2021年中考数学：专题17 三角形基础（知识点串讲）

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知识点一 三角形的概念
三角形的概念 ：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类 ：
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点）
（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2） 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
三角形的分类：
三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
三角形的稳定性
三角形具有稳定性
四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
知识点二 与三角形有关的线段
三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线。
知识点三 与三角形有关的角
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
备注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。
三角形的外角和定理：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角
性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
【考查题型】
考查题型一 三角形的分类
【解题思路】三角形的分类的灵活应用
典例1．（2020·河北保定市·九年级一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为( )
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都有可能
变式1-1．（2020·山西模拟）若的三个内角，，满足关系式，则此三角形（ ）
A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形
C．一定有一个内角为45°D．一定有一个内角为60°
考查题型二 三角形稳定性在实际生活中的应用
【解题思路】考查三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；首先，明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形；
典例2.如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．垂线段最短
C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短
变式2-1．（2020·河北唐山市二模）如图一个五边形木架，要保证它不变形，至少要再钉上几根木条（ ）
A．4B．3C．2D．1
变式2-2．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( )
A．B．C．D．
考查题型三 构成三角形三边的条件
【解题思路】查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系
典例3．（2020·江苏徐州市·中考真题）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A．B．C．D．
变式3-1．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
变式3-2．（2020·宁夏中考真题）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
变式3-3．（2020·贵州毕节市·中考真题）已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为( )
A．17B．13C．17或13D．10
变式3-4．（2020·浙江绍兴市·中考真题）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
考查题型四 确定三角形第三边的取值范围
【解题思路】查三角形的三边范围计算,关键牢记三边关系
典例4．（2020·湖南益阳市·中考真题）如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．（2020·山东济宁市·中考真题）已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)，
考查题型五 与三角形高有关的相关计算问题
典例5．（2020·北京海淀区·九年级二模）如图，在中，，通过测量，并计算的面积，所得面积与下列数值最接近的是（ ）
A．B．C．D．
变式5-1．（2019·江苏徐州市一模）如图，在中，，过点C作于点D，已知，，则的长是（ ）
A．5B．C．6D．
变式5-2．（2019·陕西渭南市·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，△ABC的高AD与CE的比为( )
A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1
考查题型六 与三角形中线有关的相关计算问题
典例6．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A．1B．C．D．
变式6-1．如图，AD是的中线，已知的周长为25cm，AB比AC长6cm，则的周长为( )
​
A．19cmB．22cmC．25cmD．31cm
变式6-2．如图，小明在以为顶角的等腰三角形中用圆规和直尺作图，作出过点的射线交于点，然后又作出一条直线与交于点，连接，若的面积为4，则的面积为( )
A．1B．2C．3D．4
考查题型七 与三角形重心有关的计算
【解题思路】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
典例7．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（ ）
A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4
变式7-1．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2
考查题型八 与三角形内角和定理的有关的计算
【解题思路】掌握三角形的内角和定理是解题关键
典例8．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
变式8-1．（2020·四川中考真题）如图所示，直线EFGH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（ ）
A．160°B．110°C．100°D．70°
变式8-2．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个零件的形状如图所示，，则的度数是（ ）
A．70°B．80°C．90°D．100°
变式8-3．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，在中，，，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
考查题型九 利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
典例9．（2020·山东淄博市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
变式9-1．（2020·宁夏中考真题）如图摆放的一副学生用直角三角板，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
变式9-2．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果，那么的度数为（ ）
A．62°B．56°C．28°D．72°
考查题型十 利用三角形外角性质进行相关计算
典例10．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（ ）
A．16°B．28°C．44°D．45°
变式10-1．（2020·海南中考真题）如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式10-2．（2020·辽宁丹东市·中考真题）如图，是的角平分线，过点作交延长线于点，若，，则的度数为（ ）
A．100°B．110°C．125°D．135°