2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第二章 函数 第三节 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

第三节　函数的奇偶性与周期性

A组　基础题组

1.下列函数为奇函数的是(　　)

A.y=  B.y=ex 

C.y=cosx D.y=ex-e-x

2.(2017湖北襄阳模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是(　　)

A.y=-  B.y=3-x-3x 

C.y=x|x|  D.y=x3-x

3.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

4.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是(　　)

A.  B.∪

C.  D.

5.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f的值为(　　)

A. B. C.- D.-

6.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,

f=f.则f(6)=(　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.2

7.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f+f(2)=　　　. 

8.(2016江西鹰潭余江一中月考)已知函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=　　　　. 

9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是　　　　. 

10.已知函数f(x)=是奇函数.

(1)求实数m的值;

(2)若函数f(x)在区间-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.

11.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.

(1)求f(π)的值;

(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积;

(3)写出在(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.

12.(2016安徽江南十校联考)设f(x)=x+sinx(x∈R),则下列说法的是(　　)

A.f(x)是奇函数  B.f(x)在R上单调递增

C.f(x)的值域为R  D.f(x)是周期函数

13.(2016吉林长春模拟)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=(　　)

A.  B.  C.0  D.-

14.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)

A.  B.∪(1,+∞)

C.  D.∪

15.(2015广东惠州六校联考)定义在R上的奇函数f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数g(x)分别满足f(x)=g(x)=log2x(x>0),若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,则实数b的取值范围是(　　)

A.-2,2]    B.∪

C.∪  D.(-∞,-2]∪2,+∞)

16.(2016安徽芜湖一中月考)设f(x)是定义在实数R上的函数,若y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=-1,则f,f,f的大小关系是(　　)

A.f>f>f  B.f>f>f

C.f>f>f  D.f>f>f

17.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为　　　　. 

18.(2016内蒙古包头九中期中)若关于x的函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为　　　　. 

19.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=x,求在0,2014]上使f(x)=-的所有x的个数.

答案全解全析

A组　基础题组

1.D　对于A,定义域不关于原点对称,则y=既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于B,y=ex既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于C,y=cosx是偶函数,故不符合要求;对于D,令y=f(x)=ex-e-x.∵f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),∴y=ex-e-x为奇函数,故选D.

2.C　对于A,y=f(x)=-的定义域为{x|x≠0},满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上不单调;

对于B,y=f(x)=3-x-3x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上是单调减函数;

对于C,y=f(x)=x|x|的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,是定义域R上的单调增函数,满足题意;

对于D,y=f(x)=x3-x的定义域为R,满足f(-x)=-f(x),是奇函数,但在R上不是单调函数.故选C.

3.B　由已知得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),则有解得g(1)=3.

4.C　∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-)=f(),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f().故有2|a-1|<,即|a-1|<,解得<a<,故选C.

5.A　∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)+1]=f(x),即函数f(x)的周期为2,

∴f=f=f=2××=.

6.D　当x>时,由f=f可得当x>0时,f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),又由题意知f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=2,故选D.

7.答案　-2

解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(0)=0,

又∵f(x)的周期为2,

∴f(2)=0,

又∵f=f=-f=-=-2,

∴f+f(2)=-2.

8.答案　-28

解析　∵函数f(x)=为奇函数,

∴g(x)=-f(-x)=-(x2-3x)=-x2+3x,

∴g(-1)=-1-3=-4,

∴f(g(-1))=f(-4)=g(-4)=-16-12=-28.

9.答案　(-2,1)

解析　∵f(x)是奇函数,∴当x<0时,f(x)=-x2+2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象可知f(x)是R上的增函数,所以由f(2-a2)>f(a),得2-a2>a,解得-2<a<1.

10.解析　(1)设x<0,则-x>0,

所以f(x)=x2+mx,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),

即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.

(2)要使f(x)在-1,a-2]上单调递增,

结合f(x)的图象知

所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].

11.解析　(1)由f(x+2)=-f(x),得

f(x+4)=f(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数,

所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),

得f(x-1)+2]=-f(x-1)=f-(x-1)],

即f(1+x)=f(1-x),

故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点对称,则当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形如图所示,设其面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.

(3)函数f(x)的单调递增区间为4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为4k+1,4k+3](k∈Z).

B组　提升题组

12.D　因为f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sinx)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;因为f'(x)=1+cosx≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,故B正确;因为f(x)在R上单调递增,所以f(x)的值域为R,故C正确;f(x)不是周期函数,故选D.

13.A　∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sinx-sinx=f(x),∴f(x)的周期T=2π,

又∵当0≤x<π时,f(x)=0,∴f=0,

∴f=f+sin=0,

∴f=,

∴f=f=f=.故选A.

14.A　当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,

∴f'(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),

∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得<x<1,故选A.

15.B　当x≥0时,0≤f(x)≤1,

∵f(x)是奇函数,

∴f(x)的值域为-1,1].

∵存在实数a,使得f(a)=g(b)成立,]

则-1≤g(b)=log2|b|≤1,

解得-2≤b≤-或≤b≤2,故选B.

16.A　∵y=f(x+1)是偶函数,

∴f(-x+1)=f(x+1),

即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.

∴f=f=f=f,

∵当x≥1时,f(x)=-1,为减函数,

∴当x≤1时,函数f(x)为增函数.

∵<<<1,

∴f<f<f,

∴f>f>f.

17.答案　-10

解析　∵T=2,

∴f=f=-a+1.

∵f==,

f=f,

∴-a+1=,

∴a+b=-1.①

又由题意知f(1)=f(-1),

∴=-a+1,∴b=-2a.②

由①②解得a=2,b=-4,

∴a+3b=-10.

18.答案　2

解析　f(x)==t+,易知函数y=是奇函数,

∵函数f(x)的最大值为M,最小值为N,

∴M-t=-(N-t),则2t=M+N=4,∴t=2.

19.解析　(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

∴f(x)是以4为周期的周期函数.

(2)当0≤x≤1时,f(x)=x,

设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,

∴f(-x)=(-x)=-x.

∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),

∴-f(x)=-x,即f(x)=x.

故f(x)=x(-1≤x≤1).

另设1<x<3,则-1<x-2<1,

∴f(x-2)=(x-2).

∵f(x)是以4为周期的周期函数,

∴f(x-2)=f(x+2)=-f(x),

∴-f(x)=(x-2),

即f(x)=-(x-2)(1<x<3).

∴f(x)=

令f(x)=-(x∈-1,3)),解得x=-1.

∵f(x)是以4为周期的周期函数,

∴使f(x)=-的所有x=4n-1(n∈Z).

令0≤4n-1≤2014(n∈Z),则≤n≤(n∈Z).

∴1≤n≤503(n∈Z),

∴在0,2014]上共有503个x使f(x)=-.