2022届初中数学一轮复习 课时作业21 矩形、菱形、正方形

课时作业21　矩形、菱形、正方形

1.(2020·四川泸州)下列命题是假命题的是(　　)

A.平行四边形的对角线互相平分

B.矩形的对角线互相垂直

C.菱形的对角线互相垂直平分

D.正方形的对角线互相垂直平分且相等

2.(2020·浙江台州)下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形.下列推理过程正确的是(　　)

A.由②推出③，由③推出①

B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②

D.由①推出③，由③推出②

3.(2020·广东广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为(　　)

A. 　B. 　C. 　D.

4.(2020·贵州安顺)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是(　　)

A.5 　B.20 　C.24 　D.32

5.(2020·浙江湖州)四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB=30°，则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是(　　)

A.1 　B. 　C. 　D.

6.(2020·黑龙江鹤岗)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，S菱形ABCD=48，则OH的长为              (　　)

A.4 　B.8 　C. 　D.6

7.(2020·浙江嘉兴、舟山)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　， 

使▱ABCD是菱形.

8.(2020·北京)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.

(1)求证：四边形OEFG是矩形；

(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.

9.(2020·四川乐山)观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每一小方格的边长为1)，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是(　　)

10.(2020·宁夏)如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E，F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=(　　)

A.13 　B.10 　C.12 　D.5

11.(2020·四川内江)如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE，BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF.已知AB=3，BC=4，则EF的长为(　　)

A.3 　B.5 　C. 　D.

12.(2020·甘肃天水)如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若DF=3，则BE的长为　　　　. 

13.(2020·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点E在边AD上，且AE=2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　　　　. 

14.(2020·甘肃武威)如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.

(1)求证：△AEM≌△ANM.

(2)若BM=3，DN=2，求正方形ABCD边长.

参考答案

1.B　解析 A.正确，平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意；

B.错误，应该是矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意；

C.正确，菱形的对角线互相垂直且平分，故选项C不符合题意；

D.正确，正方形的对角线相等且互相垂直平分，故选项D不符合题意.

2.A　解析 根据正方形特点由②可以推理出③，再由矩形的性质根据③推出①，故选A.

3.C

4.B　解析 如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

AC=8，BD=6，

∴AB=BC=CD=AD，OA=AC=4，

OB=BD=3，AC⊥BD，

∴AB==5，

∴此菱形的周长=4×5=20.

5.B　解析 根据题意可知菱形ABC'D'的

高等于AB的一半，

∴菱形ABC'D'的面积为AB2，正方形ABCD的面积为AB2.

∴菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是.故选B.

6.A　解析 ∵四边形ABCD是菱形，

∵OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，

∴AC=12.∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，

∴OH=BD.

∵菱形ABCD的面积=×AC×BD=×12×BD=48，

∴BD=8，∴OH=BD=4.

7.AD=DC(答案不唯一)　解析 ∵邻边相等的平行四边形是菱形，试添加一个条件，可以为：AD=DC.

8.(1)证明 ∵四边形ABCD为菱形，

∴点O为BD的中点.∵点E为AD中点，

∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG.

∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形.

∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形.

(2)解 ∵点E为AD的中点，AD=10，

∴AE=AD=5.

∵∠EFA=90°，EF=4，

∴在Rt△AEF中，AF==3.

∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，

∴OE=AB=5.

∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，

∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.

9.A　解析 由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B，C，D阴影部分的面积均为5如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为，选项B，C，D拼接成的正方形的边长为.观察图形可知，选项B，C，D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为的正方形.

　　　　　图1　　　　　　　　图2

而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为的正方形，故选A.

10.B　解析 连接BD，交AC于点O，如图，

∵菱形ABCD的边长为13，点E，F分别是边CD，BC的中点，

∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA=13，EF∥BD.

∵AC，BD是菱形的对角线，AC=24，

∴AC⊥BD，AO=CO=12，OB=OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∴四边形BDEG是平行四边形，

∴BD=EG.

在△COD中，∵OC⊥OD，CD=13，CO=12，

∴OB=OD=5，

∴BD=2OD=10，

∴EG=BD=10.

故选B.

11.C　解析 ∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，

∴BD==5.

设AE的长度为x，

由折叠可得：△ABE≌△MBE，

∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2.在Rt△EMD中，EM2+DM2=DE2，

∴x2+22=(4-x)2，

解得x=，DE=4-.

设CF的长度为y，

由折叠可得△CBF≌△NBF，

∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1.

在Rt△DNF中，DN2+NF2=DF2，

∴y2+12=(3-y)2，

解得y=，DF=3-.

在Rt△DEF中，

EF=.

12.2　解析 ∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，

∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，

∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°.

∴∠GAE=∠FAE.又AE=AE，

∴△GAE≌△FAE(SAS)，

∴GE=EF.

设BE=x，则CE=6-x，EF=GE=DF+BE=3+x，

∵DF=3，∴CF=3.

在Rt△CEF中，由勾股定理，得

(6-x)2+32=(x+3)2，

解得x=2，即BE=2.

13.3　解析 ∵P由E往A运动，Q由F往C运动，且点P的速度是点Q的速度的2倍，∴当P与A重合时，Q在FC中点时，线段PQ取得最大值.过Q作QN⊥AB于N，则AN=QN=3，此时线段PQ==3.连接DE，HE，则DE=，所以DH≥DE-HE，当D，H，E三点共线时DH取得最小值，此时HE=，故DH最小值为.

14.2　解析 如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，

得矩形AGHE，

∴GH=AE=2.

∵在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，

∴BG=3，AG=3=EH，

∴HC=BC-BG-GH=6-3-2=1.

∵EF平分菱形面积，

∴FC=AE=2，

∴FH=FC-HC=2-1=1.

在Rt△EFH中，根据勾股定理，得

EF==2.

15.(1)证明 由旋转的性质得AE=AN，∠BAE=∠DAN.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90°，

∴BAN+∠BAE=90°，即∠EAN=90°.

∵∠MAN=45°，

∴∠MAE=∠EAN-∠MAN=90°-45°=45°.

在△AEM和△ANM中，

∴△AEM≌△ANM(SAS).

(2)解 设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x.

∵BM=3，DN=2

∴CM=BC-BM=x-3，CN=CD-DN=x-2.

由旋转的性质得BE=DN=2，

∴ME=BE+BM=2+3=5.

由(1)已证：△AEM≌△ANM

∴MN=ME=5.

又∵四边形ABCD是正方形，

∴∠C=90°，

则在Rt△CMN中，CM2+CN2=MN2，即(x-3)2+(x-2)2=52，

解得x=6或x=-1(不符题意，舍去)，

故正方形ABCD的边长为6.