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2021年全国中考数学真题分类汇编--圆 与圆的有关性质
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这是一份2021年全国中考数学真题分类汇编--圆 与圆的有关性质，共80页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021全国中考真题分类汇编（圆）
----与圆的有关性质
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
2. （2021•湖北省黄冈市）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3. （2021•湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D．再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5. （2021•长沙市）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. （2021•江苏省连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. （2021•山东省聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
8. （2021•山东省泰安市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（ ）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
9. （2021•湖北省宜昌市）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
10. （2021•广东省）如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
11. （2021•湖北省荆州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
12. （2021•四川省凉山州）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
13. （2021•泸州市）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
14. （2021•四川省眉山市）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
15. （2021•四川省南充市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
16. （2021•青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
17. (2021•四川省自贡市) 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A. 9.6 B. C. D. 19
18. （2021•浙江省金华市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
19. （2021•浙江省丽水市） 如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
20. 2021•浙江省绍兴市）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
21. 2021•重庆市B）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
22. （2021•重庆市A）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
23. （2021•湖北省十堰市）如图，内接于是的直径，若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
24. （2021•海南省）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
25. （2021•广西玉林市） 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对
B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在
C. 两人说的都不对
D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
26. （2021•吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
27. （2021•湖北省黄石市）如图，、是上的两点，，交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
1.(2021·安徽省) 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
2. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．
3. （2021•湖南省常德市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．
4. （2021•长沙市） 如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
5. （2021•江苏省连云港）如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
6. （2021•江苏省南京市）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
7. （2021•湖北省随州市）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______．
8. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
9. （2021•湖南省娄底市）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
10.（2021•江苏省盐城市）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ ．
11. （2021•湖南省张家界市）如图,内接于⊙,,点是的中点,连接,,,则 .
12. （2021•宿迁市） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
三、解答题
1.(2021·安徽省)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
2. （2021•甘肃省定西市）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
3. （2021•长沙市）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求的值；
（2）求值；
（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．
．
4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°
5. （2021•绥化市）如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
7. （2021•山东省泰安市））如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
8. （2021•上海市）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
9. （2021•四川省广元市）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
10. （2021•浙江省杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
11. （2021•深圳）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
12. （2021•浙江省湖州市）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
13. （2021•浙江省金华市）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
14. （2021•浙江省宁波市）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
15. （2021•湖北省荆门市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
16. （2021•北京市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
答案
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝∠COD＝21°．
故选：D．
2. （2021•湖北省黄冈市）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】由题知，AC为直径，得OD∥BC，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
【解答】解：由题知，AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴OD∥BC，
∵OA＝OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴AD＝AB＝，
又∵OD＝3，
∴OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF＝2OE＝3×5＝10，
故选：A．
3. （2021•湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D．再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
