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初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优质ppt课件
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这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优质ppt课件，共40页。PPT课件主要包含了议一议，BDCE，等边三角形的性质，三线合一，三条边都相等，随堂练习及时巩固，本课小结，等边对等角，解EFBE+CF，理由∵EF∥BC等内容，欢迎下载使用。
等腰三角形两底角的平分线相等
证明：∵AB=AC（已知） ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） 又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线 ∴∠1= ∠ABC ,∠2= ∠ACB ∴∠1=∠2 在△ABD和△ACE中 ∠1=∠2（已证） AB=AC（已知） ∠A=∠A（公共角）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线。求证：BD=CE
∴△ABD≌△ACE(ASA)∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
方法二证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
1、已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高．
等腰三角形两腰上的高相等.
证明：∵ BD、CE是△ABC的高 ∴∠AEC=∠ADB=90° 在△ABD和△ACE中， ∠AEC=∠ADB=90°（已证） ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∴△ABD≌△ACE(AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
2、已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的中线．
等腰三角形两腰上的中线相等.
证明：∵AB=AC（已知） 又∵BD、CE是△ABC的中线 ∴AE= AB AD= AC ∴AE=AD 在△ABD和△ACE中， AE=AD（已证） ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
结论：等腰三角形中的对应线段相等
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论?
证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角) 同理：∠C=∠A∴∠A=∠B=∠C（等量代换）又∵∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A=∠B=∠C＝60°
定理：等边三角形三个内角都相等，且每个内角都等于60°
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC求证：∠A=∠B=∠C=60°
三个内角相等，且为60°
轴对称图形，三条对称轴
一、如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD
∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
二、如图，等边△ABC中，CE为BC的延长线，且CE=CD，求∠E等于多少度？
解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠A=∠ACB=60° ∵ CE=CD(已知) ∴∠E=∠EDC(等边对等角) 又∵∠ACB=∠E+∠EDC=60° ∴∠E=∠EDC=30°
提高训练(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝____；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝____；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0
③如图③，∠DCE＝ n°；④如图④，∠DCE＝ n°；⑤如图⑤，∠DCE＝ n°
三个内角都相等，且为60°
轴对称图形，有三条对称轴
等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的中线相等
等腰三角形中的对应线段相等
课外作业：1、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以PB为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．解：猜想：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.在△ABP和△CBQ中，∵AB＝CB，∠ABP＝∠CBQ，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP＝CQ
2、(12分)如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．
1.1.1 等腰三角形 第3课时等腰三角形的判定与反证法
等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题 的题设和结论分别是什么？我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
条件:等腰三角形,结论:两底角相等
已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D．则∠ADB=∠ADC．∵在△ABD与△ACD中， ∠B＝∠C ，∠ADB＝∠ADC， AD＝AD ，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC．
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.)
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.
例1 已知:如图所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E, 求证△AED是等腰三角形.
证明:∵AB=DC, BD=CA,AD=DA,∴ △ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴ △AED是等腰三角形.
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；
∴∠2＝∠ABO ∠3＝∠ACO
∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO
练习1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
证明：△ABC是等腰三角形．在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。
有3个,分别是△ABC,△ABD,△DBC
2.如图所示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.
证明:连接BC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.
3.如图所示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三角形.
证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C.∵DF⊥AC,∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°.∴∠FEC=∠D. ∵∠FEC=∠BED,∴∠BED=∠D.∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形.
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
再如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.
在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法（reductin t absurdity）。
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
练习1．用反证法证明：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设在△ABC中，∠A，∠B，∠C均大于60°，设∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．所以假设不成立，故△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( )A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角3．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题．你举的反例是____.(写出一个x的值即可)
提高训练：如图所示，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.(1)想想看，你能得到什么结论？(2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则图②中有哪几个等腰三角形？线段EF和EB，FC之间有怎样的关系？(3)若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图③中是否还有等腰三角形？(2)中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．
解：(1)△OBC是等腰三角形(BC为底)或∠BOC＝90°＋ ∠A
(2)等腰三角形有△ABC，△OBC，△BOE，△OCF，△AEF.EF＝EB＋FC
(3)等腰三角形有△BOE，△COF，仍有EF＝EB＋FC.理由：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.又∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠BOE，∠OCB＝∠COF，∴∠BOE＝∠EBO，∠COF＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO.∴EF＝EO＋FO＝EB＋FC
1.有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.)
课后作业：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝________，∠DEC＝________；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变________(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)
课后作业：1,如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°，∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴△ADE的形状是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE的形状是等腰三角形
2.如图，在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于F,求证：△AEF是等腰三角形。
证明：∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠FBD+∠BFD=90O又∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE
∵ ∠BAC=90°,∴∠ABE+∠AEF=90O又∵∠AFE= ∠BFD∴∠AFE=∠AEF∴△AEF是等腰三角形
3.阅读并证明：在一个三角形中，较大的角所对的边较大，较小的角所对的边较小，简称为大角对大边，小角对小边，可用等腰三角形的判定定理给出证明，如图，在△ABC中，∠A＞∠B,求证：BC＞AC.
证明：在∠BAC的内部作∠BAD=∠B,交BC于点D。
∵∠BAD=∠B ∴AD=BD 又∵在△ACD中，AD+CD＞AC 即BD+CD＞AC ∴BC＞AC
4．(7分)如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.求证：重叠部分(即△BDF)是等腰三角形．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.又∵△BDE与△BDC关于BD所在的直线对称，∴∠FBD＝∠DBC，.∴∠ADB＝∠FBD，∴DF＝BF，∴重叠部分(即△BDF)是等腰三角形
5．(7分)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形
等腰三角形两底角的平分线相等
证明：∵AB=AC（已知） ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） 又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线 ∴∠1= ∠ABC ,∠2= ∠ACB ∴∠1=∠2 在△ABD和△ACE中 ∠1=∠2（已证） AB=AC（已知） ∠A=∠A（公共角）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线。求证：BD=CE
∴△ABD≌△ACE(ASA)∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．
方法二证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
1、已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的高．
等腰三角形两腰上的高相等.
