2018-2019学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆
2．（2分）视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．位似
3．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2
4．（2分）如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
5．（2分）有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈!”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢!”此事件发生的概率为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（ ）
A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤1
7．（2分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜﹣1或x＞5D．x＜﹣1或x＞4
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM＝x，△BMD的面积减去△CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）点M（1，2）关于原点的对称点的坐标为 ．
10．（2分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝ ．
11．（2分）请写出一个图象与直线y＝x无交点的反比例函数的表达式： ．
12．（2分）若圆锥的底面半径是10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为 ．
13．（2分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为 ．
14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 ．
15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为 ．
16．（2分）显示分辨率（屏幕分辨率）是屏幕图象的精密度，是指显示器所能显示的像素有多少，屏幕左下角坐标为（0，0），若屏幕的显示分辨率为1280×800，则它的右上角坐标为（1280，800），一张照片在此屏幕全屏显示时，点A的坐标为（500，600），则此照片在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
18．（5分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求m，n的值；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围．
19．（5分）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为 ；（结果保留小数点后一位）
（2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度．
20．（5分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
21．（5分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
22．（5分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
23．（6分）如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AC•AE＝12，求⊙O的半径．
24．（6分）可以用如下方法估计方程x2+2x﹣10＝0的解：
当x＝2时，x2+2x﹣10＝﹣2＜0，
当x＝﹣5时，x2+2x﹣10＝5＞0，
所以方程有一个根在﹣5和2之间．
（1）仿照上面的方法，找到方程x2+2x﹣10＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
25．（6分）M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C′PB′，当射线PC′经过点D时，射线PB′与BC交于点N．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BPN∽△CPD；
（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．
26．（6分）数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．
下面是他的探究过程，请补充完整：
定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．
（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；
提出猜想
（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角 这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角 这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）
推理证明：
（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
问题解决
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．
（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a≠0）与y轴交于点C，当a＝1时，该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧）．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若该抛物线与线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（﹣2，3），D（1，3），E（1，0），F（﹣2，0）
（1）点A（2，0），
①点A和原点的中间点的坐标为 ；
②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；
（2）点B为直线y＝2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．
2018-2019学年北京市朝阳区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A．以PA为半径的圆B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆D．以PD为半径的圆
【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以点P为圆心，PB为半径的圆与直线l相切．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．
2．（2分）视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．位似
【分析】开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
【解答】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故选：D．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．
3．（2分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣1的对称轴是直线x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（2分）如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB＝1，CD＝2，则△ABO与△DCO的面积之比为（ ）
A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1
【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∵，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
