2021年中考数学：专题22 等腰三角形（知识点串讲）

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专题22 等腰三角形【知识要点】等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[【考查题型】考查题型一 等腰三角形的定义【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．典例1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（    ）A．9 B．17或22 C．17 D．22变式1-1．（2020·广西玉林市·中考真题）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（ ）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形变式1-2．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（    ）A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°变式1-3．（2020·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（    ）A．2 B．4 C．8 D．2或4考查题型二 根据等边对等角求角度典例2．（2020·广西中考真题）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）A．60° B．65° C．70° D．75°变式2-1．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，，，，则的度数是 （    ）A． B． C． D．变式2-2．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在中，，，，则（    ）A． B． C． D．变式2-3．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（    ）A．40° B．50° C．60° D．70°考查题型三 根据三线合一求解典例3．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（   ）A．2 B．3 C．4 D．5变式3-1．（2020·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．4变式3-2．（2020·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（　　）A．2 B．2﹣2 C．2+2 D．2考查题型四 格点中画等腰三角形典例4 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（　　）A．4 B．6 C．8 D．10变式4-1．（2020·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考查题型五 根据等角对等边证明等腰三角形典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（　　）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°变式5-1．（2020·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点 O， 且 DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 D、E，则图中等腰三角形的个数为(     )A．2 B．3 C．4 D．5考查题型六 根据等角对等边求边长典例6．（2020·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（    ）A． B． C． D．变式6-1．（2020·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（   ）A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里变式6-2．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（　　）A．3 B．5 C．2 D．6.5考查题型七 等腰三角形性质与判定的综合典例7．（2020·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．变式7-1．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．变式7-2．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）       考查题型八 等边三角形的性质典例8．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（  ）A．1 B． C． D．变式8-1．（2020·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（    ）A． B． C． D．变式8-2．（2019·甘肃天水市·中考真题）如图，等边的边长为2，则点的坐标为(　　)A． B． C． D．考查题型九 等边三角形的性质与判定的综合典例9．（2020·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．变式9-1．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；②在①中所画图形中，＝　　°．（2）（问题解决）如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．考查题型十 含30°角的直角三角形典例10．（2020·海南中考真题）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（  ）A． B． C． D．变式10-1．（2020·湖北中考真题）如图，点在上，，垂足为E．若，，则（    ）A．2 B．4 C． D．变式10-2．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（  ）A． B． C． D．