人教版八年级下册17.1 勾股定理精品单元测试习题

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专题17.9第17章勾股定理单元测试（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•安居区期末）下列几组数中，为勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．12，16，18
C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解析】A、42+52≠62，不是勾股数；
B、122+162≠182，不是勾股数；
C、72+242＝252，是勾股数；
D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整数，不是勾股数．
故选：C．
2．（2020春•吴忠期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．5
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB=AC2-BC2=22-12=3，
故选：B．
3．（2019秋•南江县期末）一个三角形的三边长分别为a2+b2，a2﹣b2，2ab，则这个三角形的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．形状不能确定
【分析】根据勾股定理的逆定理可以推知该三角形是直角三角形．
【解析】∵该三角形的三边长分别为a2+b2，a2﹣b2，2ab，且a2+b2＞2ab，a2+b2＞a2﹣b2，
∴（a2﹣b2）2+（2ab）2＝a4﹣2a2b2+b4+4a2b2＝（a2+b2）2，
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
4．（2020秋•长春期末）如图，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（　　）

A．7 B．10 C．20 D．25
【分析】由正方形的面积公式可知S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，由此可求S3．
【解析】在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝9，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．
故选：D．
5．（2020秋•会宁县期末）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠C＝∠A﹣∠B
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】A、由b2﹣c2＝a2，可得：b2＝c2+a2，是直角三角形，故本选项错误；
B、由a：b：c＝5：12：13，可得（5x）2+（12x）2＝（13x）2，是直角三角形，故本选项错误；
C、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形，故选项正确；
D、由∠C＝∠A﹣∠B，可得∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
故选：C．
6．（2020秋•建平县期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【解析】A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
7．（2020秋•兰州期末）若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
【分析】化简等式，可得a2+b2＝c2，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．
【解析】∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故选：A．
8．（2019秋•镇江期中）如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即62+82=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．
【解析】如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，
∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即62+82=10（cm），
∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm，
故选：C．
9．（2019秋•建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（　　）

A．36 B．9 C．6 D．18
【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，
∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵EM＝3，
∴EF＝3+3＝6，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．
故选：A．

10．（2019秋•滨海县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）

A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解析】根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2，
∴12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•邛崃市期末）在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，则AB2＝　225或63　．
【分析】本题需要分类讨论：①当BC边为斜边时，利用勾股定理可得AB2；②当AB边为斜边时，利用勾股定理可得AB2．
【解析】①当BC边为斜边时，利用勾股定理可得：AB2＝BC2﹣AC2＝122﹣92＝63；
②当AB边为斜边时，利用勾股定理可得：AB2＝BC2+AC2＝122+92＝225，
故答案为：225或63．
12．（2019秋•沭阳县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝　8　．
【分析】由勾股定理可得结论．
【解析】由勾股定理得：BC=AB2-AC2=102-62=8，
故答案为：8．
13．（2020春•西城区校级期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是　17　cm2．

【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
【解析】根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49．
∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；
故答案为：17．

14．（2019秋•苏州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为　36　．

【分析】作△ABC关于AC的对称△AEC，延长BD交AE于点F，则∠EAC＝∠BAC，BC＝EC，证出BF＝AF，∠AFD＝90°，证△BFE≌△AFD（AAS），得BE＝AD＝12，则BC＝EC＝6，由三角形面积公式即可得出答案．
【解析】作△ABC关于AC的对称△AEC，延长BD交AE于点F，如图所示：
则∠EAC＝∠BAC，BC＝EC，
∵∠ABD＝2∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝45°＝∠ABD，
∴BF＝AF，
∠AFD＝90°，
∴BFE＝90°，
∵∠EBF+∠E＝∠DAF+∠E＝90°，
∴∠EBF＝∠DAF，
在△BFE和△AFD中，∠BFE=∠AFD=90°，∠EBF=∠DAFBF=AF，
∴△BFE≌△AFD（AAS），
∴BE＝AD＝12，
∴BC＝EC＝6，
∴△ABD的面积=12AD×BC=12×12×6＝36；
故答案为：36．

