2021年中考数学：专题29 旋转（知识点串讲）

专题29 旋转

【知识要点】

知识点一 旋转的基础

旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转.点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如图形上的点经过旋转变化点，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.

如图所示，是绕定点逆时针旋转得到的，其中点与点叫作对应点，线段与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度.

【注意】

1.图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.

2.旋转中心可以是图形内，也可以是图形外。

【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角.

旋转的特征：

         对应点到旋转中心的距离相等；

         对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

         旋转前、后的图形全等.

旋转作图的步骤方法：

         确定旋转中心、旋转方向、旋转角；

         找出图形上的关键点；

         连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；

         按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形.

平移、旋转、轴对称之间的联系：

变化后不改变图形的大小和形状，对应线段相等、对应角相等。

平移、旋转、轴对称之间的区别：

1）  变化方式不同：

平移：将一个图形沿某个方向移动一定距离。

旋转：将一个图形绕一个顶点沿某个方向转一定角度。

轴对称：将一个图形沿一条直线对折。

2）  对应线段、对应角之间的关系不同

平移： 变化前后对应线段平行（或在一条直线上），对应点连线平行（或在一条直线上），对应角的两边平行（或在一条直线上）、方向一致。

旋转： 变化前后任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角。

轴对称：对应线段或延长线如果相交，那么交点在对称轴上。

3）确定条件不同

平移：距离与方向

旋转：旋转的三要素。

轴对称：对称轴

知识点二 中心对称与中心对称图形

中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.

如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.

中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

中心对称与中心对称图形的区别与联系：

中心对称的性质：

         中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；

         中心对称的两个图形是全等图形.

作中心对称图形的一般步骤（重点）：

         作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.

         把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.

找对称中心的方法和步骤：

对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：

方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.

方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.

关于原点对称的点的坐标规律

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点

P’(-x，-y)

【考查题型】

考查题型一 根据旋转的性质求解

典例1．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转角，得到，若点恰好在的延长线上，则等于（    ）

A． B． C． D．

变式1-1．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（  ）

A． B． C． D．

变式1-2．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　）

A．2 B． C． D．

变式1-3．（2020·天津中考真题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

考查题型二 画旋转图形

典例2．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请按如下要求画图：

（1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，请画出；

（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为．

变式2-1．（2020·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．

（1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1；

（2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2；

（3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　   　，　   　）中心对称．

变式2-2．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．

（1）作点A关于点O的对称点；

（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；

（3）连接，求出四边形的面积．

考查题型三 旋转后的对称图形

典例3．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是 （    ）

A．等边三角形 B．平行四边形

C．正八边形 D．圆及其一条弦

变式3-1．（2020·吉林九年级三模）如图，该图案绕它的中心至少旋转m度能与自身完全重合，则m的值是（    ）

A．45 B．90 C．135 D．180

变式3-2．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（　　）

A． B．C． D．

考查题型四 旋转后点的坐标

典例4．（2020·湖北黄石市·中考真题）在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

变式4-1．（2020·江苏南通市·中考真题）以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

变式4-2．（2020·山东青岛市·中考真题）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（ ）

A．（0，4） B．（2，-2） C．（3，-2） D．（-1，4）

变式4-3．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（  ）

A． B． C． D．

考查题型五 判断是否中心对称图形

典例5．（2020·柳州市柳林中学中考真题）下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

变式5-1．（2020·山东济南市·中考真题）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．、B．C．、D．

变式5-2．（2020·山东滨州市·中考真题）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

变式5-3．（2020·广东广州市·中考真题）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（  ）

A．该圆锥的主视图是轴对称图形

B．该圆锥的主视图是中心对称图形

C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形

D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

考查题型六 求关于原点对称点的坐标

典例6．（2020·江苏淮安市·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ）

A． B． C． D．

变式6-1．（2019·广西贵港市·中考真题）若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

变式6-2．（2019·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1,2)，B(3,3)．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（    ）

A．(2,-1) B．(1,-2)  C． (-2,1)  D． (-2,-1)

变式6-3．（2019·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为（　　）

A． B．

C． D．

考查题型七 设计图案

典例7．（2020·浙江宁波市·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

变式7-1．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：

（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；

A．矩形    B．正五边形    C．菱形    D．正六边形

（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（    ）个；

A．0    B．1    C．2    D．3

（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．

变式7-2．（2019·四川广安市·中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）

请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）