证明：∵ BD、CE是△ABC的高 ∴∠AEC=∠ADB=90° 在△ABD和△ACE中， ∠AEC=∠ADB=90°（已证） ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∴△ABD≌△ACE(AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
2、已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的中线．
等腰三角形两腰上的中线相等.
证明：∵AB=AC（已知） 又∵BD、CE是△ABC的中线 ∴AE= AB AD= AC ∴AE=AD 在△ABD和△ACE中， AE=AD（已证） ∠A=∠A（公共角） AB=AC（已知） ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
结论：等腰三角形中的对应线段相等
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?如果AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论?
证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角) 同理：∠C=∠A∴∠A=∠B=∠C（等量代换）又∵∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A=∠B=∠C＝60°
定理：等边三角形三个内角都相等，且每个内角都等于60°
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC求证：∠A=∠B=∠C=60°
三个内角相等，且为60°
轴对称图形，三条对称轴
一、如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:AE=CD
∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD
∴ △ABE≌△CBD
二、如图，等边△ABC中，CE为BC的延长线，且CE=CD，求∠E等于多少度？
解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠A=∠ACB=60° ∵ CE=CD(已知) ∴∠E=∠EDC(等边对等角) 又∵∠ACB=∠E+∠EDC=60° ∴∠E=∠EDC=30°
提高训练(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝____；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝____；(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0
③如图③，∠DCE＝ n°；④如图④，∠DCE＝ n°；⑤如图⑤，∠DCE＝ n°
三个内角都相等，且为60°
轴对称图形，有三条对称轴
等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的中线相等
等腰三角形中的对应线段相等
课外作业：1、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以PB为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．解：猜想：AP＝CQ.证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.在△ABP和△CBQ中，∵AB＝CB，∠ABP＝∠CBQ，BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP＝CQ
2、(12分)如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．
1.1.1 等腰三角形 第3课时等腰三角形的判定与反证法
等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题 的题设和结论分别是什么？我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
条件:等腰三角形,结论:两底角相等
已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D．则∠ADB=∠ADC．∵在△ABD与△ACD中， ∠B＝∠C ，∠ADB＝∠ADC， AD＝AD ，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC．
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.)
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.
例1 已知:如图所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E, 求证△AED是等腰三角形.
证明:∵AB=DC, BD=CA,AD=DA,∴ △ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).∴AE=DE(等角对等边).∴ △AED是等腰三角形.
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；
∴∠2＝∠ABO ∠3＝∠ACO
∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4
∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠1＝∠ABO ∠4＝∠ACO
练习1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
证明：△ABC是等腰三角形．在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°-（72°+36°）=72°．∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。
有3个,分别是△ABC,△ABD,△DBC
2.如图所示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且∠ABD=∠ACE,求证BF=CF.
证明:连接BC,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=∠ACE,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.
3.如图所示,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,求证△DBE是等腰三角形.
证明:∵BA=BC,∴∠A=∠C.∵DF⊥AC,∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°.∴∠FEC=∠D. ∵∠FEC=∠BED,∴∠BED=∠D.∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形.
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
再如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.
在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法（reductin t absurdity）。
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
用反证法来证:证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有一个大于或等于1/5.
练习1．用反证法证明：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设在△ABC中，∠A，∠B，∠C均大于60°，设∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．所以假设不成立，故△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( )A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角3．请举反例说明命题“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题．你举的反例是____.(写出一个x的值即可)
提高训练：如图所示，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.(1)想想看，你能得到什么结论？(2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，则图②中有哪几个等腰三角形？线段EF和EB，FC之间有怎样的关系？(3)若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图③中是否还有等腰三角形？(2)中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．
解：(1)△OBC是等腰三角形(BC为底)或∠BOC＝90°＋ ∠A
(2)等腰三角形有△ABC，△OBC，△BOE，△OCF，△AEF.EF＝EB＋FC
(3)等腰三角形有△BOE，△COF，仍有EF＝EB＋FC.理由：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB.又∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠BOE，∠OCB＝∠COF，∴∠BOE＝∠EBO，∠COF＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO.∴EF＝EO＋FO＝EB＋FC
1.有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.)
课后作业：1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝________，∠DEC＝________；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变________(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)
课后作业：1,如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°，∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴△ADE的形状是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE的形状是等腰三角形
2.如图，在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于F,求证：△AEF是等腰三角形。
证明：∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠FBD+∠BFD=90O又∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE
∵ ∠BAC=90°,∴∠ABE+∠AEF=90O又∵∠AFE= ∠BFD∴∠AFE=∠AEF∴△AEF是等腰三角形
3.阅读并证明：在一个三角形中，较大的角所对的边较大，较小的角所对的边较小，简称为大角对大边，小角对小边，可用等腰三角形的判定定理给出证明，如图，在△ABC中，∠A＞∠B,求证：BC＞AC.
证明：在∠BAC的内部作∠BAD=∠B,交BC于点D。
∵∠BAD=∠B ∴AD=BD 又∵在△ACD中，AD+CD＞AC 即BD+CD＞AC ∴BC＞AC
4．(7分)如图，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F.求证：重叠部分(即△BDF)是等腰三角形．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.又∵△BDE与△BDC关于BD所在的直线对称，∴∠FBD＝∠DBC，.∴∠ADB＝∠FBD，∴DF＝BF，∴重叠部分(即△BDF)是等腰三角形
5．(7分)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形
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