2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《解直角三角形》专题训练含答案

2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形》专题突破训练（附答案）

1．如图，已知AB、CD分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像，那么大楼AB的高度为（  ）

A. 米    B. 米       C. 米    D. 60米

2．小方发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米， 米， 与地面成角，且此时测得米杆的影长为米，则电线杆的高度为（    ）．

A. 米    B. 米    C. 米    D. 米

3．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

4．如图所示是某游乐场“激流勇进”项目的示意图，游船从点水平运动到处后，沿着坡度为的斜坡到达游乐场项目的最高点，然后沿着俯角为，长度为的斜坡运动，最后沿斜坡俯冲到达点，完成一次“激流勇进”．如果的长为，则斜坡的长约为（    ）．（参考数据： ）

A.     B.     C.     D.

5．如图，在坡角为的山坡FB上有一座信号塔AB，其右侧有一堵防护墙CD，测得BD的长度是30米，当光线AC与水平地面的夹角为时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE的长为19米，则信号塔AB的高度约为（     ）

参考数据：

A. 米    B. 米    C. 米    D. 米

6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，BC＝8，sinB＝，那么tan∠CDE的值为（   ）

A.     B.     C.     D. －1

7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点E为BD的中点， ，则 ______ ．

8．在△ABC中，AB=AC=10，cosB=，如果圆O的半径为2，且经过点B、C，那么线段AO的长等于__．

9．如图，已知在中， ，点在上， ， ， ，则__________．

10．如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么的值为            ．

11．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D为AC上一点，若，则AD＝______。

12．现有一长为20m的梯子，为安全起见梯子靠在墙上的高度不能超过17.3m.求梯子与地面的夹角不超过___度时才是安全的．(精确到1°)

13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=__________．

14．某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为15米（C，A，D在同一条直线上）．

（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离AB；

（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

15．如图（1），一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2），此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．

（1）求B点到OP的距离．

（2）求滑动支架AC的长．

（参考数据：sin37°=，cos37°=，tan37°=）

图(1)            图(2)

16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，已知AB＝5km．

(1)求景点B与景点为C的距离；（结果保留根号）

(2)为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km.参考数据： ＝1.73， ＝2.24）

17．如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30。的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离姓B.(结果保留小数点后一位，其中1.732)

18．如图，在东西方向的海岸线上有一个码头M，在码头M的正西方向有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过3小时，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距60千米的B处．

（1）求该轮船航行的速度；

（2）当该轮船到达B处时，一艘海监船从O点出发以每小时16千米的速度向正东方向行驶，请通过计算说明哪艘船先到达码头M．（参考数据： ）

19．如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据： ≈1.41，结果精确到0.1米）

20．如图，防洪大坝的横截面是梯形，背水面的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且，身高为的小彬站在大堤点，测得高压电线杆端点的仰角为，已知地面宽，求高压电线杆的高度．

21．一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°．

（1）求证：GF⊥OC；   

（2）求EF的长（结果精确到0.1m）．

（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）

22．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．

（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；

（2）求证：；

（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．

23．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑，位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一个塔进行了测量．测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为48 m，塔的顶端为点A，且AB⊥CB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2 m.

(1)方法1，已知标杆DE＝2.2 m，求该塔的高度；

(2)方法2，测量得∠ACB＝47.5°，已知tan47.5°≈1.09，求该塔的高度；

(3)假如该塔的高度在方法1和方法2测得的结果之间，你认为该塔的高度大约是多少米？

参考答案

1．解：在Rt△BDE中，

∵∠EBD=30∘，BD=30米，

∴=tan30∘    解得：ED=10 (米)，

∵当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像，

∴AB=2DE=20 (米).故选：B.

2．解：延长交的延长线于点，作于点，

有， ，

∵测得米杆影长为米，

∴，

∴．

∴电线杆的长度为（米）．故选．

3．解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ．故选A．

4．解：在直角三角形BCG 中， ，BG=21，CG=21 ；AF=x，BF=3x，

CE=3x-21，DE=52-x，在直角三角形CDE 中， = ，即 ，

解得：x=16，则CE=27，CD= .故选B.

5．解：如图，作EG⊥AB于点G，BP⊥DE于点P，

则∠DBP=∠BFG=30°，
∵BD=30，
∴DP=BD=15，BP=BDcos∠DBP=30×=15，
∵DE=19，
∴PE=BG=DE-DP=4，
∵∠AEG=∠H=53°，
∴∠EAG=37°
∴AG=，
则AB=AG+BG=+4≈38.6   故选C．

6．A解：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB=，

∴AE=AB·sinB=4，BE==3.

则EC=BC-BE=8-3=5.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=5.

∴△CED为等腰三角形.

则∠CDE=∠CED.

又∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CED=∠CDE.

在Rt△EAD中，AE=4，AD=BC=8，

∴tan∠CDE=tan∠ADE==.故选A.

7．解：过B作BM⊥CA，交CA的延长线于M，过D作DN⊥CA，垂足为N，

∴∠BME=∠DN90°，
∵点E为BD的中点，
∴BE=DE，
∵∠BEM=∠DEN，
∴△BME≌△DNE，
∴BM=DN，
∵AB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴∠BAM=∠DCN，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，
∴∠BDC=∠BAM，
∴∠BDC=∠DCN，
∴DE=CE，
∴BE=CE=DE，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠DBC+∠BDC=∠ECB+∠DCN，
∴△BCD是直角三角形，
∵tan∠ACB=，
∴tan∠DBC=，
∵DC=5，
∴BC=10，
在△BMC中，设BM=x，则CM=2x，
由勾股定理得：x2+（2x）2=102，    x=±2 ，
∴BM=DN=2，CM=4，
由勾股定理得：AM=,

∴CN=AM=，
∴AN=CM-AM-CN=4--=2，
在△ADN中，AD=.

