初中数学人教版九年级下册第二十六章 反比例函数综合与测试优秀习题

人教版九年级数学下册 第二十六章 《反比例函数》压轴综合专练

1．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）请结合图象直接写出不等式kx+b＜的解集；

（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．

2．如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，反比例函数y＝在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD＝4．

（1）求反比例函数解析式；

（2）求点C的坐标．

3．如图，一次函数y＝kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y＝﹣（x＜0）交于点P（﹣1，n），且F是PE的中点．

（1）求直线l的解析式；

（2）若直线x＝a与l交于点A，与双曲线交于点B（不同于A），问a为何值时，PA＝PB？

4．如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．

（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．

（2）点E在线段CD上，S△ABE＝10，求点E的坐标．

5．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，AB∥x轴，OB＝2，双曲线y＝经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．

（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；

（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；

（2）求△OCD的面积．

7．如图，反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，4），直线y＝﹣x+b（b≠0）与双曲线y＝在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．

（1）求k的值；

（2）当b＝﹣2时，求△OCD的面积；

（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ＝S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知点A、P在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y＝x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB＝4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．

（1）求点A的坐标和k的值；

（2）求的值．

9．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上一点（不与B、C两点重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）图象与AC边交于点E．

（1）请用k表示点E，F的坐标；

（2）若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式．

10．如图，已知直线y＝ax+b与双曲线y＝（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．

（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．

（2）若b＝y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB＝BP，求A，B两点的坐标．

（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．

11．如图，一次函数y＝﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），且与y轴相交于点C，与双曲线y＝相交于点P．

（1）求b的值；

（2）作PM⊥PC交y轴于点M，已知S△MPC＝4，求双曲线的解析式．

12．如图，直线y＝k1x+7（k1＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y＝（k2＞0）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为，点C横坐标为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．

13．如图，在平面直角坐标系中，过点A（2，0）的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB＝，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1．

（1）求直线l的表达式；

（2）若反比例函数y＝的图象经过点P，求m的值．

14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为（4，2）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点F的坐标．

15．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+1与反比例函数y＝的图象有两个交点A（﹣1，m）和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E；过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），连接DE．

