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2021年九年级中考数学一轮复习 21 矩形、菱形、正方形
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这是一份2021年九年级中考数学一轮复习 21 矩形、菱形、正方形，共32页。试卷主要包含了下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。
21 矩形、菱形、正方形
基础巩固
1．下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．菱形的对角线平分对角
2．(2020·襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
3．(2020·荆门)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点．若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
第3题图
A．20 B．30
C．40 D．50
4．(2020·怀化)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
第4题图
A．4 B．6
C．8 D．10
5．(2021·原创)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )
第5题图
A．45° B．55°
C．60° D．75°
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC的中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为( )
第6题图
A. B．
C．3 D．5
7．(2020·遵义)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( )
第7题图
A. B．
C．4 D．
8．(2019·陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为( )
第8题图
A．1 B．
C．2 D．4
9．(2020·南充)如图，在面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为( )
第9题图
A.S B．S
C．S D．S
10．(2019·孝感)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为( )
第10题图
A. B．
C． D．
11．(2020·舟山)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：，使▱ABCD是菱形．________
第11题图
12．(2020·无锡)如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上．若AE＝AC，则∠BAE＝_____-
第12题图
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 .
第13题图
14．(2020·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为______.
第14题图
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝______.
第15题图
16．(2019·凉山)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.
第16题图
17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，
第17题图
AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
18．(2020·滨州)如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边
第18题图
AB，BC，CD，DA于点P，M, Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
19. (2020·遂宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
第19题图
求证：(1)△BDE≌△FAE；
(2)四边形ADCF为矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD.
第20题图
(1)求证：四边形FECD是正方形；
(2)若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
20．(2019·宁夏)如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.
第20题图
(1)求证：AF＝DE；
(2)若DE＝AD，求tan∠AFE.
21．(2020·桂林)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
第21题图
22．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
第22题图
(1)求证：△ADO≌△CBO；
(2)求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
能力提升
1．(2020·湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( )
第1题图
A．1和1 B．1和2
C．2和1 D．2和2
2．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0,0)，A(4,0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( )
A．(2，) B．(，2)
C．(，3) D．(3，)
第2题图
3．(2020·宁夏)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( )
第3题图
A．13 B．10
C．12 D．5
4．(2020·泰安)如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是( )
第4题图
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为____ .
第5题图
6．(2020·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 ____.
第6题图
7．(2020·内江)如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为______
第7题图
8．(2020·哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE.若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为______.
第8题图
9.(2020·红花岗区第二次适应性考试)如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝6，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边上的高的长是_______-.
第9题图
10．(2020·遵义)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点(点E与点A，C不重合)，
第10题图
连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M，N，作射线DF交射线CA于点G.
(1)求证：EF＝DE；
(2)当AF＝2时，求GE的长．
中考预测
1．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，BC＝4，则BD的长是( )
A．6 B．5
C．4 D．4
第1题图
2．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，G，H是对角线AC的三等分点．若四边形EGFH的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
第2题图
A．36 B．24
C．18 D．12
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AC⊥EF，垂足为G，则∠EAF的度数为( )
第3题图
A．45° B．30°
C．60° D．40°
4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使其对角顶点A与C重合，点D落在点G处．若BC的长为6，当△AEF为等边三角形时，则线段DG的长为( )
第5题图
A．3 B．4
C．3 D．2
6．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动．若CD＝5，BC＝24，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为________.
第6题图
7．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠B＝60°，则EF＝____cm.
第7题图
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
第8题图
9．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足．
(1)求证：AP＝EF；
(2)若∠BAP＝60°，PD＝，求EF的长．
第9题图
10．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
求证：(1)△ADO≌△CBO；
(2)四边形ABCD是菱形．
第10题图
21 矩形、菱形、正方形
基础巩固
1．下列说法中不正确的是( B )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．菱形的对角线平分对角
2．(2020·襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( B )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
3．(2020·荆门)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点．若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( C )
第3题图
A．20 B．30
C．40 D．50
4．(2020·怀化)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( C )
第4题图
A．4 B．6
C．8 D．10
5．(2021·原创)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( C )
第5题图
A．45° B．55°
C．60° D．75°
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC的中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为( B )
第6题图
A. B．
C．3 D．5
7．(2020·遵义)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( D )
第7题图
A. B．
C．4 D．
8．(2019·陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为( C )
第8题图
A．1 B．
C．2 D．4
9．(2020·南充)如图，在面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为( B )
第9题图
A.S B．S
C．S D．S
10．(2019·孝感)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为( A )
第10题图
A. B．
C． D．
11．(2020·舟山)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：AD＝DC(答案不唯一)，使▱ABCD是菱形．
第11题图
12．(2020·无锡)如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上．若AE＝AC，则∠BAE＝115°.