【分析】如图，连接AC,CD,DE．证明∠CAB＝3α,利用三角形内角和定理求出α，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC,DE．
∵＝,
∴ED＝EB,
∴∠EDB＝∠EBD＝α,
∵＝＝,
∴AD＝CD＝DE,
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α,
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠CAB+∠ABC＝90°,
∴2α＝90°,
∴α＝22.5°,
故选：B．
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
5. （2021•长沙市）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. （2021•江苏省连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，
（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．
四边形是平行四边形
则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时
（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形
四边形正方形
，
又，，
又
是等腰三角形
，则圆的半径，
故选：B．
7. （2021•山东省聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故选：C．
8. （2021•山东省泰安市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（ ）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
【分析】延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，
故选：C．
9. （2021•湖北省宜昌市）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝30°，
∴．
故选：D．
10. （2021•广东省）如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作于H点，根据角平分线的性质可得,而，
易得，所以直径，考查圆中的计算（结合角平分线、三角函数）
11. （2021•湖北省荆州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD＝60°最后再由圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图，连接OB，
∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，
∴OA＝2，OD＝4＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°，
故选：C．
12. （2021•四川省凉山州）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP=CD=3cm．
根据勾股定理，得OP==4cm．
故选B．
13. （2021•泸州市）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．
【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知，
∴，
∴S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD=，
∴AD=OAcos30°，
∴OA=，
∴S圆=．
故答案为A．
14. （2021•四川省眉山市）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
【分析】由圆周角定理可求∠ACB＝90°，由角的数量关系可求∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，由直角三角形的性质可求∠CAH＝∠ACE＝22.5°，即可求解．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵＝3，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
15. （2021•四川省南充市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
故选：B．
16. （2021•青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒），
故选：A．
17. (2021•四川省自贡市) 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A. 9.6 B. C. D. 19
【答案】A
【解析】
【分析】先利用垂径定理得出AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可
【详解】解：连接OC
∵AB⊥CD, OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
∴AE=EC=4
设OF=x，则有
x=1.4
在Rt△OFC中，
∴
故选：A
18. （2021•浙江省金华市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设⊙O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．
【解答】解：如图，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2+b2＝c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
连接OG，OE，则OG，OE为半径，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
19. （2021•浙江省丽水市） 如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理、锐角三角函数定义进行判断即可解答．
【详解】解：∵是的直径，弦于点E，
∴
在中，，
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
又
∴
∴，故选项B正确，符合题意；
又
∴
∵
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项D错误，不符合题意；
故选B．
20. 2021•浙江省绍兴市）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC＝90°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OB、OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴BC弧所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
21. 2021•重庆市B）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径．
∴∠C＝90°．
∵∠A＝20°．
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°．
故选：A．
22. （2021•重庆市A）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C=180°-∠A=100°，
故选：B．
23. （2021•湖北省十堰市）如图，内接于是的直径，若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点O作OF⊥BC于F，由垂径定理可得BF＝CF＝BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C与∠BAC的度数，由BD为⊙O的直径，即可求得∠BAD与∠D的度数，又由AD＝3，即可求得BD的长，继而求得BC的长．
【详解】解：过点O作OF⊥BC于F，
∴BF＝CF＝BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，
∵AD＝3，
∴BD＝AD÷cos30°＝3÷=2，
∴OB＝BD＝，
∴BF＝OB•cos30°＝×＝，
∴BC＝3．
故选：C．
24. （2021•海南省）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
25. （2021•广西玉林市） 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对
B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在
C. 两人说的都不对
D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
26.（2021•吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
27. （2021•湖北省黄石市）如图，、是上的两点，，交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得是等边三角形，结合可得，再根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可得出．
【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形，
∵
∴
∴
故选：C
二．填空题
1.(2021·安徽省) 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可
【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB
∵
∴∠BOC=2∠A=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=30°又
∴∠ABO=45°
在Rt△OBD中，OB=1
∴BD=COS45°×1=
∵OD⊥AB
∴BD=AD=
∴AB=
