2018—2019学年北京市通州区九上期末数学试卷

这是一份2018—2019学年北京市通州区九上期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，点 D，E 分别在 △ABC 的 AB，AC 边上，下列条件中：① ∠ADE=∠C；② AEAB=DEBC；③ ADAC=AEAB．使 △ADE 与 △ACB 一定相似的是
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③

2. 如图，A，B，C 是半径为 4 的 ⊙O 上的三点．如果 ∠ACB=45∘，那么 AB 的长为
A. πB. 2πC. 3πD. 4π

3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛 4 次，硬币均正面朝上落地．如果他再抛第 5 次，那么硬币正面朝上的概率为
A. 1B. 12C. 14D. 15

4. 如图，数轴上有 A，B，C 三点，点 A，C 关于点 B 对称，以原点 O 为圆心作圆，若点 A，B，C 分别在 ⊙O 外，⊙O 内，⊙O 上，则原点 O 的位置应该在
A. 点 A 与点 B 之间靠近 A 点B. 点 A 与点 B 之间靠近 B 点
C. 点 B 与点 C 之间靠近 B 点D. 点 B 与点 C 之间靠近 C 点

5. 如图，PA 和 PB 是 ⊙O 的切线，点 A 和点 B 为切点，AC 是 ⊙O 的直径．已知 ∠P=50∘，那么 ∠ACB 的大小是
A. 65∘B. 60∘C. 55∘D. 50∘

6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 A，又在河的另一岸边取两点 B，C，测得 ∠α=30∘，∠β=45∘，量得 BC 长为 80 米．如果设河的宽度为 x 米，那么下列关系式中正确的是
A. xx+80=12B. xx+80=1C. xx+80=22D. xx+80=33

7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛，要求每班选派 10 名队员参加．下面是一班和二班参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投篮 10 次，每投中 1 次记 1 分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同．上述说法中，正确的序号是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 x（单位：s）近似满足函数关系 y=ax2+bx+ca≠0．如图记录了 3 个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻 x 是
A. 4B. 4.5C. 5D. 6

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．如果 AB=4，AD=2，DE=1.5，那么 BC 的长为 ．

10. 在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=−x−12+4 的图象如图，将二次函数 y=−x−12+4 的图象平移，使二次函数 y=−x−12+4 的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法： ．

11. 如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D，E，量出半径 OC=5 cm，弦 DE=8 cm，则直尺的宽度为 cm．

12. " 阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战．" 每年的 4 月 23 日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是该校八年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表，请你根据统计表中提供的信息，求出表中 a 的值是 ，b 的值是 ．
图书种类频数频率科普常识210b名人传记2040.34中外名著a0.25其他360.06

13. 中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2017 年年人均收入 300 美元，预计 2019 年年人均收入将达到 y 美元．设 2017 年到 2019 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，那么 y 与 x 的函数关系式是 ．

14. 如图，直角三角形纸片 ABC，AC 边长为 10 cm，现从下往上依次裁剪宽为 4 cm 的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么 BC 的长度是 cm．

15. 已知二次函数 y=ax2+bx+1a≠0 的图象与 x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的 a，b 的值：a= ，b= ．

16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线 a 和直线外一点 P．
求作：直线 a 的垂线，使它经过 P．
作法：如图 2．
（1）在直线 a 上取一点 A，连接 PA；
（2）分别以点 A 和点 P 为圆心，大于 12AP 的长为半径作弧，两弧相交于 B，C 两点，连接 BC 交 PA 于点 D；
（3）以点 D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线 a 于点 E（异于点 A），作直线 PE．
所以直线 PE 就是所求作的垂线．
请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：4cs30∘+π−3∘−12−∣−1∣．

18. 已知：如图，AB 为 ⊙O 的直径，OD∥AC．求证：点 D 平分 BC．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 DB，F 是边 BC 上一点，连接 DF 并延长，交 AB 的延长线于 E，且 ∠EDB=∠A．
（1）求证：△BDF∽△BCD；
（2）如果 BD=35，BC=9，求 ABBE 的值．

20. 如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，点 E 是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形 DECO 是矩形．
（2）连接 AE 交 BD 于点 F，当 ∠ADB=30∘，DE=2 时，求 AF 的长度．

