初中28.1 锐角三角函数一等奖教案设计

第二十八章  锐角三角函数

28.1  锐角三角函数

课时3 特殊角的三角函数值

【知识与技能】

　1.能推导并熟记30°,45°,60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.

　2.能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

【过程与方法】

　1.通过探索特殊角的三角函数值的过程,培养学生观察、分析、发现的能力.

　2.通过推导特殊角的三角函数值,了解知识间的联系,提升综合运用数学知识解决问题的能力.

　3.经历特殊角的三角函数值的学习,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

【情感态度与价值观】

　1.在探索特殊角的三角函数值中,学生积极参与数学活动,培养学生独立思考问题的能力.

　2.让学生经历观察、操作等过程,探索特殊三角函数值,让学生获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.

　熟记30°,45°,60°角的三角函数值,能熟练计算含有30°,45°,60°角的三角函数的代数式.

　30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程.

多媒体课件.

导入一:

　如图,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形的草皮面积为多少呢?

　如图,这是一块三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=1.8米,那么这块三角形草皮的面积为多少呢?

　【师生活动】　学生思考后,小组合作交流,回答解决方法,教师点评,导出新课.

　结合学生回答,教师分析:过C点作AB的垂线CD,垂足为D,∵sin A=,∴CD=

ACsin 60°.

　　[过渡语]　AC是已知的,假如sin 60°能够知道,CD就可求,那么这个问题就得到解决.本节课我们就一同来探讨30°,45°,60°角的三角函数值.

导入二:

　【复习提问】

　1.什么是锐角的正弦、余弦、正切?

　2.含30°,45°角的直角三角形有哪些性质?

　3.你还记得我们探究锐角的正弦的概念时所得的30°,45°角的正弦吗?

　4.你还能推导出30°,45°,60°角的其他三角函数值吗?

　[设计意图]　通过生活实际问题导入新课,激发学生的求知欲望,感受生活中处处有数学,复习直角三角形的性质和三角函数的概念,为本节课特殊角的三角函数值的推导打下基础,做好铺垫,让学生从已有的知识体系中很自然地构建出新知识.

　　[过渡语]　探究30°,45°,60°角的三角函数值就是我们本节课要学的内容.

一、实践探究

　思路一

　动手操作:画出含有30°,45°角的直角三角形,分别求出30°,45°,60°角的所有三角函数值.

　【师生活动】　学生画图,根据直角三角形的知识和三角函数的定义,独立推导各三角函数值,然后小组成员交流推导结果,教师提示可以用字母表示三角形的一条边长,然后计算各三角函数值,对学生推导的结果教师作出点评,共同完成下列表格.

　【课件展示】　

　【思考】　观察表格中特殊角的三角函数值,你能发现什么结论?

　【师生活动】　学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.

　【结论】

　(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

　(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,故sin α=

cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.

　(3)0<sin A<1,0<cos A<1.

　思路二

　【思考】　

　(1)在直角三角形中,30°角所对的直角边和斜边之间有什么关系?

　(2)设30°角的对边为k,你能用k表示三角形的各边长吗?

　(3)利用三角函数的定义,分别求出30°,60°角的各三角函数值.

　(4)含有45°角的直角三角形有什么特点?

　(5)设等腰直角三角形的腰长为k,你能用k表示直角三角形的斜边吗?

　(6)利用三角函数的定义,求出45°角各三角函数值.

　【师生活动】　学生逐步回答教师提出的问题,通过计算得出30°,45°,60°角的各三角函数值.师生共同完成下表:

　【课件展示】　

　【思考】　

　(1)观察表格中数据,当锐角α增大时,它的正弦、余弦、正切怎样变化?

　(2)表格中哪些角的三角函数值是相等的?

　(3)根据(2)猜想正确结论.

　(4)观察表格中数据,锐角α的正弦、余弦值与1之间的大小有何关系?

　【师生活动】　学生进行小组讨论,教师巡视中帮助有困难的学生,并对学生的回答作出点评,只要学生说得有理,就要给予肯定和鼓励.

　【结论】

　(1)正弦、正切值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小.