故答案为：
2. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．
【答案】5cm
【解析】
【分析】连接BC，由题意易得，进而问题可求解．
【详解】解：连接BC，如图所示：
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5cm；
故答案为5cm．
3. （2021•湖南省常德市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．
【答案】140°．
【解析】
【详解】试题分析：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°．
考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理
4. （2021•长沙市） 如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
【答案】
5. （2021•江苏省连云港）如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
【答案】25
【解析】
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
【详解】解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案为：25．
6. （2021•江苏省南京市）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可
【详解】解：连接OA，
∵C是的中点，
∴
∴
设的半径为R，
∵
∴
在中，，即，
解得，
即的半径为5cm
故答案为：5
7. （2021•湖北省随州市）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______．
8. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 2 ．
【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案。
【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
9. （2021•湖南省娄底市）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
10.（2021•江苏省盐城市）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ 80 °．
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80．
11. （2021•湖南省张家界市）如图,内接于⊙,,点是的中点,连接,,,则 . 50
12. （2021•宿迁市） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案．
【详解】解：如图，连接
是的中点，
故答案为：
三、解答题
1.(2021·安徽省)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有．
【详解】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴，平分CD，
．
在中．
∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，
又
在中
2. （2021•甘肃省定西市）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．
②根据要求作出图形即可．
（2）证明△DFB≌△DCB可得结论．
【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD,线段CD即为所求．
②如图，点F，线段CD,BD,BF即为所求作．
(2)结论：BF＝BC．
理由：∵DE垂直平分线段AC,
∴DA＝DC,
∴∠DAC＝∠DCA,
∵AD＝DF,
∴DF＝DC,＝,
∴∠DBC＝∠DBF,
∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°,
∴∠DFB＝∠DCB,
在△DFB和△DCB中，
,
∴△DFB≌△DCB(AAS),
∴BF＝BC．
3. （2021•长沙市）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求的值；
（2）求值；
（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠DCE，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点D作DM⊥BE于M，根据等腰三角形的性质求出BM，进而求出CM，根据正切的定义求出DM，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE于M，
∵AB＝6，BC＝6，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠8＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM•tan∠7＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝．
5. （2021•绥化市）如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为1；（3）．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是的切线；
（2）连接OD，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AC与交于点H，连接OH，分别求解S△OAH，S扇形OAH，S△OBD，S扇形OOD，然后根据S阴影= S扇形OAH + S扇形OBD – S△OAH –S△OBD求解即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：
方法一：
连接
为直径
，
为中点
为中点
是的半径
是的切线
方法二：
连接
．
是的半径
是的切线
方法三：
连接
是的半径
是的切线
（2）解：
方法一：
连接，
是直径
在中
即的半径为1
方法二：
连接
是的直径
为中点
即的半径为1
（3）作的平分线交于 连接
平分
即
设 则
解得：
是的直径
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADBADB＝∠CBDCBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEFDEF≌△BCFBCF，得到DE＝BCDE＝BC，证明四边形BCDEBCDE为平行四边形，再根据得到BCC＝CDCD，从而证明菱形．
【解答】解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADBADB＝∠CBD，
∴ADAD∥BCBC；
（2）连接CD，
∵ADAD∥BBC，
∴∠EDFEDF＝∠CBFCB，
∵，
∴BCC＝CDCD，
∴BFBF＝DF，又∠DFE＝∠BFBFC，
∴△DEFDEF≌△BCF（ASAa），
∴DE＝BCDE＝BC，
∴四边形BCDEBCDE是平行四边形，又BCBC＝CD，
∴四边形BCDEBCDE是菱形．
7. （2021•山东省泰安市））如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【分析】(1)如图1中，连接BC.想办法证明∠E＝∠DCE即可。
（2）①证明△AFO∽△AHC,可得结论。
②连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x.利用勾股定理构建方程求解即可。
【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．
∵＝,
∴∠DCB＝∠DBC,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°,
∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,
∴∠E＝∠DCE,
∴DE＝DC．
(2)①证明：如图2中，
∵CF＝CH,
∴∠CFH＝∠CHF,
∵∠AFO＝∠CFH,
∴∠AFO＝∠CHF,
∵＝,
∴∠CAD＝∠BAD,
∴△AFO∽△AHC,
∴＝,
∴＝,
∴CF•AF＝OF•AH．
②解：如图3中，连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．
∵＝,
∴∠COD＝∠BOD,
∵OC＝OB,
∴OD⊥BC,CG＝BG,
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,
∴x＝,即OG＝,
∵OA＝OB,
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC,
∴AC＝．
8. （2021•上海市）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;
（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
9. （2021•四川省广元市）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；
（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．
【详解】解：（1）证明：连接DE，
∵
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，
在Rt中，∵，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中，,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴，
即 ,
∴．
10. （2021•浙江省杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
【分析】(1)根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABC∽△AFC；
(2)由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
