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2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《探索数字的变化规律》专题训练含答案
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这是一份2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《探索数字的变化规律》专题训练含答案，共22页。试卷主要包含了观察下列两行数，计算++++…+的结果是，观察下列等式，一列数按某规律排列如下，按一定规律排列的一组数，现定义一种变换，下面是按照一定规律排列的一列数等内容，欢迎下载使用。
2021年九年级数学中考二轮复习《探索数字的变化规律》专题突破训练
1．观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
2．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
3．计算++++…+的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
5．一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）A．50 B．60 C．62 D．71
6．按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，（其中a，b为整数），则a+b的值为（ ）A．182 B．172 C．242 D．200
7．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
6＝2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）＝（1+2）×（1+3）＝12；
12＝22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）＝（1+2+22）×（1+3）＝28；
36＝22×32，则36的所有正约数之和
（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）＝（1+2+22）×（1+3+32）＝91．
参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（ ）
A．420 B．434 C．450 D．465
8．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（ ）
A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2）
9．下面是按照一定规律排列的一列数：
第1个数：﹣（1+）；
第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；
第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；
…
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
10．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝（n为不小于2的整数），则a100＝（ ）
A． B．2 C．﹣1 D．﹣2
11．我们知道：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，那么一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，，…中，则第200个数是（ ）
A． B． C． D．
12．对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2021（1，﹣1）＝（ ）
A．（0，21010） B．（0，﹣21010） C．（0，﹣21011） D．（0，21011）
13．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 个．
14．定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作+++…，
例如：＝＝＝＝＝＝，的连分数为，记作+++，则 ++．
15．观察下面的变化规律：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…
根据上面的规律计算：＝ ．
16．“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 ，并可推断出5月30日应该是星期几 ．
17．观察下列一组数的排列规律：
，，，，，，，，，，，，，，，…
那么，这一组数的第2019个数是 ．
18．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．
19．已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1），按此规律，S2018＝ ．
20．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为 ．
21．根据下列各式的规律，在横线处填空：
，，＝，…，+﹣ ＝
22．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a9+a11﹣2a10+10的值是 ．
23．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
24．观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
25．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
第4组
x4
x4
x4
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．
26．观察以下等式：
第1个等式：++×＝1，
第2个等式：++×＝1，
第3个等式：++×＝1，
第4个等式：++×＝1，
第5个等式：++×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
27．观察下列各个等式的规律：
第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
28．阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：＝q，＝q，＝q，…＝q．
所以：a2＝a1•q，a3＝a2•q＝（a1•q）•q＝a1•q2，a4＝a3•q＝（a1•q2）•q＝a1•q3，…
由此可得：an＝ （用a1和q的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比q＝2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
29．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4× 2＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
30．观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2＝﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60
三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2＝2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12
积与和的商
﹣2÷2＝﹣1
（2） 请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x
2021年九年级数学中考二轮复习《探索数字的变化规律》专题突破训练答案
1．解：第1个相同的数是1＝0×6+1，
第2个相同的数是7＝1×6+1，
第3个相同的数是13＝2×6+1，
第4个相同的数是19＝3×6+1，
…，
第n个相同的数是6（n﹣1）+1＝6n﹣5，
所以6n﹣5＝103，
解得n＝18．
答：第n个相同的数是103，则n等于18．
故选：A．
2．解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故选：A．
3．解：原式＝
＝
＝．
故选：B．
4．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴505×（1+7+9+3）＝10100，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
故选：A．
