2021年中考数学：专题01 有理数（知识点串讲）

专题01 有理数

【思维导图】

【知识要点】

知识点一 有理数基础概念

    有理数（概念理解）

正数：大于0的数叫做正数。

负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。

有理数的分类（两种）（见思维导图）

    数轴  

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

    数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）

任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。

    数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.

【注意】

1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。

    相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）

    绝对值

绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。

绝对值的意义：

正数的绝对值是它本身；

负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0。

（互为相反数的两个数的绝对值相等。）

    比较大小

1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

3）两个负数比较，绝对值大的反而小。

4）两个正数比较，绝对值大的反而大。

常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。

知识点二 有理数四则运算

    有理数的加法（重点）

有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）

4.一个数同0相加，仍得这个数。

有理数的加法运算律：

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即；

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即。

    有理数的减法

有理数的减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即。

注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。

    有理数的加减混合运算

规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算

步骤：（1）减法化加法；

     （2）省略括号和加号；

     （3）运用加法运算律使计算简便；

     （4）运用有理数加法法则进行计算。

 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：

（1）同号的先结合；

（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；

（3）互为相反数的两数相结合；

（4）能凑成整数的两数相结合；

（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。

    有理数的乘法（重点）

有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同0相乘，都得0.

倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）

多个有理数相乘的法则及规律：

（1）           几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；

负因数的个数是偶数时，积是正数。

确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.

注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。

    有理数的乘法运算律

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即。

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即。

乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

即。

    有理数的除法

有理数除法法则：

（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。

（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何不为0的数，都得0。

步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。

    有理数的乘除混合运算

运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。

（注：带分数应首先化为假分数进行运算）

    有理数的四则混合运算

运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。

注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律

知识点三 有理数的乘方

    乘方（重点）

一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。

当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。

乘方的规律：

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

有理数乘方的运算方法：

1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。
2. 计算结果的绝对值。

    有理数的混合运算

运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算,从左到右进行；

（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。

    科学记数法

把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）

把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。

    近似数和有效数字

在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）

一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。

精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。

【考查题型】

考查题型一 有理数概念理解

【解题思路】理解有理数的定义，熟练掌握与正确理解有理数的分类是解题的关键。

典例1．（2020·西安一模）在，，1.62，0四个数中，有理数的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

变式1-1．（2020·南京市模拟）设 a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，a，b，c 三个数的和为（    ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．不存在

变式1-2．（2020·滨州市期末）在下列实数：、、、、、﹣0.0010001中，有理数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考查题型二 用数轴上的点表示有理数

【解题思路】在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.

典例2．（2020·兴化市模拟）如图，数轴上两点A,B表示的数互为相反数，则点B表示的（    ）

A．-6 B．6 C．0 D．无法确定

变式2-1．（2020·三门峡市模拟）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．－1

变式2-2．（2020·福建中考真题）如图，数轴上两点所对应的实数分别为，则的结果可能是（  ）

A． B．1 C．2 D．3

考查题型三 求一个数的相反数

【解题思路】理解相反数的概念

典例3．（2020·吉林中考真题）﹣6的相反数是（　　）

A．﹣6 B．﹣ C．6 D．

变式3-1．（2020·杭州市模拟）A，B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）

A． B．

C． D．

变式3-2．（2020·山东滨州市·中考真题）下列式子中，正确的是（　　）

A．|﹣5|=﹣5    B．﹣|﹣5|=5    C．﹣（﹣5）=﹣5    D．﹣（﹣5）=5

考查题型四 求一个数的绝对值

【解题思路】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

典例4．（2020·甘肃兰州市·中考真题）的绝对值是（    ）

A． B．2020 C． D．

变式4-1．（2020·河北模拟）的值为（    ）

A． B． C． D．2

变式4-2．（2020·北碚区模拟）已知，，且，则的值为（    ）

A．1或7 B．1或-7 C．±1 D．±7

考查题型五 有理数比较大小

【解题思路】理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小。

典例5．（2020·河北模拟）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（　　）

A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2

变式5-1．（2020·江西南昌市模拟）有理数，在数轴上所对应的点的位置如图，下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

变式5-2．（2020·沈阳市模拟）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）

A．点M B．点N C．点P D．点Q

考查题型六 有理数的加减乘除混合运算

【解题思路】针对有理数的混合运算，掌握有理数的运算顺序和各个运算法则是解题关键．

典例6．（2020·新疆中考真题）计算：．

变式6-1．（2020·广西中考真题）计算：．

变式6-2．（2020·浙江模拟）计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

考查题型七 科学记数法

【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

典例7．（2020·甘肃兰州市中考真题）据中国电子商务研究中心发布年度中国共享经济发展报告显示，截止2017年12月，共有190家共享经济平台获得亿元投资，数据亿元用科学记数法可表示为　　

A．元                     B．元 

B．C．元 D．元

变式7-1．（2020·北京中考真题）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（    ）

A． B． C． D．

变式7-2．（2020·山东济南市·中考真题）2020年6月23日，我国的北斗卫星导航系统（BDS）星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　）

A．0.215×108 B．2.15×107

C．2.15×106 D．21.5×106