2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《解直角三角形》专题训练含答案

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2021年九年级数学中考一轮复习《解直角三角形》专题突破训练（附答案）1．如图，已知AB、CD分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像，那么大楼AB的高度为（  ）A. 米    B. 米       C. 米    D. 60米2．小方发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米， 米， 与地面成角，且此时测得米杆的影长为米，则电线杆的高度为（    ）．A. 米    B. 米    C. 米    D. 米3．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（    ）A.     B.     C.     D. 4．如图所示是某游乐场“激流勇进”项目的示意图，游船从点水平运动到处后，沿着坡度为的斜坡到达游乐场项目的最高点，然后沿着俯角为，长度为的斜坡运动，最后沿斜坡俯冲到达点，完成一次“激流勇进”．如果的长为，则斜坡的长约为（    ）．（参考数据： ）A.     B.     C.     D. 5．如图，在坡角为的山坡FB上有一座信号塔AB，其右侧有一堵防护墙CD，测得BD的长度是30米，当光线AC与水平地面的夹角为时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE的长为19米，则信号塔AB的高度约为（     ）参考数据： A. 米    B. 米    C. 米    D. 米6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB＝5，BC＝8，sinB＝，那么tan∠CDE的值为（   ）A.     B.     C.     D. －17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点E为BD的中点， ，则 ______ ．8．在△ABC中，AB=AC=10，cosB=，如果圆O的半径为2，且经过点B、C，那么线段AO的长等于__．9．如图，已知在中， ，点在上， ， ， ，则__________． 10．如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么的值为            ．11．在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D为AC上一点，若，则AD＝______。12．现有一长为20m的梯子，为安全起见梯子靠在墙上的高度不能超过17.3m.求梯子与地面的夹角不超过___度时才是安全的．(精确到1°)13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=__________． 14．某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为2.4米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.2米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为15米（C，A，D在同一条直线上）．（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离AB；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）    15．如图（1），一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在线段OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转45°到达ON位置，如图（2），此时，点A、C的对应位置分别是点B、D，测量出∠ODB为37°，点D到点O的距离为28cm．（1）求B点到OP的距离．（2）求滑动支架AC的长．（参考数据：sin37°=，cos37°=，tan37°=）图(1)            图(2)   16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，已知AB＝5km．(1)求景点B与景点为C的距离；（结果保留根号）(2)为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km.参考数据： ＝1.73， ＝2.24）         17．如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30。的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离姓B.(结果保留小数点后一位，其中1.732)      18．如图，在东西方向的海岸线上有一个码头M，在码头M的正西方向有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过3小时，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距60千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）当该轮船到达B处时，一艘海监船从O点出发以每小时16千米的速度向正东方向行驶，请通过计算说明哪艘船先到达码头M．（参考数据： ）       19．如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i=1：1（即tan∠CED=1）的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°．已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度．（参考数据： ≈1.41，结果精确到0.1米）   20．如图，防洪大坝的横截面是梯形，背水面的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且，身高为的小彬站在大堤点，测得高压电线杆端点的仰角为，已知地面宽，求高压电线杆的高度．   21．一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH，测得FG∥EH，GH=2.6m，∠FGB=65°．（1）求证：GF⊥OC；    （2）求EF的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin25°=cos65°≈0.42，cos25°=sin65°≈0.91）  22．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若BC=AB，求tan∠CDF的值．  23．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省会太原现存古建筑中最高的建筑，位于太原市城区东南向山脚畔．数学活动小组的同学对其中一个塔进行了测量．测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为48 m，塔的顶端为点A，且AB⊥CB，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得CE＝2 m.(1)方法1，已知标杆DE＝2.2 m，求该塔的高度；(2)方法2，测量得∠ACB＝47.5°，已知tan47.5°≈1.09，求该塔的高度；(3)假如该塔的高度在方法1和方法2测得的结果之间，你认为该塔的高度大约是多少米？　　　         参考答案1．解：在Rt△BDE中，∵∠EBD=30∘，BD=30米，∴=tan30∘    解得：ED=10 (米)，∵当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像，∴AB=2DE=20 (米).故选：B.2．解：延长交的延长线于点，作于点，有， ，∵测得米杆影长为米，∴，∴．∴电线杆的长度为（米）．故选．3．解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ．故选A．4．解：在直角三角形BCG 中， ，BG=21，CG=21 ；AF=x，BF=3x，CE=3x-21，DE=52-x，在直角三角形CDE 中， = ，即 ，解得：x=16，则CE=27，CD= .故选B.    5．解：如图，作EG⊥AB于点G，BP⊥DE于点P，