5．（2分）有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈!”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢!”此事件发生的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．
【解答】解：此事件发生的概率，
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
6．（2分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（ ）
A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤1
【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过6A列不等式，求出结论，并结合图象．
【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I＝，
当I≤6时，则≤6，
R≥1，
故选：C．
【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．
7．（2分）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）部分自变量与对应的函数值如下表
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜﹣1或x＞5D．x＜﹣1或x＞4
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），﹣1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
【解答】解：∵当x＝0时，y1＝y2＝0；当x＝4时，y1＝y2＝5；
∴直线与抛物线的交点为（﹣1，0）和（4，5），
而﹣1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是边BC上一条运动的线段（点M不与点B重合，点N不与点C重合），且MN＝BC，MD⊥BC交AB于点D，NE⊥BC交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，设BM＝x，△BMD的面积减去△CNE的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设：a＝BC，∠B＝∠C＝α，求出MN、CN、DM、AH、EN的长度，利用S＝S△BMD﹣S△CNE，即可求解．
【解答】解：过点A作AH⊥BC，交BC于点H，
则BH＝HC＝BC，设a＝BC，∠B＝∠C＝α，
则MN＝a，CN＝BC﹣MN﹣x＝2a﹣a﹣x＝a﹣x，
DM＝BMtanB＝x•tanα，AH＝BHtanB＝a•tanα，EN＝CN•tanC＝（a﹣x）tanα，
S＝S△BMD﹣S△CNE＝（BM•DM﹣CN•EN）＝（2x﹣a）＝a•tanα•x﹣，
其中，a•tanα、均为常数，故上述函数为一次函数，
故选：A．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）点M（1，2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣1，﹣2） ．
【分析】根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（1，2）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”是解题的关键．
10．（2分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程求得k的值；注意二次项系数不为零．
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个解为0，
∴（k﹣1）×02+3×0+k2﹣1＝0且k﹣1≠0，
解得 k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．
11．（2分）请写出一个图象与直线y＝x无交点的反比例函数的表达式： y＝﹣（答案不唯一） ．
【分析】由直线y＝x经过第一、三象限，且与反比例函数图象没有交点，则可求反比例函数的解析式；
【解答】解：∵直线y＝x经过第一、三象限，
∴与直线y＝x无交点的反比例函数的图象在第二、四象限，
∴与直线y＝x无交点的反比例函数表达式为：y＝﹣
故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是关键．
12．（2分）若圆锥的底面半径是10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为 20 ．
【分析】侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长．依此列出方程即可．
【解答】解：设母线长为x，根据题意得
2πx÷2＝2π×5，
解得x＝10．
故答案为20．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大．
13．（2分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为 ．
【分析】根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论．
【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴，
x＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 30° ．
【分析】先利用切线的性质得到∠CAP＝90°，则利用互余计算出∠PAB＝75°，再根据切线长定理得到PA＝PB，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠P的度数．
【解答】解：∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝75°，
∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为 60°或120° ．
【分析】线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，根据切线的性质得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出∠OAC′＝30°，从而得到∠BAB′＝60°，同理可得∠OAC″＝30°，则∠BAB″＝120°．
【解答】解：线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，切点为C′和C″，连接OC′、OC″，
则OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，
在Rt△OAC′中，∵OC′＝1，OA＝2，
∴∠OAC′＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
同理可得∠OAC″＝30°，
∴∠BAB″＝120°，
综上所述，α的值为60°或120°．
故答案为60°或120°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
16．（2分）显示分辨率（屏幕分辨率）是屏幕图象的精密度，是指显示器所能显示的像素有多少，屏幕左下角坐标为（0，0），若屏幕的显示分辨率为1280×800，则它的右上角坐标为（1280，800），一张照片在此屏幕全屏显示时，点A的坐标为（500，600），则此照片在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为 （1000，1200） ．
【分析】根据题中数据屏幕的显示分辨率为1280×800与显示分辨率为2560×1600间的关系可以推知：点A的坐标为（500，600），在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为（1000，1200）．
【解答】解：∵屏幕左下角坐标为（0，0），若屏幕的显示分辨率为1280×800，则它的右上角坐标为（1280，800），
∴此照片在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为（500×2，600×2），即（1000，1200）．
故答案是：（1000，1200）．
【点评】考查了函数的图象和坐标确定位置，解题的关键是读懂题意，找到不同屏幕的显示分辨率所显示的点的坐标的规律是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）