第12题图
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 .
第13题图
14．(2020·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2.
第14题图
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝2.
第15题图
16．(2019·凉山)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.
第16题图
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO.
在△BOE和△AOF中，
∴△BOE≌△AOF(AAS)，
∴OE＝OF.
17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，
第17题图
AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形．
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形BCFE的边长为4，高为2，
∴菱形BCFE的面积为4×2＝8.
18．(2020·滨州)如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边
第18题图
AB，BC，CD，DA于点P，M, Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
∴△PBE≌△QDE(ASA)．
(2)如答图，由(1)知△PBE≌△QDE，
第18题答图
∴EP＝EQ，
同理△BME≌△DNE(ASA)，
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形．
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
19. (2020·遂宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
第19题图
求证：(1)△BDE≌△FAE；
(2)四边形ADCF为矩形．
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE(AAS)．
(2)由(1)知△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD.
∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD.
第20题图
(1)求证：四边形FECD是正方形；
(2)若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°.
∵EF∥DC，∴四边形FECD为平行四边形．
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，
∴四边形FECD是菱形．
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FECD是正方形．
(2)解：由(1)知四边形FECD是正方形，
∴∠CDE＝45°.
∵ED＝2，
∴CE＝CD＝ED·sin45°＝2×＝2，
∴BC＝BE＋EC＝1＋2＝3，
∴BD2＝BC2＋CD2＝32＋22＝13，
∴BD＝.
21．(2019·宁夏)如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.
第21题图
(1)求证：AF＝DE；
(2)若DE＝AD，求tan∠AFE.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC．
在△AEF和△DCE中，
∴△AEF≌△DCE(AAS)，∴AF＝DE.
(2)解：∵DE＝AD，∴AE＝DE.
∵AF＝DE，
∴tan∠AFE＝＝＝.
22．(2020·桂林)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
第22题图
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE.
第22题答图
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)解：如答图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积为AD·BE＝2×＝2.
23．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
第23题图
(1)求证：△ADO≌△CBO；
(2)求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
(1)证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO.
∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠BCA.
在△ADO和△CBO中，
∴△ADO≌△CBO(ASA)．
(2)证明：由(1)得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB.
又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
(3)解：由(2)知四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB.
∵DE⊥BD，∴AC∥DE.
∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB.
∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4.
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝＝2，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×2×2＝2.
能力提升
1．(2020·湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )
第1题图
A．1和1 B．1和2
C．2和1 D．2和2
2．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0,0)，A(4,0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )
A．(2，) B．(，2)
C．(，3) D．(3，)
第2题图
3．(2020·宁夏)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( B )
第3题图
A．13 B．10
C．12 D．5
4．(2020·泰安)如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是( D )
第4题图
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为2 .
第5题图
6．(2020·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 .
第6题图
7．(2020·内江)如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为15.
第7题图
8．(2020·哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE.若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为2.
第8题图
9.(2020·红花岗区第二次适应性考试)如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝6，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边上的高的长是或或6.
第9题图
10．(2020·遵义)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点(点E与点A，C不重合)，
第10题图
连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M，N，作射线DF交射线CA于点G.
(1)求证：EF＝DE；
(2)当AF＝2时，求GE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°.
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∠B＝90°，
∴∠NMC＋∠BCM＝180°，∠MNB＋∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME.
∵CD＝MN，∴DM＝EN.
∵DE⊥EF，∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM＋∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN.
在△DME和△ENF中，
∴△DME≌△ENF(ASA)，
∴EF＝DE.
(2)解：如答图1，当点F在AB上时，
由(1)知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF.
∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN.
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1.
∵∠EMC＝90°，∴CE＝.
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，∴＝.
∴＝.
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4.
∵AC＝AG＋GC.
∴AG＝，CG＝，
∴GE＝GC－CE＝－＝.
第10题答图
如答图2，当点F在BA的延长线上时，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1.
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4.
∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，
∴＝，即＝，
解得AG＝4.