则∠DBP=∠BFG=30°，
∵BD=30，
∴DP=BD=15，BP=BDcos∠DBP=30×=15，
∵DE=19，
∴PE=BG=DE-DP=4，
∵∠AEG=∠H=53°，
∴∠EAG=37°
∴AG=，
则AB=AG+BG=+4≈38.6   故选C．6．A解：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB=，∴AE=AB·sinB=4，BE==3.则EC=BC-BE=8-3=5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=5.∴△CED为等腰三角形.则∠CDE=∠CED.又∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CED=∠CDE.在Rt△EAD中，AE=4，AD=BC=8，∴tan∠CDE=tan∠ADE==.故选A.7．解：过B作BM⊥CA，交CA的延长线于M，过D作DN⊥CA，垂足为N，
∴∠BME=∠DN90°，
∵点E为BD的中点，
∴BE=DE，
∵∠BEM=∠DEN，
∴△BME≌△DNE，
∴BM=DN，
∵AB=CD，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴∠BAM=∠DCN，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∠BAC+∠BAM=180°，
∴∠BDC=∠BAM，
∴∠BDC=∠DCN，
∴DE=CE，
∴BE=CE=DE，
∴∠DBC=∠ECB，
∴∠DBC+∠BDC=∠ECB+∠DCN，
∴△BCD是直角三角形，
∵tan∠ACB=，
∴tan∠DBC=，
∵DC=5，
∴BC=10，
在△BMC中，设BM=x，则CM=2x，
由勾股定理得：x2+（2x）2=102，    x=±2 ，
∴BM=DN=2，CM=4，
由勾股定理得：AM=,∴CN=AM=，
∴AN=CM-AM-CN=4--=2，
在△ADN中，AD=.故答案是： .8．解：分两种情况考虑：(1)如图所示，∵AB=AC，OB=OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中,AB=10,cos∠ABC=，∴BD=3，根据勾股定理得：AD==8，在Rt△BDO中,OB=，BD=3，根据勾股定理得：OD==2，则AO=AD+OD=8+2=10；(2)如图所示，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，∴点O在AD上，连接OB，在Rt△ABD中,cosB==，∴BD=10×=6，∴AD==8，在Rt△BOD中,OD==2，∴OA=AD−OD=8−2=6.综上，OA的长为6或10.故答案为：6或10.9．解：过点作，垂足为点，∵， ， ，∴， ，∴，∴，∵， ，∴，∴，∴即，∴，∴答案为．10．解：分成两种情况进行讨论：顺时针旋转时.过点作，分析可知是等腰三角形, 设 则 解可得： 逆时针旋转时：分析可知是等腰三角形, 设 则 故答案为： 或11．解：∵△ABC为等腰三角形，∴BC=AC=8，在Rt△BDC中，∵tan∠DBC==，∴CD=BC=2，∴AD=AC-CD=8-2=6.故答案为：6.12．解：∵梯子靠住在墙上的高度不能超过17.3m，∴梯子与地面的夹角最大为∴∠A最大为故答案为： 13.解：过E作EH⊥CF于H，则有∠HEC+∠ECH=90°，由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°，∴∠ECH=∠AEB，即∠ECF=∠AEB，在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴ AE==10，∴sin∠ECF=sin∠AEB= = ，故答案为： ．14．解：（1）在Rt△ABC中，AB==4米；（2）AC==3.2米，则CD=3.2+15=18.5米，作FP⊥ED于P，∴FP=CD=18.5，∴EP=FP×tan∠EFP=12.025，DP=BF+BC=3.6，ED=EP+PD=15.625，EG=ED﹣GH﹣HD=13.425，则红旗升起的平均速度为：13.425÷30≈0.45，答：红旗升起的平均速度为0.45米/秒．15．解：（1）作 ，垂足为 设 在 中， 即 解得： 即 （2）在 中， 即 解得 即滑动支架AC的长为.16．（1）景点B与景点为C的距离为(−3)km；（2）这条公路长约为3.1km.解：（1）如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D.在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴AD=AC=×8=4，∴CD=.在Rt△ABD中,BD=，∴BC=CD−BD=−3，答：景点B与景点为C的距离为(−3)km；(2)过点C作CE⊥AB于点E. sin∠ABD=.在Rt△CBE中,sin∠CBE=，∵∠ABD=∠CBE，∴sin∠CBE=，∴CE=CB⋅sin∠CBE=(−3)×=≈3.1(km).答：这条公路长约为3.1km.17．解：由题意得，BC=80×=40（海里），∠ACB=60°，∠DCB=30°，∠EBC=150°，而∠EBA=60°，所以∠ABC=90°，   在Rt△ABC中，tan60°=，≈69.3（海里）．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB约为69.3海里．18．解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA=60千米，OB=60千米，∠AOC=30°．∴AC＝OA＝×60＝30（千米）．∵在Rt△AOC中，OC=OA•cos∠AOC=60×=90（千米）．∴BC=OC-OB=90-60=30（千米）．∴在Rt△ABC中，AB＝（千米）．∴轮船航行的速度为：60÷3＝20（千米/时）．（2）由题意得：ΔABC∽ΔMBO∴∴ BM=120千米,MO=60千米∴t轮船=120÷20=6h,t海监船=60÷16= ∵t轮船＜t海监船∴轮船先到19．AE的长度为190.4米.解：作EF⊥AC，根据题意，CE=18×15=270米， ∵tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°-45°-15°=30°，∴EF=CE=135米， ∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°-45°-60°-30°=45°∴AE=135≈190.4米，答：AE的长度为190.4米.20．解：∵背水面坡比．即．∴．∴．∴．∴．过作于，则．∵，∴， ．∴．21．解：(1)证明：CD与FG交于点M，∵,四边形ABCD是矩形, ∴ ∴GF⊥CO；(2)作GN⊥EH于点N， ∴四边形ENGF是矩形； 22．解：（1）∠CBD与∠CEB相等，理由如下：∵BC切⊙O于点B，∴∠CBD=∠BAD，∵∠BAD=∠CEB，∴∠CEB=∠CBD，（2）∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，∴∠EBC=∠BDC，∴△EBC∽△BDC，∴；（3）设AB=2x，∵BC=AB，AB是直径，∴BC=3x，OB=OD=x，∵∠ABC=90°，∴OC=x，∴CD=（-1）x，∵AO=DO，∴∠CDF=∠A=∠DBF，∴△DCF∽△BCD，∴==，∵tan∠DBF==，∴tan∠CDF=．23．解：（1）由题意，可得△ABC∽△DEC，∴，即，解得：AB=55，答：该塔的高度为55m；（2）在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=（48+2）×tan47.5°≈50×1.09=54.4（m），答：该塔的高度为54.5m.（3）答案不唯一，如54.75 m或54.8 m(数值在54.5～55之间均可)