5．解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，
故选：B．
6．解：∵，
∵，
∴，
∴a＝72，b＝110，
∴a+b＝72+110＝182．
故选：A．
7．解：200的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为200＝23×52，
所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）×（1+5+52）＝465．
故选：D．
8．解：A、∵2有3个，∴不可以作为S1，故A选项错误；
B、∵2有3个，∴不可以作为S1，故B选项错误；
C、3只有1个，∴不可以作为S1，故C选项错误；
D、符合定义的一种变换，故D选项正确．
故选：D．
9．解：第1个数：﹣（1+）；
第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；
第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；
…
∴第n个数：﹣（1+）[1+][1+]…[1+]＝﹣，
∴第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为﹣，﹣，﹣，﹣，其中最大的数为﹣，即第10个数最大．
故选：A．
10．解：根据题意得，a2＝＝2，
a3＝＝﹣1，
a4＝＝，
a5＝＝2，
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵100÷3＝33…1，
∴a100是第34个循环组的第一个数，与a1相同，
即a100＝．
故选：A．
11．解：∵一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
∴这列数中分母是1的有一个数，分母是2的有三个数，分母是3的是五个数，…，
∵200＝142+4，1+3+5+…+27＝142，
∴第200个数是分母是15的数中第四个数，则这个数是，
故选：D．
12．解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）
P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）
P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）
…
当n为奇数时，Pn（1，﹣1）＝（0，），
∴P2021（1，﹣1）应该等于（0，21011）．
故选：D．
13．解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．
当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
故答案为：210．
14．解：++＝＝＝＝．
故答案为：．
15．解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．
故
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
故答案：．
16．解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
故答案为：112；五、六、日．
17．解：一列数为：，，，，，，，，，，，，，，，，…
则这列数也可变为：，，，，，，，，，，，，，，，…
由上列数字可知，第一个数的分母是1+21＝3，这样的数有1个；
第二个数的分母是1+22＝5，这样的数有2个；
第三个数的分母是1+23＝9，这样的数有3个；
…，
∵1+2+3+…+63＝2016＜2019，
∴这一组数的第2019个数是：，
故答案为：．
18．解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1（n≥2），
故答案为n﹣1（n≥2）．
19．解：S1＝，S2＝﹣S1﹣1＝﹣﹣1＝﹣，S3＝＝﹣，S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝﹣，S5＝＝﹣（a+1），S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，S7＝＝，…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2018＝336×6+2，
∴S2018＝S2＝﹣．
故答案为：﹣．
20．解：由数列知第n个数为，
则前2018个数的和为++++…+
＝++++…+
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，
故答案为：．
21．解：∵+﹣1＝，+﹣＝，+﹣＝，+﹣＝，…，
∴+﹣＝（n为正整数）．
∵2018＝2×1009，
∴+﹣＝．
故答案为：．
22．解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n＝，
∴a9＝＝45、a10＝＝55、a11＝＝66，
则a9+a11﹣2a10+10＝45+66﹣2×55+10＝11，
故答案为：11．
23．解：（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
（2）设S＝3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣3，
所以S＝，
即3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
24．解：（1）第6个等式为：，
故答案为：；
（2）
证明：∵右边＝＝左边．
∴等式成立，
故答案为：．
25．解：（1）
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
x3
x3
x3
第4组
x4
x4
x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4＝14③，x2+x4≤14④，
①+②+2③+④≤70得，x1+x2+x2+x3+2（x1+x3+x4）+x2+x4≤70，
∴3（x1+x2+x3+x4）≤70，
∴x1+x2+x3+x4≤，
∴x1+x2+x3+x4≤23，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
26．解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5
故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1
故应填：
证明：＝
∴等式成立
27．解：（1）由题目中式子的变化规律可得，
第四个等式是：；
（2）第n个等式是：，
证明：∵＝＝＝＝n，
∴第n个等式是：．
28．解：（1）q＝＝2，第4项是24；
（2）归纳总结得：an＝a1•qn﹣1；
（3）∵等比数列的公比q＝2，第二项为10，
∴a1＝＝5，a4＝a1•q3＝5×23＝40．
故答案为：（1）2；24；（2）a1•qn﹣1；（3）5；40．
29．解：（1）32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42＝17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，
左边＝（2n+1）2﹣4n2＝4n2+4n+1﹣4n2＝4n+1，
右边＝4n+1．
左边＝右边
∴（2n+1）2﹣4n2＝4n+1．
30．解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）＝5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17＝170，
（﹣2）+（﹣5）+17＝10，
170÷10＝17．
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2＝﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60
（﹣2）×（﹣5）×17＝170
三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2＝2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12
（﹣2）+（﹣5）+17＝10
积与和的商
﹣2÷2＝﹣1，
（﹣60）÷（﹣12）＝5，
170÷10＝17
（2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）＝360，
5+（﹣8）+（﹣9）＝﹣12，
y＝360÷（﹣12）＝﹣30，
图⑤：＝﹣3，
解得x＝﹣2；
经检验x＝﹣2是原方程的根，
∴图⑤中的数为﹣2
2021年九年级数学中考二轮复习《探索数字的变化规律》专题突破训练
1．观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