(3)先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABC∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
11. （2021•深圳）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）连接，∵A、D、C、B四点共圆
∴
又
∴
又
∴
∴，又
∴四边形为平行四边形
∴
（2）∵，∴
又∵，∴
又∵，即
∴，∴．
12. （2021•浙江省湖州市）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
【答案】（1）60°；（2）．
【解析】解：（1）连结，
，
，
是的直径，
，
．
（2），
，
，且是直径，
，
．
13. （2021•浙江省金华市）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可。
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想办法求出OH,PH,可得结论。
（2）如图2中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。
【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(m+2m)2,
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OH＝,BH＝,
在Rt△PBH中，PH＝＝,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．
(2)如图2中，连接AD,OD．
∵＝,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,
∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,
∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,
∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝。
14. （2021•浙江省宁波市）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理求得，再根据，求得，即可得到答案；
（2）由，得到，从而推出，证得，由此得到结论；
（3）①连结．利用已知求出，证得，得到，利用中，根据正弦求出，求出EF的长，再利用中，，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；
②过点C作于H，证明，得到，证明，得到，设，得到，利用勾股定理得到 ，求得，利用函数的最值解答即可．
【详解】解：（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）①如图，连结．
∵为的直径，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
②如图，过点C作于H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
当时，的最小值为3，
∴的最小值为．
15. （2021•湖北省荆门市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
【分析】（1）连接DF、EF，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠EDF，进而证明∠OFD＝∠EDF，根据平行线的判定定理得到FC∥DM，根据矩形的性质得到AF∥CD，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据题意得到CD＝2BM，证明△BEM∽△CED，根据相似三角形的性质得到EC＝2BE，根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．
16. （2021•北京市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
2021全国中考真题分类汇编（圆）
----与圆的有关性质
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
2. （2021•湖北省黄冈市）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3. （2021•湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D．再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
5. （2021•长沙市）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. （2021•江苏省连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. （2021•山东省聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
8. （2021•山东省泰安市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（ ）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
9. （2021•湖北省宜昌市）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
10. （2021•广东省）如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
11. （2021•湖北省荆州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
12. （2021•四川省凉山州）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
13. （2021•泸州市）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
14. （2021•四川省眉山市）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
15. （2021•四川省南充市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
16. （2021•青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
17. (2021•四川省自贡市) 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A. 9.6 B. C. D. 19
18. （2021•浙江省金华市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
19. （2021•浙江省丽水市） 如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
20. 2021•浙江省绍兴市）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
21. 2021•重庆市B）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
22. （2021•重庆市A）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
23. （2021•湖北省十堰市）如图，内接于是的直径，若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
24. （2021•海南省）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
25. （2021•广西玉林市） 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对
B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在
C. 两人说的都不对
D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
26. （2021•吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
27. （2021•湖北省黄石市）如图，、是上的两点，，交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
1.(2021·安徽省) 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
2. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．
3. （2021•湖南省常德市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．
4. （2021•长沙市） 如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
5. （2021•江苏省连云港）如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
6. （2021•江苏省南京市）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
7. （2021•湖北省随州市）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______．
8. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 ．
9. （2021•湖南省娄底市）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
10.（2021•江苏省盐城市）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ ．
11. （2021•湖南省张家界市）如图,内接于⊙,,点是的中点,连接,,,则 .