21. 如图，直线 y=x+2 与反比例函数 y=kxk>0,x>0 的图象交于点 A2,m，与 y 轴交于点 B．
（1）求 m，k 的值；
（2）连接 OA，将 △AOB 沿射线 BA 方向平移，平移后 A，O，B 的对应点分别为 Aʹ，Oʹ，Bʹ，当点 Oʹ 恰好落在反比例函数 y=kxk>0 的图象上时，求点 Oʹ 的坐标；
（3）设点 P 的坐标为 0,n 且 00 的图象分别交于点 C，D，当 C，D 间距离小于或等于 4 时，直接写出 n 的取值范围．

22. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C，D 为 ⊙O 上不同于 A，B 的两点，∠ABD=2∠BAC，连接 CD，过点 C 作 CE⊥DB，垂足为 E，直径 AB 与 CE 的延长线相交于 F 点．
（1）求证：CF 是 ⊙O 的切线；
（2）当 BD=185，sinF=35 时，求 OF 的长．

23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，扇形统计图中 α 的度数是 ；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）学校为举办 2018 年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．

24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上一点，∠CAB=30∘，D 是直径 AB 上一动点，连接 CD 并过点 D 作 CD 的垂线，与 ⊙O 的其中一个交点记为点 E（点 E 位于直线 CD 上方或左侧），连接 EC．已知 AB=6 cm，设 A，D 两点间的距离为 x cm，C，D 两点间的距离为 y1 cm，E，C 两点间的距离为 y2 cm．
小雪根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小雪的探究过程：
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值，请将表格补充完整；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 ∠ECD=60∘ 时，AD 的长度约为 cm．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2−4ax+ma≠0 与 x 轴的交点为 A，B，（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=2．
（1）求抛物线的对称轴及 m 的值（用含字母 a 的代数式表示）；
（2）若抛物线 y=ax2−4ax+ma≠0 与 y 轴的交点在 0,−1 和 0,0 之间，求 a 的取值范围；
（3）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．
若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 5 个整点，结合函数的图象，直接写出 a 的取值范围．