15．（2019秋•长春期末）如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝　9　．

【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值．
【解析】∵△ABC为直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，
∴S3＝S1+S2，
则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，
故答案为：9
16．（2020春•碑林区校级期末）图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为　81　cm2．

【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解析】∵正方形的边长为152-122=9（cm），
∴此正方形的面积为92＝81（cm2），
故答案为：81．
17．（2019秋•常州期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的边AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，记△ABF、△BEC，△ADC的面积分别是S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的数量关系是　12S1＝S2+S3　

【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∵△ABF、△BEC、△ADC都是等腰直角三角形，
∴S1=12AB2，S2=12EC2=14BC2，S3=12AD2=14AC2，
S2+S3=14BC2+14AC2=14AB2，
∴S2+S3=12S1，
故答案为：12S1＝S2+S3．
18．（2020春•金牛区期末）如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，将△BDE绕点B逆时针旋转后得到△BD'E'，当点E'恰好落在直线AD'上时，AE'＝m，DE＝n，则△AD'C的面积为　(m+n)22或(m-n)22　．

【分析】分两种情况：①△BDE绕点B逆时针旋转小于90°时，连接CE′，由SAS证得△ABD′≌△CBE′，得出∠AD′B＝∠CE′B＝45°，AD′＝CE′，证CE′⊥AD′，AD′＝AE′+D′E′＝m+n，由三角形面积公式即可得出结果；
②△BDE绕点B逆时针旋转大于90°时，连接CE′，由SAS证得△ABD′≌△CBE′，得出∠AD′B＝∠CE′B，AD′＝CE′，证CE′⊥AD′，AD′＝AE′﹣D′E′＝m﹣n，由三角形面积公式即可得出结果．
【解析】分两种情况：
①△BDE绕点B逆时针旋转小于90°时，如图1所示：
连接CE′，
∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，
∴BD′＝BE′＝BD，∠D′BE′＝90°，∠D′BD＝∠ABE′，∠BE′D′＝45°，DE＝D′E′＝n，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
在△ABD′和△CBE′中，BA=BC∠ABD'=∠CBE'BD'=BE'，
∴△ABD′≌△CBE′（SAS），
∴∠AD′B＝∠CE′B＝45°，AD′＝CE′，
∴∠CE′B+∠BE′D′＝45°+45°＝90°，
∴CE′⊥AD′，
AD′＝AE′+D′E′＝m+n，
∴S△AD′C=12AD′•CE′=12AD′2=(m+n)22；
②△BDE绕点B逆时针旋转大于90°时，如图2所示：
连接CE′，
∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，
∴BD′＝BE′＝BD，∠D′BE′＝90°，∠BE′D′＝∠BD′E′＝45°，DE＝D′E′＝n，
∵∠ABD′+∠E′BD′＝∠CBE′+∠E′BD′，
∴∠ABD′＝∠CBE′，
在△ABD′和△CBE′中，BA=BC∠ABD'=∠CBE'BD'=BE'，
∴△ABD′≌△CBE′（SAS），
∴∠AD′B＝∠CE′B，AD′＝CE′，
∵∠BD′E′＝45°，
∴∠AD′B＝∠CE′B＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CE′A＝∠CE′B﹣∠BE′D′＝135°﹣45°＝90°，
∴CE′⊥AD′，
AD′＝AE′﹣D′E′＝m﹣n，
∴S△AD′C=12AD′•CE′=12AD′2=(m-n)22；
故答案为：(m+n)22或(m-n)22．


三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．

【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=12AB⋅AC=12×5×25=5．
20．（2020秋•南山区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．

【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．
【解析】设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
21．（2019春•甘井子区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝3，AB＝5．求CD的长．