12. （2021•宿迁市） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
三、解答题
1.(2021·安徽省)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
2. （2021•甘肃省定西市）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
3. （2021•长沙市）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求的值；
（2）求值；
（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．
．
4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°
5. （2021•绥化市）如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
7. （2021•山东省泰安市））如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
8. （2021•上海市）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
9. （2021•四川省广元市）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
10. （2021•浙江省杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
11. （2021•深圳）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
12. （2021•浙江省湖州市）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
13. （2021•浙江省金华市）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
14. （2021•浙江省宁波市）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
15. （2021•湖北省荆门市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
16. （2021•北京市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
答案
一、选择题
1. （2021•甘肃省定西市）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED＝（ ）
A．48° B．24° C．22° D．21°
【分析】连接OC、OD，可得∠AOB＝∠COD＝42°，由圆周角定理即可得∠CED＝∠COD＝21°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AB＝CD，∠AOB＝42°，
∴∠AOB＝∠COD＝42°，
∴∠CED＝∠COD＝21°．
故选：D．
2. （2021•湖北省黄冈市）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【分析】由题知，AC为直径，得OD∥BC，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
【解答】解：由题知，AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴OD∥BC，
∵OA＝OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴AD＝AB＝，
又∵OD＝3，
∴OA＝＝＝2，
∴OE＝OA＝5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF＝2OE＝3×5＝10，
故选：A．
3. （2021•湖北省武汉市）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D．再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
【分析】如图，连接AC,CD,DE．证明∠CAB＝3α,利用三角形内角和定理求出α，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC,DE．
∵＝,
∴ED＝EB,
∴∠EDB＝∠EBD＝α,
∵＝＝,
∴AD＝CD＝DE,
∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α,
∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠CAB+∠ABC＝90°,
∴2α＝90°,
∴α＝22.5°,
故选：B．
4. （2021•湖南省邵阳市）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
5. （2021•长沙市）如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. （2021•江苏省连云港）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
【详解】如图所示，
（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．
四边形是平行四边形
则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时
（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形
四边形正方形
，
又，，
又
是等腰三角形
，则圆的半径，
故选：B．
7. （2021•山东省聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故选：C．
8. （2021•山东省泰安市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（ ）
A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
【分析】延长AD、BC交于E，先利用直角三角形的性质求得AE的长，然后再求得DE的长，从而求得答案．
【解答】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，
故选：C．
9. （2021•湖北省宜昌市）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85° B．75° C．70° D．65°
【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，再根据平角的性质可得∠BOC的度数，再根据圆周角定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝30°，
∴．
故选：D．
10. （2021•广东省）如题图，是的直径，点为圆上一点，，的平分线交于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作于H点，根据角平分线的性质可得,而，
易得，所以直径，考查圆中的计算（结合角平分线、三角函数）
11. （2021•湖北省荆州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD＝60°最后再由圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图，连接OB，
∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，
∴OA＝2，OD＝4＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°，
故选：C．
12. （2021•四川省凉山州）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP=CD=3cm．
根据勾股定理，得OP==4cm．
故选B．
13. （2021•泸州市）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．
【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知，
∴，
∴S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD=，
∴AD=OAcos30°，
∴OA=，
∴S圆=．
故答案为A．
14. （2021•四川省眉山市）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18° B．21° C．22.5° D．30°
【分析】由圆周角定理可求∠ACB＝90°，由角的数量关系可求∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，由直角三角形的性质可求∠CAH＝∠ACE＝22.5°，即可求解．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵＝3，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
15. （2021•四川省南充市）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【分析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，利用圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
