数学必修 第二册7.1 复数的概念优秀课件ppt

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一、复数的几何意义1.思考(1)什么是平面直角坐标系?如何表示平面内的点?提示同一平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴,垂直的数轴叫做y轴,平面内任一点都可以用一个有序实数对表示.(2)复数与平面向量建立一一对应关系的前提是什么?提示前提是向量的起点为原点,若起点不是原点,则复数与向量不能建立一一对应关系.
2.填空(1)复平面①复平面:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;②实轴:坐标系中的x轴叫实轴,在它上面的点都表示实数;③虚轴:坐标系中的y轴叫虚轴,除去原点外,在它上面的点都表示纯虚数.(2)复数的几何意义①复数与复平面内的点一一对应:复数z=a+bi(a,b∈R)　　 复平面内的点Z(a,b);②复数与复平面内从原点出发的向量一一对应:复数z=a+bi(a,b∈R)　　 平面向量 .
3.做一做(1)复数z=3-5i在复平面内对应的点的坐标是(　　)A.(3,-5)　　　　　　　　B.(3,5)C.(3,-5i) D.(3,5i)A.等于0B.-3C.在虚轴上D.既不在实轴上,也不在虚轴上答案:(1)A　(2)C解析:(1)复数z=3-5i在复平面内对应的点的坐标是(3,-5).
二、复数的模1.思考什么是向量的模?提示表示向量的有向线段的长度叫做向量的模,即向量的大小. 2.填空(3)模的几何意义:复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
3.做一做(1)复数4-2i的模等于(　　)答案:C(2)判断①复数的模一定是正实数.(　　)②两个复数相等,它们的模一定相等,反之也成立.(　　)答案:①×　②×
三、共轭复数1.思考若z1,z2是共轭复数,那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系?提示设z1=a+bi,对应的点为Z1(a,b),则z2=a-bi,对应点为Z2(a,-b),点Z1与Z2关于实轴对称.2.填空一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z的共轭复数为 ,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
3.做一做已知复数z=3+4i,则z的共轭复数的模为　. 答案:5
复数与复平面内点的对应例1已知复数z=(a2-4)+(2a-3)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)Z在实轴上;(2)Z在第二象限;(3)Z在抛物线y2=4x上.分析根据复数与点的对应关系,得到复数的实部与虚部之间应满足的条件,建立关于a的方程或不等式,即可求得实数a的值(或取值范围).
反思感悟 1.复数与复平面内点的对应关系的实质:复数的实部就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标.2.已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时,可根据复数与点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).
变式训练1(1)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(　　)A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i(2)若复数z=(m+1)+(m-2)i,其中m∈R,则复数z对应的点不可能位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:(1)C　(2)B解析:(1)两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则点C(2,4).故其对应的复数为2+4i.(2)若令 则该不等式组无解,故复数z对应的点不可能位于第二象限.
复数与复平面内向量的对应例2在复平面上,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.分析根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.
反思感悟 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量 =(a,b).2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复数可能改变.
变式训练2四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i.(1)求点D对应的复数; (2)求△ABC的边BC上的高.解:(1)复平面内A,B,C对应点的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1),设点D的坐标为(x,y),∴x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5,故点D(3,5),其对应的复数为3+5i.(2)∵B(0,-1),C(2,1),∴直线BC的方程为x-y-1=0,
复平面内两点间距离公式的应用例3已知z∈C,指出满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹:(1)|z+1+i|=1.(2)|z-1|=|z+2i|.(3)|z+1|+|z+1-i|=2.分析充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析求解.
解:(1)由于|z+1+i|=|z-(-1-i)|=1,它表明点Z到点(-1,-1)的距离等于1,因此轨迹是以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.(2)由于|z-1|=|z+2i|,它表示点Z到点(1,0)的距离等于Z到点(0,-2)的距离,因此轨迹是以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.(3)由于|z+1|+|z+1-i|=2,它表示点Z到两定点(-1,0),(-1,1)的距离之和等于常数2,满足椭圆的定义,因此轨迹是以点(-1,0)和(-1,1)为焦点,长轴长为2的椭圆.反思感悟 1.|z1-z2|表示复平面内,复数z1,z2对应的点Z1,Z2之间的距离,在具体应用中,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式.2.判断复数形式表示的点的轨迹时,要充分利用复平面内两点间的距离公式以及相关曲线的定义进行分析判断.
分析根据复数的几何意义,利用数形结合的方法进行求解.
复数的模及其应用例4若复数z=(a+2)-2ai的模等于 ,求实数a的值.分析根据复数模的计算公式求解. 反思感悟 1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算.2.两个复数相等,其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等.3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.
变式训练4若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|= ,则复数z=　　　　. 答案:1+2i或-1-2i解析:依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),解得a=±1,故z=1+2i或z=-1-2i.
共轭复数及其应用例5(2019全国Ⅱ高考)设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析先由定义写出 ,再由复数的几何意义求解.答案:C解析:由z=-3+2i,得 =-3-2i,则在复平面内 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.反思感悟 本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系.
变式训练5已知i是虚数单位,复数z=1+i,则 的实部与虚部之差为(　　)A.1B.0C.-2D.2答案:D解析: =1-i,实部为1,虚部为-1,所以实部与虚部之差为1-(-1)=2.
混淆复数的模与实数的绝对值致误典例若复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的轨迹是(　　)A.两个点B.一个圆C.两个圆D.四个点解析:由|z|2-2|z|-3=0可得(|z|+1)(|z|-3)=0,而|z|+1>0,所以|z|=3,由复数模的几何意义可知,复数Z对应的点到原点的距离等于3,即点Z的轨迹是一个圆.答案:B易错提醒复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|的几何意义是复平面内点Z(a,b)到原点的距离,而实数x的绝对值|x|的几何意义是数轴上点x到原点的距离.
变式训练已知复数z=x-2+yi(x,y∈R)的模是2 ,则点(x,y)的轨迹方程是　　　　　　　　. 答案:(x-2)2+y2=8
1.若复数z=-2+i,则复数z的共轭复数 在复平面内对应的点位于(　　)A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案:C解析:复数z的共轭复数 =-2-i,在复平面内对应的点为(-2,-1),位于第三象限.2.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量 的模等于(　　)答案:D
3.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为(　　)A.1或3B.1C.3D.2答案:A