(x)=xx2-4
C.f(x)=xx2+1 D.f(x)=x2x2-4
7.(考点:等差数列,★★)已知数列{an}为递增的等差数列,a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,则数列{(-1)nan}的前50项和为( ).
A.50 B.100 C.500 D.2500
8.(考点:均值不等式,★★★)若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是( ).
A.a2+b2+c2≤13
B.a2b+b2c+c2a≤1
C.a4+b4+c4≤abc
D.a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线T于A,B两点,交抛物线T的准线于点M,MA=-2AF,|AB|=163,则下列说法正确的是( ).
A.直线l的倾斜角为120°
B.|MB||FB|=2
C.点F到准线的距离为4
D.抛物线T的方程为y2=4x
10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R上的函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x)>0,若f(a)>f(b),则下列不等式恒成立的是( ).
A.log3|a|>log3|b| B.a3>b3
C.sin|a|>sin|b| D.11+a2<11+b2
11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是矩形, CB=1,C1B1⊥平面AA1B1B,直线A1C与B1C1所成的角的余弦值为33,则下列说法正确的是( ).
A.BB1⊥平面A1B1C1
B.A1C=23
C.三棱锥C-AB1B的外接球的体积为3π2
D.三棱锥C-AB1B的外接球的表面积为3π2
12.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3a7=256,S4-S2=12,则下列结论正确的是( ).
A.an=2n B.a3=a22
C.S3=S22+1 D.Sn=2n-1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x,1).若(a-c)⊥b,则x= .
14.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2AD=4,BC=22,BD=23,则△ABC的面积为 .
15.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是 .(用数字作答)
16.(考点:椭圆,★★★)已知O为坐标原点,过点T(0,-2)的直线l与曲线E:x24+y2=1相交于P,Q两点,当l⊥x轴时,PQ的长为 ;当l不垂直于x轴时,△OPQ的面积的最大值为 .
答案解析：
1.(考点:集合,★)已知全集U=R,A={x|(x+1)(x-2)>0},B={x|2x≤2},则(UA)∩B=( ).
A.{x|-1
【答案】C
2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,1-2i1+i在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】根据题意,1-2i1+i=(1-2i)(1-i)2=-1-3i2,在复平面内对应的点为-12,-32,位于第三象限.故选C.
【答案】C
3.(考点:三角函数的图象,★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的图象向右平移π6个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的值为( ).
A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12
【解析】根据题意,将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为y=sin2x-π6+φ=sin2x-π3+φ,所以-π3+φ=kπ,k∈Z,所以φ=kπ+π3,k∈Z,又0<φ<π2,所以φ=π3.故选C.
【答案】C
4.(考点:函数的基本性质,★★)下列函数中,满足f(1+x)=f(1-x)且在(1,+∞)上为增函数的是( ).
A.f(x)=cos(x-1) B.f(x)=-x2+2x
C.f(x)=log2|x-1| D.f(x)=ex-1-e1-x
【解析】A选项中f(x)在(1,+∞)上无单调性.B选项中f(x)在(1,+∞)上为减函数.D选项中f(x)的图象关于点(1,0)对称.只有C选项符合条件.
【答案】C
5.(考点:充分、必要条件,★★)已知函数f(x)=2|x|,则对实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】∵f(x)=2|x|在[0,+∞)上单调递增,
∴若a>|b|,则f(a)>f(|b|)=f(b),即充分性成立;
若f(a)>f(b),则f(|a|)>f(|b|),即|a|>|b|,解得a>|b|或a<-|b|,即必要性不成立.
故“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件,故选A.
【答案】A
6.(考点:函数图象的判断,★★)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是( ).
A.f(x)=1x B.f(x)=xx2-4
C.f(x)=xx2+1 D.f(x)=x2x2-4
【解析】根据图象,x≠±2,所以排除A,C;又函数图象关于原点对称,故选B.
【答案】B
7.(考点:等差数列,★★)已知数列{an}为递增的等差数列,a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,则数列{(-1)nan}的前50项和为( ).
A.50 B.100 C.500 D.2500
【解析】设数列{an}的公差为d,由题意知d>0.
因为a1=1且a1,a5,3a14成等比数列,
所以有a52=a1·3a14,即(1+4d)2=3(1+13d),整理得16d2-31d-2=0,
解得d=2或d=-116(舍去),
所以(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a49+a50)=d+d+…+d25个=25×2=50.
【答案】A
8.(考点:均值不等式,★★★)若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则下列不等式成立的是( ).
A.a2+b2+c2≤13
B.a2b+b2c+c2a≤1
C.a4+b4+c4≤abc
D.a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2
【解析】对于A,∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac,
∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2=1,∴a2+b2+c2≥13,故A错误;
对于B,∵a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,
∴a2b+b+b2c+c+c2a+a≥2a+2b+2c,即a2b+b2c+c2a≥a+b+c,
∴a2b+b2c+c2a≥1,故B错误;
对于C, ∵a4+b4≥2a2b2,a4+c4≥2a2c2,b4+c4≥2b2c2,
∴a4+b4+c4≥a2b2+a2c2+b2c2,
∵a2b2+b2c2≥2a2b2·b2c2=2ab2c,
a2c2+b2c2≥2a2c2·b2c2=2ac2b,
a2c2+b2a2≥2a2c2·b2a2=2ca2b,
∴a2b2+a2c2+b2c2≥abc(a+b+c)=abc,故C错误;
对于D, ∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2,即a2+b2=(a+b)22,两边开平方得a2+b2≥22a+b=22(a+b),同理可得b2+c2≥22(b+c),c2+a2≥22(c+a),三式相加得a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c)=2,故D正确.
【答案】D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:抛物线,★)已知过抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线T于A,B两点,交抛物线T的准线于点M,MA=-2AF,|AB|=163,则下列说法正确的是( ).
