高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时课时练习

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6.4 平面向量的应用

6.4.3 余弦定理、正弦定理

（第3课时）

1.为了测量河对岸两点之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得，则之间的距离为（  ）

A．千米              B．千米              C．千米               D．千米

（第1题）                                （第2题）

2．如图所示，为测量树的高度，在地面上选取与树的底部在同一条直线上的，两点，从，两点分别测得树尖的仰角为，，且，两点之间的距离为，则树的高度为（  ）

A．       B．        C．       D．

3.如图所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，在点C处测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，在点D测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（  ）

A.10 m              B. m                 C. m               D.m

（第3题）                                 （第4题）

4．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的两观测点，且与教学楼底部在同一水平面上，在两观测点处测得教学楼顶部的仰角分别为，，并测得，则教学楼的高度是（  ）

A．20米             B．米              C．米              D．25米

5.［多选题］甲、乙两栋楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（  ）

A.甲楼的高度为m               B.甲楼的高度为m

C.乙楼的高度为m                D.乙楼的高度为m

6.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°方向上且相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向（即沿直线CB）前往B处救援，则cos θ等于（  ）

（第6题）                                  （第7题）

A.                 B.                    C.                  D.

7.［多选题］如图所示，某校测绘兴趣小组为测量河对岸塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的C，D两点（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（   ）

A.s，∠ACB，∠BCD，∠BDC                 B.s，∠ACB，∠BCD，∠ACD

C.s，∠ACB，∠ACD，∠ADC                 D.s，∠ACB，∠BCD，∠ADC

8．如图所示，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔 的点处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的点处，则这只船的航行速度为__________.（结果精确到整数，参考数据：）

（第8题）                                    （第9题）

9．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则__________米.

10.如图所示，两条笔直的公路相交成60°角，两辆汽车A和B同时从交点O出发，分别沿两条公路行驶．如果汽车A的速度是48km/h，那么汽车B应以多大的速度行驶，才能使这两辆汽车在出发1h后相距43km？

（第10题）

11.如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.

（1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值.

（第11题）

12.如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A（-1） km的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向距A2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.

（第12题）

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6.4 平面向量的应用

6.4.3 余弦定理、正弦定理

（第3课时）

参考答案

1.B   2.A   3.D   4.A   5.AC   6.B   7.ACD   8.21   9.

10.解：如图所示，设1小时后，汽车在点，汽车在点.

（第10题）

由已知，在中，，，，

由余弦定理得，

即，

化简得，解得或13．

所以汽车的速度是或时，两辆汽车在出发后相距．

11.解：（1）依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6 n mile，AC＝5×2＝10  n mile，∠BCA＝α.

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC＝62+102-2×6×10×cos 120°＝196，

解得BC＝14（负值舍去），所以渔船甲的速度为＝7 n mile/h.

（2）在△ABC中，AB＝6 n mile，∠BAC＝120°，BC＝14 n mile，∠BCA＝α，

由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝.

12.解：如图所示，设缉私船于点D处追上走私船，设缉私船最快追上走私船所需时间为t h，

则BD＝10t（km），CD＝t（km）.

（第12题）

在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2-2AB·AC·cos ∠BAC

＝8--2×2×（-1）cos （45°+75°）＝6，

故BC＝km.

则cos ∠ABC＝＝＝.

所以∠ABC＝45°，可得BC为东西方向.

又因为∠CBD＝120°，由正弦定理知＝，

得sin ∠BCD＝＝＝，

所以∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，则点D在点C的北偏东60°方向上，BD＝BC＝km，即10t＝，

解得t＝.

答：缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，所需时间为h.