（1）求k的值；

（2）求四边形AEDB的面积．

参考答案

1．解：（1）把A（1，4）代入y＝得：m＝4，

∴反比例函数的解析式为y＝；

把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；

（2）根据图象得：当0＜x＜1或x＞4时，kx+b＜；

∴不等式kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；

（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，

∵直线AB与x轴交于点C，

∴点C坐标为（5，0），

∵△ABP的面积为6，

∴×PC×4﹣PC×1＝6，

∴PC＝4，

∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．

2．解：（1）∵∠ABO＝90°，S△BOD＝4，

∴×k＝4，解得k＝8，

∴反比例函数解析式为y＝；

（2）∵∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，

∴A点坐标为（4，8），

设直线OA的解析式为y＝kx，

把A（4，8）代入得4k＝8，解得k＝2，

∴直线OA的解析式为y＝2x，

解方程组得或，

∵C在第一象限，

∴C点坐标为（2，4）．

3．解：由P（﹣1，n）在y＝﹣上，得n＝4，

∴P（﹣1，4），

∵F为PE中点，

∴OF＝n＝2，

∴F（0，2），

又∵P，F在y＝kx+b上，

∴，

解得．

∴直线l的解析式为：y＝﹣2x+2．

（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，

∵PA＝PB，

∴点D为AB的中点，

又由题意知A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣，D点的纵坐标为4，

∴得方程﹣2a+2﹣＝4×2，

解得a1＝﹣2，a2＝﹣1（舍去）．

∴当a＝﹣2时，PA＝PB．

4．解：（1）由题意得：，

解得：，

∴A（1，6），B（6，1），

设反比例函数解析式为y＝，

将A（1，6）代入得：k＝6，

则反比例解析式为y＝；

（2）设E（x，0），则DE＝x﹣1，CE＝6﹣x，

∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，

∴∠ADE＝∠BCE＝90°，

连接AE，BE，

则S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE

＝（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC

＝×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1

＝﹣x

＝10，

解得：x＝3，

则E（3，0）．

5．解：（1）∵AB∥x轴，

∴∠ABO＝∠BOD，

∵∠ABO＝∠CBD，

∴∠BOD＝∠OBD，

∵OB＝BD，

∴∠BOD＝∠BDO，

∴△BOD是等边三角形，

∴∠BOD＝60°，

∴B（1，）；

∵双曲线y＝经过点B，

∴k＝1×＝．

∴双曲线的解析式为y＝．

（2）∵∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，

∴∠A＝30°，

∴AB＝2OB，

∵AB＝BC，

∴BC＝2OB，

∴OC＝OB，

∴C（﹣1，﹣），

∵﹣1×（﹣）＝，

∴点C在双曲线上．

6．解：（1）∵OB＝4，OE＝2，

∴BE＝2+4＝6．

∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝＝＝．

∴OA＝2，CE＝3．

∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．

设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，

解得．

故直线AB的解析式为y＝﹣x+2．

设反比例函数的解析式为y＝（m≠0），

将点C的坐标代入，得3＝，

∴m＝﹣6．

∴该反比例函数的解析式为y＝﹣．

（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，

可得交点D的坐标为（6，﹣1），

则△BOD的面积＝4×1÷2＝2，

△BOC的面积＝4×3÷2＝6，

故△OCD的面积为2+6＝8．

7．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣1，4），

∴k＝﹣1×4＝﹣4；

（2）当b＝﹣2时，直线解析式为y＝﹣x﹣2，

∵y＝0时，﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，

∴C（﹣2，0），

∵当x＝0时，y＝﹣x﹣2＝﹣2，

∴D（0，﹣2），

∴S△OCD＝×2×2＝2；

（3）存在．

当y＝0时，﹣x+b＝0，解得x＝b，则C（b，0），

∵S△ODQ＝S△OCD，

∴点Q和点C到OD的距离相等，

而Q点在第四象限，

∴Q的横坐标为﹣b，

当x＝﹣b时，y＝﹣x+b＝2b，则Q（﹣b，2b），

∵点Q在反比例函数y＝﹣的图象上，

∴﹣b•2b＝﹣4，解得b＝﹣或b＝（舍去），

∴b的值为﹣．

8．解：（1）∵点B在直线y＝x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，

∴当y＝﹣1时，x﹣3＝﹣1，解得x＝2，

∴B（2，﹣1）．

设点A的坐标为（2，t），则t＜﹣1，AB＝﹣1﹣t．

∵S△OAB＝4，

∴（﹣1﹣t）×2＝4，

解得t＝﹣5，

∴点A的坐标为（2，﹣5）．

∵点A在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，

∴﹣5＝，解得k＝﹣10；

（2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n），