故答案是： .

8．解：分两种情况考虑：

(1)如图所示，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D为BC的中点，

在Rt△ABD中,AB=10,cos∠ABC=，

∴BD=3，

根据勾股定理得：AD==8，

在Rt△BDO中,OB=，BD=3，

根据勾股定理得：OD==2，

则AO=AD+OD=8+2=10；

(2)如图所示，

作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，

∴AD垂直平分BC，

∴点O在AD上，连接OB，

在Rt△ABD中,cosB==，

∴BD=10×=6，

∴AD==8，

在Rt△BOD中,OD==2，

∴OA=AD−OD=8−2=6.

综上，OA的长为6或10.

故答案为：6或10.

9．解：过点作，垂足为点，

∵， ， ，

∴， ，∴，

∴，

∵， ，

∴，

∴，

∴即，

∴，

∴答案为．

10．解：分成两种情况进行讨论：

顺时针旋转时.过点作，

分析可知是等腰三角形,

设

则

解可得：

逆时针旋转时：

分析可知是等腰三角形,

设

则

故答案为： 或

11．解：∵△ABC为等腰三角形，

∴BC=AC=8，

在Rt△BDC中，∵tan∠DBC==，

∴CD=BC=2，

∴AD=AC-CD=8-2=6.

故答案为：6.

12．解：∵梯子靠住在墙上的高度不能超过17.3m，

∴梯子与地面的夹角最大为

∴∠A最大为故答案为：

13.解：过E作EH⊥CF于H，则有∠HEC+∠ECH=90°，

由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，

∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°，

∴∠ECH=∠AEB，即∠ECF=∠AEB，

在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴ AE==10，

∴sin∠ECF=sin∠AEB= = ，故答案为： ．

14．解：（1）在Rt△ABC中，AB==4米；

（2）AC==3.2米，则CD=3.2+15=18.5米，

作FP⊥ED于P，

∴FP=CD=18.5，

∴EP=FP×tan∠EFP=12.025，

DP=BF+BC=3.6，ED=EP+PD=15.625，EG=ED﹣GH﹣HD=13.425，

则红旗升起的平均速度为：13.425÷30≈0.45，

答：红旗升起的平均速度为0.45米/秒．

15．解：（1）作 ，垂足为

设

在 中，

即

解得：

即

（2）在 中，

即

解得

即滑动支架AC的长为.

16．（1）景点B与景点为C的距离为(−3)km；（2）这条公路长约为3.1km.

解：（1）如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D.

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，

∴AD=AC=×8=4，

∴CD=.

在Rt△ABD中,BD=，

∴BC=CD−BD=−3，

答：景点B与景点为C的距离为(−3)km；

(2)过点C作CE⊥AB于点E. sin∠ABD=.

在Rt△CBE中,sin∠CBE=，

∵∠ABD=∠CBE，

∴sin∠CBE=，

∴CE=CB⋅sin∠CBE=(−3)×=≈3.1(km).

答：这条公路长约为3.1km.

17．解：由题意得，BC=80×=40（海里），

∠ACB=60°，∠DCB=30°，∠EBC=150°，

而∠EBA=60°，所以∠ABC=90°，  

在Rt△ABC中，tan60°=，

≈69.3（海里）．

答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB约为69.3海里．

18．解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．

由题意，得

OA=60千米，OB=60千米，∠AOC=30°．

∴AC＝OA＝×60＝30（千米）．

∵在Rt△AOC中，OC=OA•cos∠AOC=60×=90（千米）．

∴BC=OC-OB=90-60=30（千米）．

∴在Rt△ABC中，AB＝（千米）．

∴轮船航行的速度为：60÷3＝20（千米/时）．

（2）由题意得：ΔABC∽ΔMBO

∴

∴ BM=120千米,MO=60千米

∴t轮船=120÷20=6h,t海监船=60÷16=

 ∵t轮船＜t海监船∴轮船先到

19．AE的长度为190.4米.

解：作EF⊥AC，

根据题意，CE=18×15=270米，

∵tan∠CED=1，

∴∠CED=∠DCE=45°，

∵∠ECF=90°-45°-15°=30°，

∴EF=CE=135米，

∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，

∴∠AEF=180°-45°-60°-30°=45°

∴AE=135≈190.4米，

答：AE的长度为190.4米.

20．解：∵背水面坡比．即．

∴．

∴．

∴．

∴．

过作于，则．

∵，

∴， ．

∴．

21．解：(1)证明：CD与FG交于点M，

∵,四边形ABCD是矩形,

∴

∴GF⊥CO；

(2)作GN⊥EH于点N，

∴四边形ENGF是矩形；

22．解：（1）∠CBD与∠CEB相等，理由如下：

∵BC切⊙O于点B，

∴∠CBD=∠BAD，

∵∠BAD=∠CEB，

∴∠CEB=∠CBD，

（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，

∴∠EBC=∠BDC，

∴△EBC∽△BDC，

∴；

（3）设AB=2x，∵BC=AB，AB是直径，

∴BC=3x，OB=OD=x，

∵∠ABC=90°，

∴OC=x，

∴CD=（-1）x，

∵AO=DO，

∴∠CDF=∠A=∠DBF，

∴△DCF∽△BCD，

∴==，

∵tan∠DBF==，

∴tan∠CDF=．

23．解：（1）由题意，可得△ABC∽△DEC，∴，

即，解得：AB=55，

答：该塔的高度为55m；

（2）在Rt△ABC中，tan∠ACB=，

∴AB=（48+2）×tan47.5°≈50×1.09=54.4（m），

答：该塔的高度为54.5m.

（3）答案不唯一，如54.75 m或54.8 m(数值在54.5～55之间均可)