2018-2019学年河南省洛阳市九年级上期末考试数学试卷（含答案）

河南省洛阳市2018届九年级上学期期末考试数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．方程x2=x的解是（　　）

A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=1，x2=0 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=3，x2=﹣1

2．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（　　）

A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4

3．抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（　　）

A．（2，﹣2） B．（2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，﹣2）

4．将抛物找y=2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（　　）

A．y=2（x﹣4）2+1 B．y=2（x﹣4）2﹣1 

C．y=2（x+4）2+1 D．y=2（x+4）2﹣1

5．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（　　）个

A．4 B．3 C．2 D．1

6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，则∠C=（　　）

A．57° B．60° C．63° D．66°

7．下列事件中，是随机事件的是（　　）

A．任意画一个三角形，其内角和为180° 

B．经过有交通信号的路口，遇到红灯 

C．太阳从东方升起 

D．任意一个五边形的外角和等于540°

8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（　　）

A． B． C． D．

9．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（　　）

A．2 B．2π C． D．π

二、填空题（每小题3分，共15分)

11．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根为0，则另一个根为　   　．

12．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为　   　．

13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB=40cm，则点O到AB的距离为　   　cm．

14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则k值为　   　．

15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为　   　．

四、解答题(8个小题，共75分)

16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．

17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．

18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．

（1）该顾客至多可得到　   　元购物券；

（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．

19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m=162﹣3x．

（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．

（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．

20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，

（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）求CD的长．

21．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB的中点，AC=6，∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）

（1）判断△ODE的形状，并说明理由；

（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；

（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积S的取值范围．

23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求PE的长最大时m的值．

（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．解：方程变形得：x2﹣x=0，

分解因式得：x（x﹣1）=0，

可得x=0或x﹣1=0，

解得：x1=1，x2=0．

故选：B．

2．解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，

∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，

解得：q＜16．

故选：A．

3．解：∵抛物线为y=（x+2）2﹣2，

∴顶点坐标为（﹣2，﹣2），

故选：D．

4．解：将抛物找y=2x2向左平移4个单位所得直线解析式为：y=2（x+4）2；

再向下平移1个单位为：y=2（x+4）2﹣1．

故选：D．

5．解：矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形，

等边三角形不是中心对称图形，

故选：B．

6．解：连接OA，OB，

∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，

∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，

∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°，

由圆周角定理得，∠C=∠AOB=57°，

故选：A．

7．解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；

B、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件；

C、太阳从东方升起是必然事件；

D、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件；

故选：B．

8．解：黑色区域的面积=3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1=4，

所以击中黑色区域的概率==．

故选：C．

9．解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，

∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．

故选：D．

10．解：∵∠AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴AC=10，

∴边AB扫过的面积=

﹣

=9π，

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共15分)

11．解：把x=2代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0得方程m2﹣4=0，解得m1=2，m2=﹣2，

而m﹣2≠0，

所以m=﹣2，

此时方程化为4x2﹣3x=0，

设方程的另一个根为t，则0+t=，解得t=，

所以方程的另一个根为．

故答案为．

12．解：∵抛物线y=x2﹣4x+3=（x﹣3）（x﹣1），

∴当y=0时，0=（x﹣3）（x﹣1），

解得，x1=3，x2=1，

∵3﹣1=2，

∴抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2，

故答案为：2．

13．解：作OC⊥AB于C，连接OA，

则AC=AB=20，

在Rt△OAC中，OC==20（cm）

故答案为：20．

14．解：作DE⊥x轴于点E．

在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）．

令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）．

则OB=3，OA=1．

∵∠BAD=90°，

∴∠BAO+∠DAE=90°，

又∵Rt△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，

∴∠DAE=∠OBA，

在△OAB和△EDA中，

∵，

∴△OAB≌△EDA（AAS），

∴AE=OB=3，DE=OA=1，

故D的坐标是（4，1），

代入y=得：k=4，

故答案为：4．

15．解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，

∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，

∴∠DAD′=60°，

∴∠DAE=30°，

∴∠EAC=∠ACD=30°，

∴AE=CE，

在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有

DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，

根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，

解得：x=4，

∴EC=4，

则S△AEC=EC•AD=4．

故答案为：4．

四、解答题(8个小题，共75分)

16．证明：连接OD．

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠DAB，

∴∠CAB=∠ADO，

∴OD∥AE，

∴∠E+∠ODE=180°，

∴∠E=90°，

∴DE⊥AE．

17．解：设小路的宽度为xm，

那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）．

根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）=112，

解得x1=1，x2=16．

∵16＞9，

∴x=16不符合题意，舍去，

∴x=1．

答：小路的宽为1m．

18．解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；

故答案为：70；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，

∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为： =．

19．解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣30），

又∵m=162﹣3x，

∴y=（x﹣30）（162﹣3x），

即y=﹣3x2+252x﹣4860，

∵x﹣30≥0，

∴x≥30．

又∵m≥0，

∴162﹣3x≥0，即x≤54．

∴30≤x≤54．

∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．

（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，

所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．

∵500＞432，

∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．

20．（1）证明：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

由圆周角定理得，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD，

∴∠AOD=∠BOD，

∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形；

（2）解：作AE⊥CD于E，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD=AB=5，

∵AE⊥CD，∠ACE=45°，

∴AE=CE=AC=3，

在Rt△AED中，DE==4，

∴CD=CE+DE=3+4=7．

21．解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，

∴m=6，

∴反比例函数的解析式为：y=，

∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上，

∴n==﹣2，

∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，

∴，

解得：，

∴一次函数的解析式为：y=x+1；

（2）﹣3＜x＜0或x＞2；

（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5，

∴S△ABC=×2×5=5．

22．解：（1）△ODE是等腰直角三角形，

理由：连接OC，

在等腰Rt△ABC中，

∵O是AB的中点，

∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，

∴∠OCE=45°，OC=OA=OB，∠COA=90°，

∵∠DOE=90°，

∴∠AOD=∠COE，

在△AOD与△COE中，，

∴△AOD≌△COE，（ASA），

∴OD=OE，

∴△ODE是等腰直角三角形；

（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化，

∵△AOD≌△COE，

∴四边形CDOE的面积=△AOC的面积，

∵AC=6，

∴AB=6，

∴AO=OC=AB=3，

∴四边形CDOE的面积=△AOC的面积=×3×3=9；

（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大，

四边形CDFE面积的最大值=9，

故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．

23．解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．

（2）∵直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D，

∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（4，0），

∴0＜m＜4．

∵点P的横坐标为m，

∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点E的坐标为（m，﹣m+3），

∴PE=﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+．

∵﹣1＜0，0＜＜4，

∴当m=时，PE最长．

（3）由（2）可知，点P的坐标为（，）．

以PQCD为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：

①以PD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），

∴点Q的坐标为（+4﹣0， +0﹣3），即（，）；

②以PC为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），

∴点Q的坐标为（+0﹣4， +3﹣0），即（﹣，）；

③以CD为对角线，∵点P的坐标为（，），点D的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），

∴点Q的坐标为（0+4﹣，3+0﹣），即（，﹣）．

综上所述：在（2）的情况下，存在以PQCD为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（，）、（﹣，）或（，﹣）．