∴Q（﹣m，n），

∵点P在反比例函数y＝﹣的图象上，点Q在直线y＝x﹣3的图象上，

∴n＝﹣，n＝﹣m﹣3，

∴mn＝﹣10，m+n＝﹣3，

∴＝＝＝＝﹣．

9．解：（1）E（，4），F（6，）；

（2）∵E，F两点坐标分别为E（，4），F（6，），

∴S△ECF＝EC•CF＝（6﹣k）（4﹣k），

∴S△EOF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ECF

＝24﹣k﹣k﹣S△ECF

＝24﹣k﹣（6﹣k）（4﹣k），

∵△OEF的面积为9，

∴24﹣k﹣（6﹣k）（4﹣k）＝9，

整理得，＝6，

解得k＝12．

∴反比例函数的解析式为y＝．

10．解：（1）∵直线y＝ax+b与双曲线y＝（x＞0）交于A（1，3），

∴k＝1×3＝3，

∴y＝，

∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，

∴y2＝＝1，

∴B（3，1），

∵直线y＝ax+b经过A、B两点，

∴解得，

∴直线为y＝﹣x+4，

令y＝0，则x＝4，

∴P（4，0）；

（2）如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，

则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，

∴＝，＝＝，

∵b＝y1+1，AB＝BP，

∴＝，

＝＝，

∴B（， y1）

∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，

∴x1•y1＝•y1，

解得x1＝2，

代入＝，解得y1＝2，

∴A（2，2），B（4，1）．

（3）根据（1），（2）中的结果，猜想：x1，x2，x0之间的关系为x1+x2＝x0．

11．解：（1）∵一次函数y＝﹣（b+2）x+b的图象经过点A（﹣1，0），

∴b+2+b＝0，

解得：b＝﹣1．

（2）过点P作PB⊥MC于点B，如图所示．

将b＝﹣1代入一次函数解析式，得：y＝﹣x﹣1．

当x＝0时，y＝﹣1，

∴点C的坐标为（0，﹣1），

∴OC＝1，

∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA＝1＝OC，

∴∠ACO＝45°．

∵PM⊥PC，

∴△PMC为等腰直角三角形，

∵PB⊥MC，

∴PB＝MC，

∴S△PMC＝CM•PB＝PB2，

∵S△PMC＝4，

∴PB2＝4，即PB＝2或PB＝﹣2（舍去），

∵点P在第二象限，

∴点P的横坐标为﹣2，

当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）﹣1＝1，

∴点P的坐标为（﹣2，1）．

∵双曲线y＝经过点P，

∴k＝﹣2×1＝﹣2，

∴双曲线的解析式为y＝﹣．

12．解：（1）∵当x＝0时，y＝7，当y＝0时，x＝﹣，

∴A（﹣，0）、B（0、7）．

∴S△AOB＝|OA|•|OB|＝×（﹣）×7＝，解得k1＝﹣1．

∴直线的解析式为y＝﹣x+7．

∵当x＝1时，y＝﹣1+7＝6，

∴C（1，6）．

∴k2＝1×6＝6．

∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）∵点C与点D关于y＝x对称，

∴D（6，1）．

当x＝2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整点为（2，4）；

当x＝3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整点为（3，3）；

当x＝4时，反比例函数图象上的点为（4，），直线上的点为（4，3），此时可得整点为（4，2）；

当x＝5时，反比例函数图象上的点为（5，），直线上的点为（5，2），此时，不存在整点．

综上所述，符合条件的整点有（2，4）、（3，3）、（4，2）．

13．解：

（1）∵A（2，0），∴OA＝2．

∵tan∠OAB＝＝，

∴OB＝1，

∴B（0，1），

设直线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，

∴直线l的表达式为y＝﹣x+1；

（2）∵点P到y轴的距离为1，且点P在y轴左侧，

∴点P的横坐标为﹣1，

又∵点P在直线l上，

∴点P的纵坐标为：﹣×（﹣1）+1＝，

∴点P的坐标是（﹣1，），

∵反比例函数y＝的图象经过点P，

∴＝，

∴m＝﹣1×＝﹣．

14．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A，A点的坐标为（4，2），

∴k＝2×4＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

由题意可知，CN＝2AM＝4，ON＝2OM＝8，

∴点C的坐标为C（8，4），

设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，

在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，

解得：x＝5，

∴点B的坐标为B（5，0），

设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣，

根据题意得方程组，

解此方程组得：或

∵点F在第一象限，

∴点F的坐标为F（6，）．

15．解：（1）如图所示，延长AE，BD交于点C，则∠ACB＝90°，

∵一次函数y＝﹣2x+1的图象经过点A（﹣1，m），

∴m＝2+1＝3，

∴A（﹣1，3），

∵反比例函数y＝的图象经过A（﹣1，3），

∴k＝﹣1×3＝﹣3；

（2）∵BD⊥y轴，垂足为点D，且点D的坐标为（0，﹣2），

∴令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+1，

∴x＝，即B（，﹣2），

∴C（﹣1，﹣2），

∴AC＝3﹣（﹣2）＝5，BC＝﹣（﹣1）＝，

∴四边形AEDB的面积＝△ABC的面积﹣△CDE的面积

＝AC×BC﹣CE×CD

＝×5×﹣×2×1

＝．