2．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（ ）
A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5
3．计算++++…+的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
5．一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（ ）A．50 B．60 C．62 D．71
6．按一定规律排列的一组数：，，，，…，，，（其中a，b为整数），则a+b的值为（ ）A．182 B．172 C．242 D．200
7．一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：
6＝2×3，则6的所有正约数之和（1+3）+（2+6）＝（1+2）×（1+3）＝12；
12＝22×3，则12的所有正约数之和（1+3）+（2+6）+（4+12）＝（1+2+22）×（1+3）＝28；
36＝22×32，则36的所有正约数之和
（1+3+9）+（2+6+18）+（4+12+36）＝（1+2+22）×（1+3+32）＝91．
参照上述方法，那么200的所有正约数之和为（ ）
A．420 B．434 C．450 D．465
8．现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（ ）
A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2）
9．下面是按照一定规律排列的一列数：
第1个数：﹣（1+）；
第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；
第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；
…
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
10．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝（n为不小于2的整数），则a100＝（ ）
A． B．2 C．﹣1 D．﹣2
11．我们知道：1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，那么一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，，…中，则第200个数是（ ）
A． B． C． D．
12．对点（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y）；且规定Pn（x，y）＝P1（Pn﹣1（x，y））（n为大于1的整数）．如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2）．则P2021（1，﹣1）＝（ ）
A．（0，21010） B．（0，﹣21010） C．（0，﹣21011） D．（0，21011）
13．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 个．
14．定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中a1，a2，a3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作+++…，
例如：＝＝＝＝＝＝，的连分数为，记作+++，则 ++．
15．观察下面的变化规律：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…
根据上面的规律计算：＝ ．
16．“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 ，并可推断出5月30日应该是星期几 ．
17．观察下列一组数的排列规律：
，，，，，，，，，，，，，，，…
那么，这一组数的第2019个数是 ．
18．探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．
19．已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1），按此规律，S2018＝ ．
20．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为 ．
21．根据下列各式的规律，在横线处填空：
，，＝，…，+﹣ ＝
22．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，那么a9+a11﹣2a10+10的值是 ．
23．阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
设S＝1+2+22+…+22017+22018①
则2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）1+2+22+…+29＝ ；
（2）3+32+…+310＝ ；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
24．观察以下等式：
第1个等式：＝+，
第2个等式：＝+，
第3个等式：＝+，
第4个等式：＝+，
第5个等式：＝+，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
25．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
第4组
x4
x4
x4
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．
26．观察以下等式：
第1个等式：++×＝1，
第2个等式：++×＝1，
第3个等式：++×＝1，
第4个等式：++×＝1，
第5个等式：++×＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
27．观察下列各个等式的规律：
第一个等式：＝1，第二个等式：＝2，第三个等式：＝3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题：
（1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
28．阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：＝q，＝q，＝q，…＝q．
所以：a2＝a1•q，a3＝a2•q＝（a1•q）•q＝a1•q2，a4＝a3•q＝（a1•q2）•q＝a1•q3，…
由此可得：an＝ （用a1和q的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比q＝2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
29．观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4× 2＝ ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
30．观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2＝﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60
三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2＝2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12
积与和的商
﹣2÷2＝﹣1
（2） 请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x
2021年九年级数学中考二轮复习《探索数字的变化规律》专题突破训练答案
1．解：第1个相同的数是1＝0×6+1，
第2个相同的数是7＝1×6+1，
第3个相同的数是13＝2×6+1，
第4个相同的数是19＝3×6+1，
…，
第n个相同的数是6（n﹣1）+1＝6n﹣5，
所以6n﹣5＝103，
解得n＝18．
答：第n个相同的数是103，则n等于18．
故选：A．
2．解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故选：A．
3．解：原式＝
＝
＝．
故选：B．
4．解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴505×（1+7+9+3）＝10100，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
故选：A．
5．解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，
∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，
∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，
故选：B．
6．解：∵，
∵，
∴，
∴a＝72，b＝110，
∴a+b＝72+110＝182．
故选：A．
7．解：200的所有正约数之和可按如下方法得到：
因为200＝23×52，
所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）×（1+5+52）＝465．
故选：D．
8．解：A、∵2有3个，∴不可以作为S1，故A选项错误；
B、∵2有3个，∴不可以作为S1，故B选项错误；
C、3只有1个，∴不可以作为S1，故C选项错误；
D、符合定义的一种变换，故D选项正确．
故选：D．
9．解：第1个数：﹣（1+）；
第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；
第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；
…
∴第n个数：﹣（1+）[1+][1+]…[1+]＝﹣，
∴第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为﹣，﹣，﹣，﹣，其中最大的数为﹣，即第10个数最大．
故选：A．
10．解：根据题意得，a2＝＝2，
a3＝＝﹣1，
a4＝＝，
a5＝＝2，
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵100÷3＝33…1，
∴a100是第34个循环组的第一个数，与a1相同，
即a100＝．
故选：A．
11．解：∵一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，，…，
∴这列数中分母是1的有一个数，分母是2的有三个数，分母是3的是五个数，…，
∵200＝142+4，1+3+5+…+27＝142，
∴第200个数是分母是15的数中第四个数，则这个数是，
故选：D．
12．解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝（2，﹣2）
P3（1，﹣1）＝（0，4），P4（1，﹣1）＝（4，﹣4）
P5（1，﹣1）＝（0，8），P6（1，﹣1）＝（8，﹣8）
…
当n为奇数时，Pn（1，﹣1）＝（0，），
∴P2021（1，﹣1）应该等于（0，21011）．
故选：D．
13．解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．
当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
故答案为：210．
14．解：++＝＝＝＝．
故答案为：．
15．解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．
故
＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
故答案：．
16．解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
故答案为：112；五、六、日．
17．解：一列数为：，，，，，，，，，，，，，，，，…
则这列数也可变为：，，，，，，，，，，，，，，，…
由上列数字可知，第一个数的分母是1+21＝3，这样的数有1个；
第二个数的分母是1+22＝5，这样的数有2个；
第三个数的分母是1+23＝9，这样的数有3个；
…，
∵1+2+3+…+63＝2016＜2019，
∴这一组数的第2019个数是：，
故答案为：．
18．解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1（n≥2），
故答案为n﹣1（n≥2）．
19．解：S1＝，S2＝﹣S1﹣1＝﹣﹣1＝﹣，S3＝＝﹣，S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝﹣，S5＝＝﹣（a+1），S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，S7＝＝，…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2018＝336×6+2，
∴S2018＝S2＝﹣．
故答案为：﹣．
20．解：由数列知第n个数为，
则前2018个数的和为++++…+
＝++++…+
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，
故答案为：．
21．解：∵+﹣1＝，+﹣＝，+﹣＝，+﹣＝，…，
∴+﹣＝（n为正整数）．
∵2018＝2×1009，
∴+﹣＝．
故答案为：．
22．解：由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知an＝1+2+3+…+n＝，
∴a9＝＝45、a10＝＝55、a11＝＝66，
则a9+a11﹣2a10+10＝45+66﹣2×55+10＝11，
故答案为：11．
23．解：（1）设S＝1+2+22+…+29①
则2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案为：210﹣1
（2）设S＝3+32+33+34+…+310 ①，
则3S＝32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣3，
所以S＝，
即3+32+33+34+…+310＝；
故答案为：；
（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；
a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
24．解：（1）第6个等式为：，
故答案为：；
（2）
证明：∵右边＝＝左边．
∴等式成立，
故答案为：．
25．解：（1）
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
x3
x3
x3
第4组
x4
x4
x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4＝14③，x2+x4≤14④，
①+②+2③+④≤70得，x1+x2+x2+x3+2（x1+x3+x4）+x2+x4≤70，
∴3（x1+x2+x3+x4）≤70，
∴x1+x2+x3+x4≤，
∴x1+x2+x3+x4≤23，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
26．解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5
故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1
故应填：
证明：＝
∴等式成立
27．解：（1）由题目中式子的变化规律可得，
第四个等式是：；
（2）第n个等式是：，
证明：∵＝＝＝＝n，
∴第n个等式是：．
28．解：（1）q＝＝2，第4项是24；
（2）归纳总结得：an＝a1•qn﹣1；
（3）∵等比数列的公比q＝2，第二项为10，
∴a1＝＝5，a4＝a1•q3＝5×23＝40．
故答案为：（1）2；24；（2）a1•qn﹣1；（3）5；40．
29．解：（1）32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42＝17；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，
左边＝（2n+1）2﹣4n2＝4n2+4n+1﹣4n2＝4n+1，
右边＝4n+1．
左边＝右边
∴（2n+1）2﹣4n2＝4n+1．
30．解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）＝5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17＝170，
（﹣2）+（﹣5）+17＝10，
170÷10＝17．
图①
图②
图③
三个角上三个数的积
1×（﹣1）×2＝﹣2
（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）＝﹣60
（﹣2）×（﹣5）×17＝170
三个角上三个数的和
1+（﹣1）+2＝2
（﹣3）+（﹣4）+（﹣5）＝﹣12
（﹣2）+（﹣5）+17＝10
积与和的商
﹣2÷2＝﹣1，
（﹣60）÷（﹣12）＝5，
170÷10＝17
（2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）＝360，
5+（﹣8）+（﹣9）＝﹣12，
y＝360÷（﹣12）＝﹣30，
图⑤：＝﹣3，
解得x＝﹣2；
经检验x＝﹣2是原方程的根，
∴图⑤中的数为﹣2
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