2021年中考数学：专题19 全等三角形（知识点串讲）

专题19 全等三角形

【知识要点】

知识点1 全等三角形及其性质

全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.   

特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。

全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 

小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.

表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。

全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。

变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

知识点2：全等三角形的判定（重点）

注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

② 全等三角形周长、面积相等．

证题的思路（重点）：

知识点3 角平分线

角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；

判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．

三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。

【考查题型】

考查题型一 全等三角形的性质

典例1．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ）

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE 

C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED

变式1-1．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（    ）

A． B． C． D．

变式1-2．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）

A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等

C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC

考查题型二 全等三角形的判定-SSS

典例2．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（        ）

A． B． C． D．

变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（　　）

A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）

变式2-2．如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

变式2-3．人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：

已知：

求作：的平分线

做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，

（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C

（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：

（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．

①   ② ③   ④

（2）请你证明OC为的平分线．

考查题型三 全等三角形的判定-SAS

典例3．如图，已知．能直接判断的方法是（    ）

A． B． C． D．

变式3-1．如图所示，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起，使AA’、BB’可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A’B’的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA’B’的理由是（    ）

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边

变式3-2．如图，已知，，．

求证：（1）；

（2）．

变式3-3．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

考查题型四 全等三角形的判定-AAS

典例4．如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

变式4-1．如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(   )

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

变式4-2．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长

C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长

变式4-3．如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．

变式4-4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△BDE≌△FAE；

（2）求证：四边形ADCF为矩形．

考查题型五 全等三角形的判定-ASA

典例5．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为　　

A．14 B．13 C．12 D．10

变式5-1．如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（    ）

A． B．6 C． D．8

变式5-2．如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.

求证：BD＝CE.

变式5-2．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．

考查题型六 全等三角形的判定-HL

典例6．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

变式6-1．已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE=CF．求证：△ABF≌△CDE

考查题型七 判定三角形全等的的条件

典例7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①；②；③；④，只选其中一个添加，不能确定的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

变式7-1．如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（    ）

A． B． 

C． D．

变式7-2．如图，四边形是菱形，E、F分别是、两边上的点，不能保证和一定全等的条件是（    ）

A． B． C． D．

考查题型八 全等三角形综合问题

典例8．如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

（1）求证AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

变式8-1．如图，，，．，与交于点．

（1）求证：；

（2）求的度数．

变式8-2．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．

（1）求证：△ABC≌△DCE；

（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

变式8-3．如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．

（1）求证：∠D＝∠2；

（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．

变式8-4．如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．

（1）求证：

（2）若的面积为5，求的面积．

考查题型九 角平分线的性质定理

典例9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（   ）

A．10 B．7 C．5 D．4

变式9-1．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠ACD的度数为(　   　)

A．40° B．35° C．50° D．45°

变式9-2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线BN交AC于点D．若AB＝10，AC＝8，则CD的长是（　　）

A．2 B．2.4 C．3 D．4

变式9-3．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，那么这个公园应建的位置是（    ）

A．三条高线的交点B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点

考查题型十 角平分线的判定定理

典例10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

变式10-1．如图，、分别切⊙于、，，⊙半径为，则的长为（ ）

A． B． C． D．

变式10-2．如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为(　    　)

A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm

变式10-3．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个