【分析】由勾股定理易求AC的长，则△ABC的面积可求，再利用等面积法即可求出斜边上的高CD的长．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC2＝52﹣32＝16，
∴AC＝4，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅CD⋅AB，
∴CD=AC⋅BCAB=125．
22．（2020•浙江自主招生）设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=13ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数，并求出满足条件的直角三角形的三边长．
【分析】依据勾股定理即可得到c2＝a2+b2，再根据c=13ab﹣（a+b），即可得出（a﹣6）（b﹣6）＝18，依据a，b，c均为正整数，不妨设a＜b，即可得到可得a-6=1b-6=18或a-6=2b-6=9或a-6=3b-6=6，进而得出a，b，c的值．
【解析】由勾股定理可得c2＝a2+b2，
又∵c=13ab﹣（a+b），
∴c2＝[13ab﹣（a+b）]2=19（ab）2-23ab（a+b）+（a+b）2，
即a2+b2=19（ab）2-23ab（a+b）+（a+b）2，
整理得ab﹣6（a+b）+18＝0，即（a﹣6）（b﹣6）＝18，
∵a，b，c均为正整数，不妨设a＜b，
可得a-6=1b-6=18或a-6=2b-6=9或a-6=3b-6=6，
解得a=7b=24c=25或a=8b=15c=17或a=9b=12c=15，
∴满足条件的直角三角形有3个．
23．（2007•聊城）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

【分析】（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．
（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；
（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积＝三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．
【解析】（1）这个公式为（a+b）2＝a2+2ab+b2；
证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，
大正方形的面积＝（a+b）2，两个长方形的面积＝（a+b）b+ab，
小正方形的面积＝a2，那么大正方形的面积＝（a+b）b+ab+a2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2．

（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°；
由于B，C，D共线，所以∠ACE＝180°﹣（∠ACB+∠DCE）＝180°﹣90°＝90°．

（3）梯形ABDE的面积为12（AB+ED）•BD=12（a+b）（a+b）=12（a+b）2；
另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成12ab+12ab+12c2．
所以，12（a+b）2=12ab+12ab+12c2．
即a2+b2＝c2．
24．（2019秋•武邑县校级期末）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．
（1）如图1，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿CB匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇．设点P的速度为xcm/s．则点Q的速度可以表示为　43x　cm/s（用含x的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，两点在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持原速度不变，沿B→A→C的路径匀速运动，如图2．两点在AC边上点D处再次相遇后停止运动．又知AD＝1cm．求点P原来的速度x的值．

【分析】（1）设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得CD＝5﹣1＝4，列方程即可得到结论．
【解析】（1）设点Q的速度为ycm/s，
由题意得3÷x＝4÷y，
∴y=43x，
故答案为：43x；
（2）AC=AB2+BC2=5，
CD＝5﹣1＝4，
在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，
由题意得3+14x3=4+4x+2，
解得：x=65（cm/s），
经检验x=65是原方程的根，
答：点P原来的速度为65cm/s．
25．（2019秋•濮阳期末）如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．
（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为　15﹣x　m；
（2）求这棵树高有多少米？

【分析】已知BC，要求CD求BD即可，可以设BD为x，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA＝BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．
【解析】（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，
即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，
故答案为：15﹣x；
（2）∵∠C＝90°
∴AD2＝AC2+DC2
∴（15﹣x）2＝（x+5）2+102
∴x＝2.5
∴CD＝5+2.5＝7.5
答：树高7.5米；
26．（2019秋•海口期末）我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM2002）的会标（图2），其图案正是由“弦图”演变而来．“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题：
（1）叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
（2）证明勾股定理；
（3）若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．

【分析】（1）用文字及符号语言叙述勾股定理即可；
（2）如图1，根据四个全等的直角三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，代入数值，即可证明；
（3）利用（2）的结论进行解答．
【解析】（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，a2+b2＝c2．
（2）∵S大正方形＝c2，S小正方形＝（b﹣a）2，4SRt△＝4×12ab＝2ab，
∴c2＝2ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
（3）∵4SRt△＝S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，
∴2ab＝12．
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝c2+2ab
＝13+12
＝25．