　(2)sin 30°=cos 60°,sin 60°=cos 30°,sin 45°=cos 45°,故sin α=

cos (90°-α),cos α=sin (90°-α),其中α为锐角.

　(3)0<sin A<1,0<cos A<1.

　[设计意图]　学生在教师提出的问题的引导下,完成特殊角的三角函数值的推导,并通过观察得到锐角三角函数的一些性质.学生通过动手画图、计算验证得出结论,让学生经历知识的形成过程,加深对知识的理解和掌握,同时学生之间的讨论、交流,增强了学生之间的合作能力.

二、例题讲解

　　求下列各式的值.

　(1)cos260°+sin260°；

　(2)-tan 45°.

　教师引导思考:

　(1)你知道cos260°与sin260°表示的意义吗?

　(cos260°表示(cos 60°)2,sin260°表示(sin 60°)2)

　(2)cos 60°,sin 60°,cos 45°,sin 45°,tan 45°各等于什么值?

　(3)将各三角函数值代入,计算各代数式的值.

　【师生活动】　教师边提问边解答该题,同时板书解题过程,教师强调易错点.

　解:(1)cos260°+sin260°=+=1.

　(2)-tan 45°=÷-1=0.

　　 (1)如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,BC=,求∠A的度数；

　(2)如图(2),AO是圆锥的高,OB是底面半径,AO=OB,求α的度数.

　【思考】　

　(1)图(1)中,在Rt△ABC中,边长AB,BC与∠A有什么关系?sin A===

　(2)哪个锐角的正弦值等于?sin 45°=

　(3)图(2)中,在Rt△AOB中,OB,AO与α有什么关系?tan α==

　(4)哪个锐角的正切值等于?(tan 60°=)

　【师生活动】　学生独立思考后,小组合作交流,完成解答过程,小组代表板书解题过程,教师点评,师生共同归纳解题方法.

　解:(1)∵sin A===,∴∠A=45°.

　(2)∵tan α===,∴α=60°.

　【归纳】　要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,如果这个值是一个特殊值,那么我们就可以求出这个角的度数.

　[设计意图]　在教师的引导下完成例题的分析和解答,正确认识特殊角的三角函数值,熟练掌握由特殊角求三角函数值,由特殊三角函数值求出对应角的度数,通过探索解题过程,提高学生分析问题、解决问题的能力,通过对题型方法技巧的总结,培养学生归纳总结能力.

　[知识拓展]　(1)结合图形(如图)及其中的数据和三角函数的定义来计算特殊角的三角函数值,从而记住结果.

　(2)对于其他相关角的三角函数值,往往用定义求解,15°,22.5°,75°角等.

　(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°,45°,60°角相关联的其他三角形问题,常常要用特殊角的三角函数值解答.

1.特殊角的三角函数值:

　2.求含有特殊角的三角函数的代数式.

　3.已知特殊的三角函数值求特殊角.

　　第3课时

　1.实践探究

　特殊角的三角函数值

　2.例题讲解

　例1

　例2

一、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

1.cos 60°的值等于　　(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2.计算sin 45°的结果等于　　(　　)

A.　　B.1　　C.　　D.

3.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC是　　(　　)

A.直角三角形　　B.锐角三角形

C.钝角三角形　　D.不能确定

4.点M(-sin 60°,cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是　　(　　)

A.　　B.C.　　D.

5.若α为锐角,且3tan (90°-α)=,则α为　　(　　)

A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.75°

6.若sin α=,则锐角α=　　　　.若2cos α=1,则锐角α=　　　　. 

7.计算sin 30°cos 30°-tan 30°=　　　　. 

8.在△ABC中,若锐角A,B满足+sin B-2=0,则∠C=　　　　. 

9.计算：

(1)|2-|-(2015-π)0+2sin 60°+；

(2)+|1-|-tan 30°.

10.如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6.求BC的长.(结果保留根号)

【能力提升】

11.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于　　　　. 

12.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图,∠AOC=45°,OC=,则点B的坐标为　　　　. 