A.直线l的倾斜角为120°
B.|MB||FB|=2
C.点F到准线的距离为4
D.抛物线T的方程为y2=4x
【解析】过点A作AH垂直于准线,垂足为H(图略),因为MA=-2AF,所以|MA||AH|=2,|MB||FB|=|MA||AH|=2,所以直线l的斜率为3或-3,故直线l的倾斜角为60°或120°,故A错误,B正确.
设直线l的解析式为y=3x-p2,A(x1,y1),B(x2,y2),M-p2,-3p,
由y=3x-p2,y2=2px,消去y得3x2-5px+34p2=0,所以x1+x2=5p3,x1x2=p24.
所以|AB|=x1+x2+p=5p3+p=163,解得p=2,所以点F到准线的距离为2,抛物线T的方程为y2=4x,故D正确,C错误.故选BD.
【答案】BD
10.(考点:函数与导数的综合运用,★★)已知定义在R上的函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x>0时,f'(x)>0,若f(a)>f(b),则下列不等式恒成立的是( ).
A.log3|a|>log3|b| B.a3>b3
C.sin|a|>sin|b| D.11+a2<11+b2
【解析】根据题意,f(x)为偶函数,函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(|a|)>f(|b|).故|a|>|b|,根据对数函数的性质得log3|a|>log3|b|,故A的不等式恒成立;又|a|3>|b|3成立,但不能确定a3>b3恒成立,故B的不等式不恒成立;根据三角函数的性质可知C的不等式也不恒成立;因为|a|>|b|,所以a2>b2,所以11+a2<11+b2,故D的不等式恒成立.故选AD.
【答案】AD
11.(考点:立体几何的综合运用,★★★)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B是矩形, CB=1,C1B1⊥平面AA1B1B,直线A1C与B1C1所成的角的余弦值为33,则下列说法正确的是( ).
A.BB1⊥平面A1B1C1
B.A1C=23
C.三棱锥C-AB1B的外接球的体积为3π2
D.三棱锥C-AB1B的外接球的表面积为3π2
【解析】根据题意,因为C1B1⊥平面AA1B1B,A1B1,BB1⊂平面AA1B1B,所以C1B1⊥A1B1,C1B1⊥BB1,又BB1⊥A1B1,C1B1∩A1B1=B1,所以BB1⊥平面A1B1C1.故平面AB1B,CB1B,ABC两两垂直,所以三棱锥C-AB1B外接球的直径等于A1C,又B1C1∥BC,所以直线A1C与B1C1所成的角等于直线A1C与BC所成的角或其补角,所以BCA1C=33,所以A1C=3,所以三棱锥C-AB1B的外接球的表面积为4π322=3π,体积为4π3323=3π2,故选AC.
【答案】AC
12.(考点:数列基本量的计算,★★)已知各项都为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3a7=256,S4-S2=12,则下列结论正确的是( ).
A.an=2n B.a3=a22
C.S3=S22+1 D.Sn=2n-1
【解析】∵a3a7=256,∴a52=256,解得a5=16.又S4-S2=12,∴a3+a4=12.设等比数列{an}的公比为q(q>0),则a3+a4=a5q2+a5q=16q2+16q=12,解得q=-23(舍去)或q=2,∴a1=a5q4=1624=1,等比数列{an}的通项公式为an=2n-1,故A错误;a3=4,a2=2,故B正确;等比数列的前n项和Sn=2n-1,故D正确;S3=7,S2=3,故C错误.
【答案】BD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(1,2),b=(3,-3),c=(x,1).若(a-c)⊥b,则x= .
【解析】因为a-c=(1-x,1),(a-c)⊥b,所以3×(1-x)+(-3)×1=0,解得x=0.
【答案】0
14.(考点:解三角形,★★)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2AD=4,BC=22,BD=23,则△ABC的面积为 .
【解析】在△ABD中,因为AB=4,AD=2,BD=23,所以cos∠BAD=AB2+AD2-BD22AB·AD=12,所以∠BAD=60°,所以∠BCD=120°.
在△BCD中,BC=22,BD=23,由BCsin∠CDB=BDsin∠BCD,得sin∠CDB=BCsin∠BCDBD=22sin120°23=22,则∠CDB=45°,所以∠ABC=45°,
所以S△ABC=12×4×22×22=4.
【答案】4
15.(考点:排列组合,★★)某中学举行教师趣味运动会,将4名班主任和8名任课老师分成4个小组,每组3人,进行“三人四足”比赛,要求每组有1名班主任,则不同的分组方案种数是 .(用数字作答)
【解析】根据题意,将4名班主任每人分到1个小组,其余8人分到4个小组的分法有C82C62C42C22=2520种,所以不同的分法有2520种.
【答案】2520
16.(考点:椭圆,★★★)已知O为坐标原点,过点T(0,-2)的直线l与曲线E:x24+y2=1相交于P,Q两点,当l⊥x轴时,PQ的长为 ;当l不垂直于x轴时,△OPQ的面积的最大值为 .
【解析】当l⊥x轴时,PQ=2.
当l不垂直于x轴时,设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入x24+y2=1,得(4k2+1)x2-16kx+12=0,
Δ=(16k)2-4×12(4k2+1)=16(4k2-3)>0,即k2>34,
所以x1+x2=16k4k2+1,x1x2=124k2+1.
又PQ=1+k2·x1-x2
=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2
=1+k2·16k4k2+12-4×124k2+1
=1+k2·44k2-34k2+1,
点O到直线l的距离d=21+k2,
所以S△OPQ=12d·PQ=44k2-34k2+1.
设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.
因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,且满足Δ>0,
所以△OPQ面积的最大值为1.
【答案】2 1
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