北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期期末检测

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北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用） 2019.1
（考试时间120分钟 满分100分）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆

2．视力表用来测量一个人的视力．如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是
A．平移 B．旋转
C．轴对称 D．位似
3．抛物线的对称轴是
A． B．
C． D．
4．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB=1，CD=2，则△ABO与△DCO的面积之比为
A．
B．
C．
D．
5．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为
A． B． C． D．1

6．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在
A． B． C． D．




7．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…





当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4
8．如图，在中，,是边上一条运动的线段(点不与点重合，点不与点重合)，且，交于点，交于点，在从左至右的运动过程中，设BM=x，的面积减去的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
A B C D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．点（1，2）关于原点的对称点的坐标为_____．
10．若一元二次方程有一个解为，则=_____．
11．请写出一个图象与直线y=x无交点的反比例函数的表达式：_____．
12．若圆锥的底面半径长为10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为_____．
13．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为_____．





第14题图
第13题图
第15题图


14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15°，则∠P的度数为_____．
15．如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____．
16．显示分辨率（屏幕分辨率）是屏幕图像的精密度，是指显示器所能显示的像素有多少．屏幕左下角坐标为（0，0），若屏幕的显示分辨率为1280×800，则它的右上角坐标为
（1280，800），一张照片在此屏幕全屏显示时，点A的坐标为（500，600），则此照片在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为_____．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长来．


18．如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求m，n的值；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的
取值范围．





19. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
（结果保留小数点后两位）
0.68
0.74
0.68
0.69
0.68
0.70
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
（2）铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．


20．已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．


21．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．







22．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表：
刹车时车速(千米/时)
0
5
10
15
20
25
30
刹车距离(米)
0
0.1
0.3
0.6
1
1.6
2.1
（1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象；
（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．







23．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于D，连接CD．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AC·AE＝12，求⊙O的半径．





24．可以用如下方法估计方程的解：
当x=2时，=-2<0，
当x=-5时，=5>0，
所以方程有一个根在-5和2之间．
（1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围．



25．M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C’PB’，当射线PC’经过点D时，射线PB’与BC交于点N．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BPN∽△CPD；
（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．















26．数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．
下面是他的探究过程，请补充完整：
定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．
如图1，∠M为所对的一个圆外角．
（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；






图1
图2


提出猜想：
（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角 这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角 这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）
推理证明：
（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
问题解决：
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，应用这两个正确的结论解决下面的问题．
（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）







图3









27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C.当时，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若该抛物线与线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.












28．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（-2，3），D（1，3），E（1，0），F（-2，0）
（1）点A（2,0），
①点A和原点的中间点的坐标为 ；
②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；
（2）点B为直线y=2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．



















北京市朝阳区2018～2019学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷参考答案及评分标准
2019.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
A
C
D
A


二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号
9
10
11
12
答案
(-1,-2)
-1
答案不唯一．如：
20
题号
13
14
15
16
答案

30°
60°或120 °
（1000，1200）








三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．（1）证明：∵∠DBC＝∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC． ………………………………………………………………2分
（2）解：∵△BDC∽△ABC，
∴． ………………………………………………………………4分
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD=2． ………………………………………………………………5分

18．（1）解：∵点A（-2，1）在反比例函数的图象上，
∴． ……………………………………………………2分
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）在反比例函数的图象上，
∴． …………………………………………………………………………4分
（2）或． ……………………………………………………………………5分


19．（1）0.7； ………………………………………………………………………………………………2分
（2）解：． ……………………………………………4分
答：该商场每天大致需要支出5000元奖品费用．
（3）36． ……………………………………………………………………………………5分
20．解：（1）由题意，得△．……………………………………2分
解得． ……………………………………………………………………………3分
（2）∵k为负整数，
∴． ……………………………………………………………………………4分
则方程为．
解得，． ………………………………………………………………5分


21．解：如图，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．…………………1分
由题意可知，OA=OD=5，CD=8．……………………………2分
∴OC=3．
∴AC=．………………………4分
∴AB=2AC=8． …………………………………………5分
答：这个孔道的直径为8mm．

22．解：（1）如图所示；










……………1分
（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数．…………………………………………………2分
∵图象经过原点，
∴设二次函数的表达式为．
选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得
解得
∴二次函数的表达式为．………………………………………………3分
代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式．…………………………4分
（3）∵当x=100时，y=21<40，
∴汽车已超速行驶． ………………………………………………………………………………5分
图1
23．（1）答：CD与⊙O相切． ……………………………1分
证明：如图1，连接OC．
∵ FD是CE的垂直平分线，
∴ DC=DE． ………………………………2分
∴ ∠E=∠DCE．
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠OCA．
又∵在Rt△ABE中，∠B＝90°，
∴ ∠A+∠E=90°．
∴∠OCA+∠DCE＝90°．
∴ OC⊥CD．………………………………3分
图2
∴ CD与⊙O相切．
（2）解：如图2，连接BC．
∵ AB是⊙O直径，
∴ ∠ACB=90°． …………………………4分
∴ △ACB∽△ABE． ……………………5分
∴ ．
∵ AC·AE＝12，
∴ ．
∴ ．
∴ ． ……………………………………………………………………………6分
24．解：（1）∵ 当x=2时，= -2 <0，
当x=3时，= 5 >0， ……………………………………………………2分
∴方程另一个根在2和3之间． ……………………………………………………3分
（2）∵ 方程有一个根在0和1之间，
∴或 ………………………………………………5分
解得． ………………………………………………6分
25．（1）补全图形如图所示； …………………………………………………………………………1分
（2）证明：由旋转可得∠BPN=∠CPD．……………………………………………………………2分
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∴∠PCD+∠BCP=90°．
∵BP⊥MC，
∴∠CPB=90°．
∴∠PBC+∠PCB=90°．
∴∠PBC=∠PCD．
∴△PBN∽△PCD．………………………………3分
（3）答：BM=BN．………………………………4分
证明：∵BP⊥CM，∠MBC=90°，
∴∠MBP=∠MCB．
∴△MPB∽△BPC．
∴．.………………………………………………………………………………………5分
由（2）可知△PBN∽△PCD．
∴．
∴．
∵BC=CD，
∴BM=BN．……………………………………………………………………………………………6分

26．（1）如图所示；
………………………………………………………………………………1分
（2）小于，大于； ………………………………………………3分
（3）证明：如图，BM与⊙O相交于点C，连接AC．…………4分
∵∠ACB=∠M+∠A，
∴∠ACB＞∠M．………………………………………………5分


（4）答：当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．…………………………………6分


27．（1）解：当时，抛物线为．
∴点C的坐标为（0，-2）． ………………………………………………………………………1分
令．
解得， ．
∵点A在点B左侧，
∴点A，B的坐标分别为（-1，0），（2，0）．……………………………………………………………3分
（2）①若抛物线开口向上，
如图1，抛物线经过点A，B，此时a的值最小，可求得a=1，所以．…………………5分


图1 图2
②若抛物线开口向下，
如图2，当点B为抛物线的顶点时，抛物线与x轴只有一个公共点，可求得，
所以a＜． ………………………………………………………………………………7分
综上所述，a的取值范围为或．
28．（1）①（1，0）； ……………………………………………………………………………………2分
②如图，点A和线段CD的中间点所组成的图形
是线段C’D’，
由题意可知，C’为AC的中点，D’为AD的中点．
可求点C’的横坐标为0，点D’的横坐标为．
所以．……………………………5分
（2）点B的横坐标的取值范围为
或．………………………7分