故选：B．
16. （2021•青海省）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）
A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出OD的长，然后太阳在海平线以下部分的高度，即可求解．
【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒），
故选：A．
17. (2021•四川省自贡市) 如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A. 9.6 B. C. D. 19
【答案】A
【解析】
【分析】先利用垂径定理得出AE=EC，CF=FD，再利用勾股定理列方程即可
【详解】解：连接OC
∵AB⊥CD, OE⊥AC
∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5
∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中
∴AE=EC=4
设OF=x，则有
x=1.4
在Rt△OFC中，
∴
故选：A
18. （2021•浙江省金华市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则的值是（ ）
A． B．3π C．5π D．
【分析】先设Rt△ABC的三边长为a，b，c，其中c为斜边，设⊙O的半径为r，根据图形找出a，b，c，r的关系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．
【解答】解：如图，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2+b2＝c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
连接OG，OE，则OG，OE为半径，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
19. （2021•浙江省丽水市） 如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理、锐角三角函数定义进行判断即可解答．
【详解】解：∵是的直径，弦于点E，
∴
在中，，
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
又
∴
∴，故选项B正确，符合题意；
又
∴
∵
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项D错误，不符合题意；
故选B．
20. 2021•浙江省绍兴市）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC＝90°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：连接OB、OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴BC弧所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
21. 2021•重庆市B）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．90° C．40° D．60°
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径．
∴∠C＝90°．
∵∠A＝20°．
∴∠B＝90°﹣∠A＝70°．
故选：A．
22. （2021•重庆市A）如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C=180°-∠A=100°，
故选：B．
23. （2021•湖北省十堰市）如图，内接于是的直径，若，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点O作OF⊥BC于F，由垂径定理可得BF＝CF＝BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝AC，利用等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠C与∠BAC的度数，由BD为⊙O的直径，即可求得∠BAD与∠D的度数，又由AD＝3，即可求得BD的长，继而求得BC的长．
【详解】解：过点O作OF⊥BC于F，
∴BF＝CF＝BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°，
∵∠C与∠D是同弧所对的圆周角，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°，
∵AD＝3，
∴BD＝AD÷cos30°＝3÷=2，
∴OB＝BD＝，
∴BF＝OB•cos30°＝×＝，
∴BC＝3．
故选：C．
24. （2021•海南省）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
25. （2021•广西玉林市） 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对
B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在
C. 两人说的都不对
D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
【答案】D
26.（2021•吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．65°
27. （2021•湖北省黄石市）如图，、是上的两点，，交于点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得是等边三角形，结合可得，再根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可得出．
【详解】解：∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形，
∵
∴
∴
故选：C
二．填空题
1.(2021·安徽省) 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO=45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可
【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB
∵
∴∠BOC=2∠A=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=30°又
∴∠ABO=45°
在Rt△OBD中，OB=1
∴BD=COS45°×1=
∵OD⊥AB
∴BD=AD=
∴AB=
故答案为：
2. （2021•黑龙江省龙东地区）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点在圆上，且，则的半径为_____．
【答案】5cm
【解析】
【分析】连接BC，由题意易得，进而问题可求解．
【详解】解：连接BC，如图所示：
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5cm；
故答案为5cm．
3. （2021•湖南省常德市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_____．
【答案】140°．
【解析】
【详解】试题分析：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案为140°．
考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理
4. （2021•长沙市） 如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
【答案】
5. （2021•江苏省连云港）如图，、是的半径，点C在上，，，则______．
【答案】25
【解析】
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC=100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
【详解】解：连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-40°×2=100°，
∴∠AOC=100°+30°=130°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=25°，
故答案为：25．
6. （2021•江苏省南京市）如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可
【详解】解：连接OA，
∵C是的中点，
∴
∴
设的半径为R，
∵
∴
在中，，即，
解得，
即的半径为5cm
故答案为：5
7. （2021•湖北省随州市）如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______．
8. （2021•四川省成都市）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 2 ．
【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案。
【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：
