2021年中考数学：专题19 全等三角形（知识点串讲）

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知识点1 全等三角形及其性质
全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.
特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.
小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
知识点2：全等三角形的判定（重点）
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形周长、面积相等．
证题的思路（重点）：
知识点3 角平分线
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
【考查题型】
考查题型一 全等三角形的性质
典例1．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
变式1-1．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBDD．AD∥BC，且AD＝BC
考查题型二 全等三角形的判定-SSS
典例2．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（ ）
A．B．C．D．
变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
变式2-2．如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．
变式2-3．人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
考查题型三 全等三角形的判定-SAS
典例3．如图，已知．能直接判断的方法是（ ）
A．B．C．D．
变式3-1．如图所示，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起，使AA’、BB’可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A’B’的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA’B’的理由是（ ）
A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边
变式3-2．如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
变式3-3．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
考查题型四 全等三角形的判定-AAS
典例4．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是( )
A．0.5B．1C．1.5D．2
变式4-2．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（ ）
A．△ABC的周长B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长
变式4-3．如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．
变式4-4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
考查题型五 全等三角形的判定-ASA
典例5．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为
A．14B．13C．12D．10
变式5-1．如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．B．6C．D．8
变式5-2．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.
变式5-2．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．
考查题型六 全等三角形的判定-HL
典例6．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
变式6-1．已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE
考查题型七 判定三角形全等的的条件
典例7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①；②；③；④，只选其中一个添加，不能确定的是（ ）

A．①B．②C．③D．④
变式7-1．如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ）
A．B．
C．D．
变式7-2．如图，四边形是菱形，E、F分别是、两边上的点，不能保证和一定全等的条件是（ ）
A．B．C．D．
考查题型八 全等三角形综合问题
典例8．如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
变式8-1．如图，，，．，与交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
变式8-2．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
变式8-3．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
变式8-4．如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．
（1）求证：
（2）若的面积为5，求的面积．
考查题型九 角平分线的性质定理
典例9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
变式9-1．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为( )

A．40°B．35°C．50°D．45°
变式9-2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（ ）
A．2B．2.4C．3D．4
变式9-3．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，那么这个公园应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点
考查题型十 角平分线的判定定理
典例10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
变式10-1．如图，、分别切⊙于、，，⊙半径为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
变式10-2．如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为( )
A．3cmB．3cmC．2cmD．2cm
变式10-3．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等