17．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．
【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
18．（5分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．
（1）求m，n的值；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）把A（﹣2，1）代入反比例函数y＝，求出m的值即可；把B（1，n）代入反比例函数的解析式可求出n；
（2）观察函数图象得到当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的上方，即一次函数的值大于反比例函数的值．
【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入反比例函数y＝得，m＝﹣2×1＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
把B（1，n）代入得，1×n＝﹣2，解得n＝﹣2；
（2）由图象可知：x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．
19．（5分）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为 0.7 ；（结果保留小数点后一位）
（2）铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 36 度．
【分析】（1）利用频率估计概率求解；
（2）利用（1）得到获得铅笔的概率为0.7和获得饮料的概率为0.3，然后计算4000×0.5×0.7+4000×3×0.3即可；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×+4000×0.5（1﹣）＝3000，然后解方程即可．
【解答】解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；
（2）4000×0.5×0.7+4000×3×0.3＝5000，
所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，
则4000×3×+4000×0.5（1﹣）＝3000，解得n＝36，
所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．
故答案为36．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了扇形统计图．
20．（5分）关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，△＞0，
则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵k为负整数，
∴k＝﹣1，
则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝4k+5＞0；（2）将k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．
21．（5分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB＝2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD＝3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD＝＝＝4mm，
∴AB＝2AD＝2×4＝8mm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．（5分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象；
（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
【分析】（1）通过描点、连线就可以得出函数的大致图象；
（2）由函数图象，设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，由待定系数法求出其解即可；
（3）将x＝100代入（2）的解析式求出其值，再与130作比较即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数，
∵图象经过原点，
∴设二次函数的表达式为：y＝ax2+bx（x≥0），
选取（20，1）和（10，0.3）代入表达式，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+x（x≥0），
（3）∵当x＝100时，y＝21＜40，
∴汽车已超速行驶．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式的运用．解答时求出二次函数的解析式是关键．
23．（6分）如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AC•AE＝12，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，由于FD是CE的垂直平分线，所以∠E＝∠DCE，又因为∠A＝∠OCA，∠A+∠E＝90°，所以∠OCA+∠DCE＝90°，所以CD与⊙O相切．
（2）连接BC，易知∠ACB＝90°，所以△ACB∽ABE，所以，由于AC•AE＝12，所以OA＝AB＝，
【解答】解：（1）连接OC，如图1所示．
∵FD是CE的垂直平分线，
∴DC＝DE，
∴∠E＝∠DCE，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵Rt△ABE中，∠B＝90°，
∴∠A+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切．
（2）连接BC，如图2所示．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB∽ABE，
∴，
∵AC•AE＝12，
∴AB2＝12，
∴AB＝2，
∴OA＝．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．
24．（6分）可以用如下方法估计方程x2+2x﹣10＝0的解：
当x＝2时，x2+2x﹣10＝﹣2＜0，
当x＝﹣5时，x2+2x﹣10＝5＞0，
所以方程有一个根在﹣5和2之间．
（1）仿照上面的方法，找到方程x2+2x﹣10＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
【分析】（1）分别计算出x＝2和x＝3时x2+2x﹣10的值即可得出答案；
（2）根据方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间知或，解之可得．
【解答】解：（1）∵当x＝2时，x2+2x﹣10＝﹣2＜0，
当x＝3时，x2+2x﹣10＝5＞0，
∴方程的另一个根在2和3之间；
（2）∵方程x2+2x+c＝0有一个根在0和1之间，
∴或，
解得：﹣3＜c＜0．
【点评】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法．
25．（6分）M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C′PB′，当射线PC′经过点D时，射线PB′与BC交于点N．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BPN∽△CPD；
（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）由旋转性质知∠BPN＝∠CPD，再由∠PCD+∠BCP＝∠PBN+∠BCP＝90°知∠PCD＝∠PBN，从而得证；
（3）先证△MPB∽△BPC得＝，再由△PBN∽△PCD知＝，从而得＝，根据BC＝CD可得答案．
【解答】解：（1）补全图形如图所示：
（2）由旋转知∠BPN＝∠CPD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠PCD+∠BCP＝90°，
∵BP⊥MC，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PBN+∠BCP＝90°，
∴∠PCD＝∠PBN，
∴△PBN∽△PCD；
（3）BM＝BN，
∵BP⊥CM，∠MBC＝90°，
∴∠MBP＝∠MCB，
∴△MPB∽△BPC，
∴＝，
由（2）知△PBN∽△PCD，
∴＝，
∴＝，
∵BC＝CD，
∴BM＝BN．
【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握旋转变换的性质、相似三角形的判定与性质及正方形的性质等知识点．