13.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠B=60°,∠C=45°,BC=2,求AC的长.

【拓展探究】

14.阅读下面的材料,先完成阅读填空,再按要求答题.

sin 30°=,cos 30°=,则sin 230°+cos 230°=　　　　；① 

sin 45°=,cos 45°=,则sin 245°+cos 245°=　　　　；② 

sin 60°=,cos 60°=,则sin 260°+cos 260°=　　　　.③ 

……

观察上述等式,猜想:对任意锐角A,都有sin 2A+cos 2A=　　　　.④ 

(1)如图,在锐角三角形ABC中,利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

(2)已知∠A为锐角(cos A>0)且sin A=,求cos A.

【答案与解析】

1.A解析:cos 60°=.故选A.

2.B解析:sin 45°=×=1.故选B.

3.C解析:由sin A=,cos B=,得∠A=30°,∠B=30°.∵∠A+∠B+∠C=180°,

∴∠C=120°,∴△ABC是钝角三角形.故选C.

4.B解析:∵sin 60°=,cos 60°=,∴点M的坐标为,∴点M关于x轴对称的点的坐标是.故选B.

5.C解析:∵3tan(90°-α)=,∴tan(90°-α)=,∴90°-α=30°,∴α=60°.故选C.

6.45°　60°解析:由sin α=,得α=45°.由2cos α=1,得cos α=,∴α=60°.

7.-解析:sin 30°cos 30°-tan 30°=×-=-.

8.75°解析:由+=0,得cos A-=0,sin B-=0,∴cos A=,sin B=,∴∠A=60°,∠B=45°.又∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=75°.

9.解:(1)原式=2--1+2×+3=1+3=4.　(2)原式=4+-1-3×=4+-1-3=.

10.解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,∠B=45°,∴AD=BD.设AD=x.∵AB=6,∴x2+x2=62,解得x=3,即AD=BD=3.在Rt△ACD中,∠ACD=60°,∴∠CAD=30°,

tan 30°=,即=,∴CD=.∴BC=BD+DC=3+.

11.解析:连接AB.由图可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形,

∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos 60°=.

12.(+1,1)解析:如图,作CD⊥OA于D.由题意可得OA=OC=BC=,∠AOC=45°,

∴CD=OCsin 45°=1,OD=OCcos 45°=1,则点C的坐标为(1,1),则点B的坐标为(+1,1).

13.解:在Rt△ACD中,cos C=,∴CD=ACcos C.∵∠C=45°,∴CD=AC,∴AD=CD=AC.

∵∠B=60°,∴tan B==,∴BD==AC.∵BC=BD+DC=2,∴AC+AC=2,解得AC=3-.

14.解:1　1　1　1　

(1)过点B作BD⊥AC于D.在Rt△ADB中,sin A=,cos A=,由勾股定理得BD2+AD2=AB2,∴+=1,∴sin 2A+cos2A=1.　

(2)∵∠A为锐角(cos A>0),sin A=,sin 2A+cos2A=1,∴cos A==.

　本节课通过复习三角函数的定义,为特殊角的三角函数值的推导打下基础,同时以生活实际问题导入新课,让学生体会数学与生活联系紧密,激发学生的学习兴趣.通过特殊角所在直角三角形边之间的关系及勾股定理和三角函数的定义,推导出特殊角的三角函数值,内容比较简单,学生独立完成后,小组交流答案,通过教师引导填写表格,加深学生对特殊角的三角函数值的记忆,学生动手、动脑,提高了分析问题的能力.例题中求代数式的值,学生独立完成,教师点评,再次加深对特殊角的三角函数值的记忆,整节课课堂气氛活跃,人人学到有价值的数学.

　本节课的重点是探究特殊角的各三角函数值,并能计算和特殊角的三角函数值有关的代数式,学生能够通过自主学习完成本节课的学习,大多数学生在课堂上表现积极活跃,但在推导出特殊角的三角函数值后,没有给学生足够的时间去记忆,应该同桌之间或组内成员之间互相出题,重点考查特殊角的三角函数值的记忆,为后边的学习做好铺垫.