2021年中考数学：专题03 一元一次方程（知识点串讲）

专题03 一元一次方程

【思维导图】

【知识要点】

知识点一 一元一次方程的基础

等式的概念：用等号表示相等关系的式子。

注意：

1.等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是运算律、运算法则等。

2.不能将等式和代数式概念混淆，等式含有等号，表示两个式子相等关系，而代数式不含等号，你只能作为等式的一边。

方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。

特征：它含有未知数，同时又是—个等式。

一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是已知数且a≠0）

【特征】

1. 只含有一个未知数x

2. 未知数x的次数都是1

3. 等式两边都是整式，分母中不含未知数。

方程的解的概念：能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。

知识点二 等式的性质（解一元一次方程的基础）

等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

      表示为：如果a=b，则a±c=b±c

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。

表示为：如果 a=b，那么ac = bc
如果 a=b(c≠0)，那么 =

【注意事项】

1．等式两边都要参加运算，并且是同一种运算。　　　　　　　　　　          

2．等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。

3．等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.

4. 等式左右两边互换，所得结果仍是等式。

知识点三 解一元一次方程

合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用。

移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（依据：等式的性质1）

去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号。

去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数。

解一元一次方程的基本步骤：

知识点四 实际问题与一元一次方程

用方程解决实际问题的步骤：

审：理解并找出实际问题中的等量关系;

设：用代数式表示实际问题中的基础数据;

列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;

解：求解;

验：考虑求出的解是否具有实际意义;

答：实际问题的答案.

【考查题型】

考查题型一 一元一次方程概念的应用

【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．

典例1．（2019·四川中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）

A．9 B．8 C．5 D．4

变式1-1．（2019·内蒙古中考真题）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为_____．

变式1-2．（2019·四川南充市·中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）

A．9 B．8 C．5 D．4

考查题型二 解一元一次方程

【解题思路】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．

典例2．（2020·重庆中考真题）解一元一次方程时，去分母正确的是（    ）

A． B．

C． D．

变式2-1．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（    ）．

A． B．1 C．0 D．2

变式2-2．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）解方程：

考查题型三 配套问题和工程问题

【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系，依次作为列方程的依据.

【工程问题解题关键】常把总工作量看做1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题

典例3．（2020·哈尔滨市模拟）某车间有27名工人，每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓，每个螺栓配套两个螺母，若分配x个工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程中正确的是（　　）

A．22x＝64（27﹣x） B．2×22x＝64（27﹣x）

C．64x＝22（27﹣x） D．2×64x＝22（27﹣x）

变式3-1．（2019·黑哈尔滨市二模）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为（　　）

A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）

C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）

变式3-2．（2019·山西阳泉市模拟）在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190元，那么还缺少330元钱；如果每9家共出270元，又多了30元钱. 问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？若设有x户人家，则可列方程为（  ）

A． B．

C． D．

变式3-3．（2020·广西南宁市一模）某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

变式3-4．（2019·浙江杭州市·中考真题）已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生x人，则    （    ）

A．                     B． 

B．C． D．

变式3-5．（2019·哈尔滨市模拟）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调人到甲队，列出的方程正确的是（    ）

A．B．C．D．

考查题型四 销售盈亏问题

销售金额=售价×数量

利润= 商品售价-商品进价

利润率=（利润÷商品进价）×100%

现售价 = 标价×折扣

售价 = 进价×（1+利润率）

典例4．（2020·长沙市一模）随着传统节日“端午节”临近，某超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的活动，将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售，仍可获利20%，则该超市该品牌粽子的标价为__元．（　　）

A．180 B．170 C．160 D．150

变式4-1．（2020·广东深圳市模拟）某商贩在一次买卖中，以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中，该商贩（    ）

A．不赔不赚 B．赚元 C．赔元 D．赚元

变式4-2．（2020·长沙市二模）中国总理李克强2020年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（    ）

A．40% B．20% C．60% D．30%

考查题型五 比赛积分问题

比赛总场数=胜场数+负场数+平场数

比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分

典例5．（2019·大庆市模拟）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

变式5-1．（2019·武汉市模拟）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题得-1分，某同学做完了25道题，共得70分，那么他做对的题数是（   ）

A．17道 B．18道 C．19道 D．20道

变式5-2．（2019·广东深圳市模拟）在2018﹣2019赛季英超足球联赛中，截止到3月12号止，蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场，其它场次全部保持不败．共取得了74个积分暂列积分榜第一位．已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设曼城队一共胜了x场，则可列方程为（　　）

A．3x+（30﹣x）＝74 B．x+3 （30﹣x）＝74

C．3x+（26﹣x）＝74 D．x+3 （26﹣x）＝74

考查题型六 方案选择问题

结合实际，分情况讨论，给出合理建议。

典例6．（2020·北京朝阳区二模）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如下表：

例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）=940元. 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为

A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡 C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡

变式6-1．（2019哈尔滨市模拟）某校在举办“读书月”的活动中，将一些图书分给了七年一班的学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本：如果每人分4本，则还缺25本．若设该校七年一班有学生x人，则下列方程正确的是(　　)

A．3x﹣20＝24x+25 B．3x+20＝4x﹣25

C．3x﹣20＝4x﹣25 D．3x+20＝4x+25

变式6-2．（2019·山西大同市模拟）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（　　）

A．20 B．22 C．25 D．20或25

考查题型七 顺逆流问题

船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度

船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度

船顺水的行程=船逆水的行程

典例7．（2020·哈尔滨市二模）一轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了小时．已知水流速度为千米时，设轮船在静水中的速度为千米时，根据题意可列方程为（    ）

A．B．C．D．

变式7-1．（2020·盐城市模拟）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是：(    )

A． B．

C． D．

变式7-2．（2019·河北模拟）沿河两地相距S千米，船在静水中的速度为 a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所需时间是（　　）

A．小时 B．小时 C．（）小时 D．（）小时

考查题型八 数字问题的应用题

②     一个两位数，十位数字是a，个位数字是b，那么这个数可表示为10a+b

②一个三位数，百位数字是x, 十位数字是y，个位数字是z，那么这个数可表示为100x+10y+z

典例8．（2020·江苏盐城市中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（  ）

A． B． C． D．

变式8-1．（2020·浙江金华市中考真题）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（  ）

A． B．

C． D．

变式8-2．（2020·浙江模拟）将连续的奇数1,3,5,7,9，…排成如图所示的数表，则十字形框中的五数之和能等于2012吗？能等于2015吗？(    )

A．能，能 B．能，不能 C．不能，能 D．不能，不能

考查题型九 行程问题（路程=速度*时间）

相遇问题：甲路程+乙路程=两地距离  

追及问题：快者的行程-慢者的行程=初始距离

典例9．（2020·内蒙古呼和浩特市中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（    ）

A．102里 B．126里 C．192里 D．198里

变式9-1．（2020·山东东营市中考真题）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（  ）

A．里 B．里 C．里 D．里

变式9-2．（2020·广西玉林市模拟）小元步行从家去火车站，走到 6 分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3 分钟．小元离家路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图，从家到火车站路程是(         )

A．1300 米 B．1400 米 C．1600 米 D．1500 米