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE＝，
∴GE＝GA＋AE＝5.
综上所述，GE的长为或5.
中考预测
1．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，BC＝4，则BD的长是( C )
A．6 B．5
C．4 D．4
第1题图
2．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，G，H是对角线AC的三等分点．若四边形EGFH的面积为2，则矩形ABCD的面积为( C )
第2题图
A．36 B．24
C．18 D．12
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AC⊥EF，垂足为G，则∠EAF的度数为( A )
第3题图
A．45° B．30°
C．60° D．40°
4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使其对角顶点A与C重合，点D落在点G处．若BC的长为6，当△AEF为等边三角形时，则线段DG的长为( D )
第5题图
A．3 B．4
C．3 D．2
6．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动．若CD＝5，BC＝24，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为25.
第6题图
7．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠B＝60°，则EF＝cm.
第7题图
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
第8题图
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°.
又∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)解：四边形AECF是菱形．理由如下：
如答图，连接AC，交BD于点O.
第8题答图
∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.
∵OB＝OD，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，
又∵AC⊥EF，OA＝OC，∴四边形AECF是菱形．
9．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足．
(1)求证：AP＝EF；
(2)若∠BAP＝60°，PD＝，求EF的长．
第9题图
(1)证明：连接PC，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°.
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP＝CP.
∵EF＝CP，
∴AP＝EF.
(2)解：∵由(1)知△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP＝60°，
∴∠PCE＝30°.
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠PDE＝45°.
∵PE⊥CD，
∴DE＝PE.
∵PD＝，∴PE＝1，
∴PC＝2PE＝2.
由(1)知EF＝PC，
∴EF＝2.
10．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
求证：(1)△ADO≌△CBO；
(2)四边形ABCD是菱形．
第10题图
证明：(1)∵点O是AC的中点，∴AO＝CO.
∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB.
在△ADO和△CBO中，
∴△ADO≌△CBO(ASA)．
(2)由(1)得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB.
∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
21 矩形、菱形、正方形
基础巩固
1．下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．菱形的对角线平分对角
2．(2020·襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
3．(2020·荆门)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点．若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
第3题图
A．20 B．30
C．40 D．50
4．(2020·怀化)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
第4题图
A．4 B．6
C．8 D．10
5．(2021·原创)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )
第5题图
A．45° B．55°
C．60° D．75°
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC的中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为( )
第6题图
A. B．
C．3 D．5
7．(2020·遵义)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( )
第7题图
A. B．
C．4 D．
8．(2019·陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为( )
第8题图
A．1 B．
C．2 D．4
9．(2020·南充)如图，在面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为( )
第9题图
A.S B．S
C．S D．S
10．(2019·孝感)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为( )
第10题图
A. B．
C． D．
11．(2020·舟山)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：，使▱ABCD是菱形．________
第11题图
12．(2020·无锡)如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上．若AE＝AC，则∠BAE＝_____-
第12题图
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 .
第13题图
14．(2020·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为______.
第14题图
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝______.
第15题图
16．(2019·凉山)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.
第16题图
17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，
第17题图
AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
18．(2020·滨州)如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边
第18题图
AB，BC，CD，DA于点P，M, Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
19. (2020·遂宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
第19题图
求证：(1)△BDE≌△FAE；
(2)四边形ADCF为矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD.
第20题图
(1)求证：四边形FECD是正方形；
(2)若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
20．(2019·宁夏)如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.
第20题图
(1)求证：AF＝DE；
(2)若DE＝AD，求tan∠AFE.
21．(2020·桂林)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
第21题图
22．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
第22题图
(1)求证：△ADO≌△CBO；
(2)求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
能力提升
1．(2020·湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( )
第1题图
A．1和1 B．1和2
C．2和1 D．2和2
2．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0,0)，A(4,0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( )
A．(2，) B．(，2)
C．(，3) D．(3，)
第2题图
3．(2020·宁夏)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( )
第3题图
A．13 B．10
C．12 D．5
4．(2020·泰安)如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是( )
第4题图
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为____ .
第5题图
6．(2020·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 ____.
第6题图
7．(2020·内江)如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为______
第7题图
8．(2020·哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE.若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为______.
第8题图
9.(2020·红花岗区第二次适应性考试)如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝6，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边上的高的长是_______-.
第9题图
10．(2020·遵义)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点(点E与点A，C不重合)，
第10题图
连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M，N，作射线DF交射线CA于点G.