26．（6分）数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．
下面是他的探究过程，请补充完整：
定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．
（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；
提出猜想
（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角 小于 这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角 大于 这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）
推理证明：
（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
问题解决
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．
（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）
【分析】（1）在⊙O内任取一点M，连接AM，BM；
（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角，此问得解；
（3）（i）BM与⊙O相交于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠ACB＝∠M+∠MAC，进而可证出∠ACB＞∠M；（ii）延长BM交⊙O于点C，连接AC，利用三角形外角的性质可得出∠AMB＝∠ACB+∠CAM，进而可证出∠AMB＞∠ACB；
（4）由（2）的结论，可知：当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．
【解答】解：（1）如图2所示．
（2）观察图形，可知：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角．
故答案为：小于；大于．
（3）证明：（i）如图1，BM与⊙O相交于点C，连接AC．
∵∠ACB＝∠M+∠MAC，
∴∠ACB＞∠M；
（ii）如图4，延长BM交⊙O于点C，连接AC．
∵∠AMB＝∠ACB+∠CAM，
∴∠AMB＞∠ACB．
（4）如图3，当过点F，H的圆与DE相切时，切点即为所求的点P．
【点评】本题考查了圆的综合应用以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）依照题意画出图形；（2）观察图形，找出结论；（3）利用三角形外角的性质证出：一条弧所对的圆外角小于这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角大于这条弧所对的圆周角；（4）利用（2）的结论找出点P的位置．
27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a≠0）与y轴交于点C，当a＝1时，该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B左侧）．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若该抛物线与线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
【分析】（1）先由a＝1得到抛物线解析式；解方程x2﹣x﹣2＝0得A（﹣1，0），B（2，0），然后计算自变量为0时对应的函数值得到C点坐标；
（2）先判断抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a≠0）必过点C点和B点，再讨论：当a＞0，利用x＝﹣1时，y≥0时得到a﹣1+2a﹣2≥0，解不等式得到a的范围；②当a＜0时，当顶点为B点，利用△＝（1﹣2a）2﹣4a•（﹣2）＝0，得a＝﹣，从而判断a＜﹣时抛物线与线段AB总有两个公共点．
【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣x﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
令，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，
∵A在点B左侧，
∴A（﹣1，0），B（2，0）；
（2）当x＝0时，y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝﹣2；当x＝2时，y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2＝0，
所以抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x﹣2（a≠0）必过点C点和B点；
①当a＞0，当x＝﹣1时，y≥0时，抛物线与线段AB总有两个公共点，即a﹣1+2a﹣2≥0，解得a≥1；
②当a＜0时，当顶点为B点时，△＝（1﹣2a）2﹣4a•（﹣2）＝0，解得a＝﹣，则a＜﹣时抛物线与线段AB总有两个公共点，
综上所述，a的取值范围为a≥1或a＜﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（﹣2，3），D（1，3），E（1，0），F（﹣2，0）
（1）点A（2，0），
①点A和原点的中间点的坐标为 （1，0） ；
②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；
（2）点B为直线y＝2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．
【分析】（1）①根据点A，O的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论；
②依照题意画出图形，观察图形可知点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A，C，D的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m的取值范围；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标为（n，2n），依照题意画出图形，观察图形可知：点B和四边形CDEF的中间点只能在边EF和DE上，当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，利用四边形CDEF的纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，由四边形CDEF的横、纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围．综上，此题得解．
【解答】解：（1）①∵点A的坐标为（2，0），
∴点A和原点的中间点的坐标为（，），即（1，0）．
故答案为：（1，0）．
②如图1，点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′．
由题意可知：点C′为线段AC的中点，点D′为线段AD的中点．
∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣2，3），点D的坐标为（1，3），
∴点C′的坐标为（0，），点D′的坐标为（，），
∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤．
（2）∵点B的横坐标为n，
∴点B的坐标为（n，2n）．
当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，有，
解得：﹣≤n≤0；
当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有，
解得：1≤n≤3．
综上所述：点B的横坐标n的取值范围为﹣≤n≤0或1≤n≤3．
【点评】本题考查了中点坐标公式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）①利用中点坐标公式求出结论；②通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组．
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日期：2019/11/5 23:30:49；用户：金雨教育；邮箱：309593466@qq.cm；学号：335385x
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（结果保留小数点后两位）
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