高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品第3课时练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品第3课时练习题，共4页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。

课后篇巩固提升


基础巩固


1.在△ABC中,B=60°,最长边与最短边之比为(3+1)∶2,则最大角为( )





A.45°B.60°C.75°D.90°


答案C


解析依题意,得△ABC不是等边三角形.因为B=60°,所以角B不是最大角.设C为最大角,A为最小角,则A+C=120°,所以ca=sinCsinA=sin(120°-A)sinA=sin120°csA-cs120°sinAsinA=32tanA+12=3+12,解得tan A=1,所以A=45°,C=75°.


2.在△ABC中,a=2,c=1,则角C的取值范围是( )


A.0,π2B.π6,π3


C.π6,π2D.0,π6


答案D


解析在△ABC中,a=2,c=1,由正弦定理asinA=csinC,得2sinA=1sinC,∴sin C=12sin A.


∵A∈(0,π),∴0

结合函数y=sin x的图象可得C∈0,π6∪5π6,π.∵a>c,∴角C是锐角,∴C∈0,π6.故选D.


3.在△ABC中,a=2,a·sin (A+B)=c·sinB+C2,则△ABC周长的最大值为( )


A.8B.7C.6D.5


答案C


解析由题得a·sin C=c·csA2,


∴sin A·sin C=sin C·csA2,∴sin A=csA2,


∴2sinA2csA2=csA2,∵A2∈0,π2,


∴csA2≠0,∴sinA2=12,∴A=π3.


由余弦定理得4=b2+c2-2bccs A=b2+c2-bc,


∴(b+c)2=4+3bc≤4+3·(b+c)24,当且仅当b=c=2时取等号.∴b+c≤4,∴a+b+c≤6.


4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acs B=(2c-b)cs A.


(1)求角A的大小;


(2)若a=6,求△ABC面积的最大值.


解(1)由正弦定理得(2sin C-sin B)cs A=sin Acs B,即2sin Ccs A=sin Acs B+cs Asin B=sin(A+B),∵A+B+C=π,∴sin(A+B)=sin C≠0,


∴cs A=12.∵A∈(0,π),∴A=π3.


(2)由(1)知S△ABC=12bcsin A=34bc,


由余弦定理得cs A=12=b2+c2-a22bc≥2bc-362bc(当且仅当b=c时等号成立),


∴0

∴S△ABC的最大值为34×36=93.


5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcsC=3acs B-ccs B.


(1)求cs B的值;


(2)若BA·BC=2,且b=22,求a和c的值.


解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中R为△ABC外接圆半径,


则2Rsin Bcs C=6Rsin Acs B-2Rsin Ccs B,


即sin Bcs C=3sin Acs B-sin Ccs B,


可得sin Bcs C+sin Ccs B=3sin Acs B,


即sin(B+C)=3sin Acs B,可得sin A=3sin Acs B.


又sin A≠0,因此cs B=13.


(2)由BA·BC=2,得accs B=2.


由(1)知cs B=13,故ac=6,


由b2=a2+c2-2accs B,得a2+c2=12,


所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.


6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cs C+cs Acs B=22sin Acs B.


(1)求cs B的值;


(2)若a+c=2,求b的取值范围.


解(1)因为cs C+cs Acs B=22sin Acs B,


所以-cs(A+B)+cs Acs B=22sin Acs B,


即sin Asin B=22sin Acs B,


因为sin A≠0,所以sin B=22cs B>0,


又因为sin 2B+cs 2B=1,解得cs B=13.


(2)∵a+c=2,可得c=2-a,


由余弦定理,得b2=a2+c2-2accs B=a2+c2-23ac


=a2+(2-a)2-23a(2-a)=83(a-1)2+43.∵0

能力提升


1.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈(60°,90°),则ab取值范围是 .


答案(2,3)


解析∵△ABC中,a2=b2+bc,


由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccs A,∴b2+bc=b2+c2-2bccs A,整理,得c=b(1+2cs A),


∴a2=b2+b2(1+2cs A)=b2(2+2cs A),


∴ab=2+2csA,∵A∈(60°,90°),∴cs A∈0,12,可得2+2cs A∈(2,3),


∴2+2csA∈(2,3),即ab∈(2,3).


2.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b2+c2=accs C+c2cs A+a2,且S△ABC=32,则△ABC周长的最小值为 .


答案32


解析由b2+c2=accs C+c2cs A+a2,得b2+c2=c(acs C+ccs A)+a2=bc+a2,即bc=b2+c2-a2.


故cs A=b2+c2-a22bc=12,∴A=π3.


由三角形面积公式得12bcsin A=32,bc=2.


所以三角形的周长a+b+c=b2+c2-bc+(b+c)2=b2+c2-2+b2+c2+4≥2bc-2+2bc+4=2+8=32,当且仅当a=b=c=2时,等号成立.故周长的最小值为32.


3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinA+bsinB-csinCsinBsinC-233a=0.


(1)求角C;


(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.


解(1)由asinA+bsinB-csinCsinBsinC-233a=0,


得a·a+b·b-c·cb·sinC=233a,即a2+b2-c22ab=33sin C,


由余弦定理,得cs C=33sin C,∴tan C=3.


∵C∈(0,π),∴C=π3.


(2)由余弦定理,得b2=1+c24-2×1×c2·cs∠CEA,①


a2=1+c24-2×1×c2·cs∠CEB,②


①+②,得b2+a2=2+c22,即2(b2+a2)=4+c2,


∵c2=a2+b2-2ab·cs C,∴a2+b2=4-ab≥2ab,


∴ab≤43,当且仅当a=b时取等号.


S△ABC=12absin C≤12×43×32=33.


△ABC的面积的最大值是33.