26. 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 F 在边 BC 上，过点 F 作 EF⊥BC，且 FE=FCCE（1）用等式表示线段 BF 与 FG 的数量关系是 ；
（2）将图 1 中的 △CEF 绕点 C 按逆时针旋转，使 △CEF 的顶点 F 恰好在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，点 G 仍是 AE 的中点，连接 FG，DF．
①在图 2 中，依据题意补全图形；
②求证：DF=2FG．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 r，点 P 与圆心 C 不重合，给出如下定义：若在 ⊙C 上存在一点 M，使 ∠MPC=30∘，则称点 P 为 ⊙C 的特征点．
（1）当 ⊙O 的半径为 1 时，如图．
①在点 P1−1,0，P21,3，P33,0 中，⊙O 的特征点是 ．
②点 P 在直线 y=−3x+b 上，若点 P 为 ⊙O 的特征点，求 b 的取值范围．
（2）如图 2，⊙C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，点 A−2,0，B0,23．若线段 AB 上的所有点都是 ⊙C 的特征点，直接写出圆心 C 的横坐标 m 的取值范围．
答案
第一部分
1. C【解析】∵∠DAE=∠BAC，
∴ 当 ∠ADE=∠C 时，△ADE∽△ACB；
当 ADAC=AEAB 时，△ADE∽△ACB．
故选：C．
2. B
3. B
4. C【解析】如图，
观察图象可知，原点 O 的位置应该在点 B 与点 C 之间靠近 B 点．
5. A
6. D
7. A
8. B
第二部分
9. 3
10. 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位（答案不唯一）
11. 3
12. 150，0.35
13. y=300x+12
14. 20
15. 1，2（答案不唯一）
16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线
第三部分
17. 原式=4×32+1−23−1=23+1−23−1=0.
18. 连接 CB，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵OD∥AC，
∴OD⊥CB，
∴ 点 D 平分 BC，
【解析】另证：可以连接 OC 或 AD．
19. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AE，∠A=∠C，AB=DC，
∵∠EDB=∠A，
∴∠EDB=∠C．
∵∠DBF=∠CBD，
∴△BDF∽△BCD．
（2） ∵△BDF∽△BCD，
∴BFBD=BDBC．
∴BF35=359．
∴BF=5．
∵DC∥AE，
∴△DFC∽△EFB．
∴CFBF=DCBE．
∴ABBE=45．
20. （1） 证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴ 四边形 DECO 是平行四边形．
∴ 四边形 DECO 是矩形．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AO=OC．
∵ 四边形 DECO 是矩形，
∴DE=OC．
∴DE=AO=2．
∵DE∥AC，
∴∠OAF=∠DEF．
∵∠AFO=∠EFD，
∴△AFO≌△EFD．
∴OF=DF．
在 Rt△ADO 中，
tan∠ADB=OADO．
∴2DO=33．
∴DO=23．
∴FO=3．
∴AF=AO2+FO2=22+32=7．
【解析】方法二：
∴△AFO≌△EFD．
∴AF=FE．
在 Rt△ACE 中，AC=4，CE=OD=23．
∴AE=27．
∴AF=12AE=7．
21. （1） ∵ 直线 y=x+2 过点 A2,m，
∴m=2+2=4，
∴ 点 A2,4．
把 A2,4 代入函数 y=kx 中，
∴4=k2．
∴k=8．
（2） ∵△AOB 沿射线 BA 方向平移，
∴ 直线 OOʹ 的表达式为 y=x．
∴y=x,y=8x,
解得 x=22（舍负）．
∴ 点 Oʹ 的坐标为 22,22．
（3） 2≤n<4．
22. （1） 连接 OC．
∵CB=CB，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD，
∴BD∥OC，
∵CE⊥DB，
∴CE⊥OC，
∴CF 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 AD．
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴BD⊥AD，
∵CE⊥DB，
∴AD∥CF，
∴∠F=∠BAD，
在 Rt△ABD 中，
∴sinF=sin∠BAD=BDAB=35，
∴185AB=35，
∴AB=6，
∴OC=3，
在 Rt△COF 中，
∴sinF=OCOF=35，
∴3OF=35，
∴OF=5，
另解：过点 O 作 OG⊥DB 于点 G．
23. （1） 40；108∘
（2） 略
（3） 列表法如图所示：
∴PAC=212=16．
24. （1） 3；3
（2）
（3） 4.5 或 6
25. （1） 对称轴为直线 x=−−4a2a=2．
∵AB=2，点 A 在点 B 的左侧，
∴A1,0，B3,0
把 A1,0 代入 y=ax2−4ax+ma≠0 中，
∴m=3a．
（2） ∵ 抛物线 y=ax2−4ax+3aa≠0 与 y 轴的交点在 0,−1 和 0,0 之间，
∴a<0．
当抛物线 y=ax2−4ax+3aa≠0 经过点 0,−1 时，可得 a=−13．
∴a 的取值范围是 −13 （3） −326. （1） BF=2FG
（2） ①依据题意补全图形；
②如图，连接 BF，GB．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠ABC=∠BAD=90∘，AC 平分 ∠BAD．
∴∠BAC=∠DAC=45∘．
在 △ADF 和 △ABF 中，
AD=AB,∠DAC=∠BAC,AF=AF.
∴△ADF≌△ABF．
∴DF=BF，
∵EF⊥AC，∠ABC=90∘，点 G 是 AE 的中点，
∴AG=EG=BG=FG．
∴ 点 A，F，E，B 在以点 G 为圆心，AG 长为半径的圆上．
∵BF=BF，∠BAC=45∘．
∴∠BGF=2∠BAC=90∘．
∴△BGF 是等腰直角三角形．
∴BF=2FG．
∴DF=2FG．
27. （1） ① P1，P2
②当 b>0 时，设直线 y=−3x+b 与以 2 为半径的 ⊙O 相切于点 C，与 y 轴交于点 E，与 x 轴交于点 F．
∴E0,b，F33b,0，OC⊥EF．
∴tan∠FEO=OFOE=33bb=33．
∴∠FEO=30∘．
∵sin∠FEO=OCOE=12，
∴2b=12．
∴b=4．
当 b<0 时，由对称性可知：b=−4．
∴b 的取值范围是 −4≤b≤4．
（2） ∴m 的取值范围为 −2