2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第二章 函数 第二节 函数的单调性与最值 Word版含解析

第二节　函数的单调性与最值

A组　基础题组

1.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　)

A.y=  B.y=cosx

C.y=ln(x+1) D.y=2-x

2.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)]<0”的是(　　)

A.f(x)=-x B.f(x)=x3

C.f(x)=lnx D.f(x)=2x

3.函数f(x)=x|x-2|的单调减区间是(　　)

A.1,2]  B.-1,0] 

C.0,2]  D.2,+∞)

4.(2015吉林长春质量检测(二))已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.(-∞,-1]

C.-1,+∞) D.1,+∞)

5.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则(　　)

A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3)

C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)

6.定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈-2,2]的最大值等于(　　)

A.-1 B.1 C.6 D.12

7.已知f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是　　　　. 

8.已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　. 

9.已知f(x)=(x≠a),若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,则a的取值范围为　　　　. 

10.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.

11.已知函数f(x)=ax+(1-x)(a>0),且f(x)在0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.

12.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1] B.1,4]

C.4,+∞) D.(-∞,1]∪4,+∞)

13.(2015云南昆明模拟)记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max{x1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn},则max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}=(　　)

A.  B.1  C.3  D.

14.已知函数f(x)=log2x+,若x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则(　　)

A.f(x1)<0,f(x2)<0  B.f(x1)<0,f(x2)>0

C.f(x1)>0,f(x2)<0  D.f(x1)>0,f(x2)>0

15.(2016山东日照模拟)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(　　)

A.(-1,0)∪(0,1)  B.(-1,0)∪(0,1]  C.(0,1)    D.(0,1]

16.(2016湖南益阳一模)已知函数f(x)的值域为,则函数g(x)=f(x)+的值域为　　　　　　. 

17.(2015山东临沂模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是　　　　. 

18.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是　　　　. 

19.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.

(1)求F(x)的表达式;

(2)当x∈-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.

答案全解全析

A组　基础题组

1.D　选项A中,y==的图象是将y=-的图象向右平移1个单位得到的,故y=在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.

2.A　“∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)]<0”等价于在(0,+∞)上f(x)为减函数,易判断f(x)=-x符合题意,选A.

3.A　f(x)=x|x-2|=结合图象可知函数的单调减区间是1,2].

4.A　因为函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,即a≤1,故选A.

5.A　依题意得f(3)=f(1),因为-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)<f(1)=f(3).

6.C　由已知得,当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,

此时f(x)递增,

当1<x≤2时,f(x)=x3-2,此时f(x)也递增,

又在x=1处f(x)连续,

∴f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.

7.答案　

解析　由题意知

∴∴-1≤a<.

即a的取值范围是.

8.答案　2-3

解析　当x≥1时,x+-3≥2-3=2-3,当且仅当x=,即x=时等号成立,

此时f(x)min=2-3<0;

当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,

此时f(x)min=0.

所以f(x)的最小值为2-3.

9.答案　(0,1]

解析　任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=-=.

∵a>0,x2-x1>0,

∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立.

∴a≤1.

故a的取值范围是(0,1].

10.解析　(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则x2-x1>0,x1x2>0,

∵f(x2)-f(x1)=-

=-=>0,

∴f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(2)∵f(x)在上的值域是,

f(x)在上单调递增,

∴f=,f(2)=2.

易得a=.

11.解析　f(x)=x+,

当a>1时,a->0,此时f(x)在0,1]上为增函数,

∴g(a)=f(0)=;

当0<a<1时,a-<0,此时f(x)在0,1]上为减函数,

∴g(a)=f(1)=a;

当a=1时,f(x)=1,此时g(a)=1.

∴g(a)=∴g(a)在(0,1)上为增函数,在1,+∞)上为减函数,又a=1时,有a==1,∴当a=1时,g(a)取最大值1.

B组　提升题组

12.D　作出函数y=f(x)的图象,如图所示,

由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,2],(4,+∞),所以要使f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a+1≤2或a≥4,即a≤1或a≥4,选D.

13.D　在同一坐标系下作出函数y=x+1,y=x2-x+1,y=-x+6的图象,如图所示,实线部分为函数y=min{x+1,x2-x+1,-x+6}的图象,由图象知max{min{x+1,x2-x+1,-x+6}}=.

14.B　∵函数f(x)=log2x+在(1,+∞)上为增函数,且f(2)=0,∴当x1∈(1,2)时,f(x1)<f(2)=0,

当x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0,即f(x1)<0,f(x2)>0.

15.D　∵f(x)=-x2+2ax在1,2]上是减函数,∴a≤1,又∵g(x)=在1,2]上是减函数,∴a>0,∴0<a≤1.

16.答案　

解析　∵≤f(x)≤,

∴≤≤.

令t=,则f(x)=(1-t2),

令y=g(x),则y=-(t-1)2+1.

∴当t=时,y有最小值;当t=时,y有最大值.

∴g(x)的值域为.

17.答案　0,1)

解析　由题意知g(x)=函数图象如图所示,其递减区间是0,1).

18.答案　(-2,1)

解析　由题意知f(x)在R上是增函数,则由题意得2-a2>a,解得-2<a<1.

19.解析　(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,

∴b=a+1,

∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.

∵对任意实数x均有f(x)≥0成立,

∴∴

∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,

∴F(x)=

(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.

∵g(x)在-2,2]上是单调函数,

∴≤-2或≥2,解得k≤-2或k≥6.

故k的取值范围是(-∞,-2]∪6,+∞).