(1)求证：EF＝DE；
(2)当AF＝2时，求GE的长．
中考预测
1．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，BC＝4，则BD的长是( )
A．6 B．5
C．4 D．4
第1题图
2．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，G，H是对角线AC的三等分点．若四边形EGFH的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
第2题图
A．36 B．24
C．18 D．12
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AC⊥EF，垂足为G，则∠EAF的度数为( )
第3题图
A．45° B．30°
C．60° D．40°
4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使其对角顶点A与C重合，点D落在点G处．若BC的长为6，当△AEF为等边三角形时，则线段DG的长为( )
第5题图
A．3 B．4
C．3 D．2
6．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动．若CD＝5，BC＝24，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为________.
第6题图
7．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠B＝60°，则EF＝____cm.
第7题图
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
第8题图
9．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足．
(1)求证：AP＝EF；
(2)若∠BAP＝60°，PD＝，求EF的长．
第9题图
10．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
求证：(1)△ADO≌△CBO；
(2)四边形ABCD是菱形．
第10题图
21 矩形、菱形、正方形
基础巩固
1．下列说法中不正确的是( B )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．菱形的对角线平分对角
2．(2020·襄阳)已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( B )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
3．(2020·荆门)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点．若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( C )
第3题图
A．20 B．30
C．40 D．50
4．(2020·怀化)如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( C )
第4题图
A．4 B．6
C．8 D．10
5．(2021·原创)如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( C )
第5题图
A．45° B．55°
C．60° D．75°
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC的中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为( B )
第6题图
A. B．
C．3 D．5
7．(2020·遵义)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( D )
第7题图
A. B．
C．4 D．
8．(2019·陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为( C )
第8题图
A．1 B．
C．2 D．4
9．(2020·南充)如图，在面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为( B )
第9题图
A.S B．S
C．S D．S
10．(2019·孝感)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为( A )
第10题图
A. B．
C． D．
11．(2020·舟山)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：AD＝DC(答案不唯一)，使▱ABCD是菱形．
第11题图
12．(2020·无锡)如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上．若AE＝AC，则∠BAE＝115°.
第12题图
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 .
第13题图
14．(2020·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为2.
第14题图
15．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝2.
第15题图
16．(2019·凉山)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.求证：OE＝OF.
第16题图
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA.
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE，
∴∠MEA＝∠AFO.
在△BOE和△AOF中，
∴△BOE≌△AOF(AAS)，
∴OE＝OF.
17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，
第17题图
AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形．
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形BCFE的边长为4，高为2，
∴菱形BCFE的面积为4×2＝8.
18．(2020·滨州)如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边
第18题图
AB，BC，CD，DA于点P，M, Q，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE；
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
∴△PBE≌△QDE(ASA)．
(2)如答图，由(1)知△PBE≌△QDE，
第18题答图
∴EP＝EQ，
同理△BME≌△DNE(ASA)，
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形．
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
19. (2020·遂宁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
第19题图
求证：(1)△BDE≌△FAE；
(2)四边形ADCF为矩形．
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE.
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE(AAS)．
(2)由(1)知△BDE≌△FAE，∴AF＝BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝CD.
∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD.
第20题图
(1)求证：四边形FECD是正方形；
(2)若BE＝1，ED＝2，求BD的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°.
∵EF∥DC，∴四边形FECD为平行四边形．
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，
∴四边形FECD是菱形．
又∵∠C＝90°，
∴平行四边形FECD是正方形．
(2)解：由(1)知四边形FECD是正方形，
∴∠CDE＝45°.
∵ED＝2，
∴CE＝CD＝ED·sin45°＝2×＝2，
∴BC＝BE＋EC＝1＋2＝3，
∴BD2＝BC2＋CD2＝32＋22＝13，
∴BD＝.
21．(2019·宁夏)如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD.
第21题图
(1)求证：AF＝DE；
(2)若DE＝AD，求tan∠AFE.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC．
在△AEF和△DCE中，
∴△AEF≌△DCE(AAS)，∴AF＝DE.
(2)解：∵DE＝AD，∴AE＝DE.
∵AF＝DE，
∴tan∠AFE＝＝＝.
22．(2020·桂林)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
第22题图
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AF＝AE.
第22题答图
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)解：如答图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积为AD·BE＝2×＝2.
23．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
第23题图
(1)求证：△ADO≌△CBO；
(2)求证：四边形ABCD是菱形；
(3)若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．
(1)证明：∵点O是AC的中点，∴AO＝CO.
∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠BCA.
在△ADO和△CBO中，
∴△ADO≌△CBO(ASA)．
(2)证明：由(1)得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB.
又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
(3)解：由(2)知四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB.
∵DE⊥BD，∴AC∥DE.
∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB.
∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4.
在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝＝2，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×2×2＝2.
能力提升
1．(2020·湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是( D )
第1题图
A．1和1 B．1和2
C．2和1 D．2和2
2．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0,0)，A(4,0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )
A．(2，) B．(，2)
C．(，3) D．(3，)
第2题图
3．(2020·宁夏)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝( B )
第3题图
A．13 B．10
C．12 D．5
4．(2020·泰安)如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是( D )
第4题图
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为2 .
第5题图
6．(2020·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G.若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 .
第6题图
7．(2020·内江)如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M，N分别是线段DB，AB上的两个动点，则AM＋MN的最小值为15.
第7题图
8．(2020·哈尔滨)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE.若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为2.
第8题图
9.(2020·红花岗区第二次适应性考试)如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝6，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边上的高的长是或或6.
第9题图
10．(2020·遵义)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点(点E与点A，C不重合)，
第10题图
连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M，N，作射线DF交射线CA于点G.
(1)求证：EF＝DE；
(2)当AF＝2时，求GE的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°.
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∠B＝90°，
∴∠NMC＋∠BCM＝180°，∠MNB＋∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME.
∵CD＝MN，∴DM＝EN.
∵DE⊥EF，∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM＋∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN.
在△DME和△ENF中，
∴△DME≌△ENF(ASA)，
∴EF＝DE.
(2)解：如答图1，当点F在AB上时，
由(1)知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF.
∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN.
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1.
∵∠EMC＝90°，∴CE＝.
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，∴＝.
∴＝.
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4.
∵AC＝AG＋GC.
∴AG＝，CG＝，
∴GE＝GC－CE＝－＝.
第10题答图
如答图2，当点F在BA的延长线上时，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1.
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4.
∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，
∴＝，即＝，
解得AG＝4.
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE＝，
∴GE＝GA＋AE＝5.
综上所述，GE的长为或5.
中考预测
1．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，BC＝4，则BD的长是( C )
A．6 B．5
C．4 D．4
第1题图
2．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，G，H是对角线AC的三等分点．若四边形EGFH的面积为2，则矩形ABCD的面积为( C )
第2题图
A．36 B．24
C．18 D．12
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，EA平分∠BEF，AC⊥EF，垂足为G，则∠EAF的度数为( A )
第3题图
A．45° B．30°
C．60° D．40°
4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使其对角顶点A与C重合，点D落在点G处．若BC的长为6，当△AEF为等边三角形时，则线段DG的长为( D )
第5题图
A．3 B．4
C．3 D．2
6．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动．若CD＝5，BC＝24，则在运动过程中，点D到点O的最大距离为25.
第6题图
7．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠B＝60°，则EF＝cm.
第7题图
8．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，连接AF，CE.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
第8题图
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°.
又∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEB＝∠CFD.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
(2)解：四边形AECF是菱形．理由如下：
如答图，连接AC，交BD于点O.
第8题答图
∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.
∵OB＝OD，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，
又∵AC⊥EF，OA＝OC，∴四边形AECF是菱形．
9．如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别为垂足．
(1)求证：AP＝EF；
(2)若∠BAP＝60°，PD＝，求EF的长．
第9题图
(1)证明：连接PC，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°.
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF＝PC.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP＝CP.
∵EF＝CP，
∴AP＝EF.
(2)解：∵由(1)知△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP＝60°，
∴∠PCE＝30°.
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠PDE＝45°.
∵PE⊥CD，
∴DE＝PE.
∵PD＝，∴PE＝1，
∴PC＝2PE＝2.
由(1)知EF＝PC，
∴EF＝2.
10．如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E.
求证：(1)△ADO≌△CBO；
(2)四边形ABCD是菱形．
第10题图
证明：(1)∵点O是AC的中点，∴AO＝CO.
∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB.
在△ADO和△CBO中，
∴△ADO≌△CBO(ASA)．
(2)由(1)得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB.
∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
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