在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
9. （2021•湖南省娄底市）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
10.（2021•江苏省盐城市）如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ 80 °．
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80．
11. （2021•湖南省张家界市）如图,内接于⊙,,点是的中点,连接,,,则 . 50
12. （2021•宿迁市） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°，点B、C在上，边AB、AC分别交于D、E两点﹐点B是的中点，则∠ABE=__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 先证明再证明利用三角形的外角可得：再利用直角三角形中两锐角互余可得：再解方程可得答案．
【详解】解：如图，连接
是的中点，
故答案为：
三、解答题
1.(2021·安徽省)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有．
【详解】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴，平分CD，
．
在中．
∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，
又
在中
2. （2021•甘肃省定西市）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；
②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．
（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．
【分析】（1）①根据要求作出图形即可．
②根据要求作出图形即可．
（2）证明△DFB≌△DCB可得结论．
【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD,线段CD即为所求．
②如图，点F，线段CD,BD,BF即为所求作．
(2)结论：BF＝BC．
理由：∵DE垂直平分线段AC,
∴DA＝DC,
∴∠DAC＝∠DCA,
∵AD＝DF,
∴DF＝DC,＝,
∴∠DBC＝∠DBF,
∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°,
∴∠DFB＝∠DCB,
在△DFB和△DCB中，
,
∴△DFB≌△DCB(AAS),
∴BF＝BC．
3. （2021•长沙市）如图，点为以为直径的半圆的圆心，点，在直径上，点，在上，四边形为正方形，点在上运动（点与点，不重合），连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接．
（1）求的值；
（2）求值；
（3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
4. （2021•江苏省苏州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠DCE，证明△ABD≌△DCE，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点D作DM⊥BE于M，根据等腰三角形的性质求出BM，进而求出CM，根据正切的定义求出DM，根据正切的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE于M，
∵AB＝6，BC＝6，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠8＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM•tan∠7＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝．
5. （2021•绥化市）如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为1；（3）．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是的切线；
（2）连接OD，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AC与交于点H，连接OH，分别求解S△OAH，S扇形OAH，S△OBD，S扇形OOD，然后根据S阴影= S扇形OAH + S扇形OBD – S△OAH –S△OBD求解即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：
方法一：
连接
为直径
，
为中点
为中点
是的半径
是的切线
方法二：
连接
．
是的半径
是的切线
方法三：
连接
是的半径
是的切线
（2）解：
方法一：
连接，
是直径
在中
即的半径为1
方法二：
连接
是的直径
为中点
即的半径为1
（3）作的平分线交于 连接
平分
即
设 则
解得：
是的直径
6. （2021•山东省临沂市）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADBADB＝∠CBDCBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEFDEF≌△BCFBCF，得到DE＝BCDE＝BC，证明四边形BCDEBCDE为平行四边形，再根据得到BCC＝CDCD，从而证明菱形．
【解答】解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADBADB＝∠CBD，
∴ADAD∥BCBC；
（2）连接CD，
∵ADAD∥BBC，
∴∠EDFEDF＝∠CBFCB，
∵，
∴BCC＝CDCD，
∴BFBF＝DF，又∠DFE＝∠BFBFC，
∴△DEFDEF≌△BCF（ASAa），
∴DE＝BCDE＝BC，
∴四边形BCDEBCDE是平行四边形，又BCBC＝CD，
∴四边形BCDEBCDE是菱形．
7. （2021•山东省泰安市））如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
【分析】(1)如图1中，连接BC.想办法证明∠E＝∠DCE即可。
（2）①证明△AFO∽△AHC,可得结论。
②连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x.利用勾股定理构建方程求解即可。
【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．
∵＝,
∴∠DCB＝∠DBC,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°,
∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,
∴∠E＝∠DCE,
∴DE＝DC．
(2)①证明：如图2中，
∵CF＝CH,
∴∠CFH＝∠CHF,
∵∠AFO＝∠CFH,
∴∠AFO＝∠CHF,
∵＝,
∴∠CAD＝∠BAD,
∴△AFO∽△AHC,
∴＝,
∴＝,
∴CF•AF＝OF•AH．
②解：如图3中，连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．
∵＝,
∴∠COD＝∠BOD,
∵OC＝OB,
∴OD⊥BC,CG＝BG,
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,
∴x＝,即OG＝,
∵OA＝OB,
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC,
∴AC＝．
8. （2021•上海市）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;
（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
9. （2021•四川省广元市）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证；
（2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．
【详解】解：（1）证明：连接DE，
∵
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，
在Rt中，∵，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中，,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴，
即 ,
∴．
10. （2021•浙江省杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．
【分析】(1)根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABC∽△AFC；
(2)由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
(3)先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABC∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
11. （2021•深圳）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）连接，∵A、D、C、B四点共圆
∴
又
∴
又
∴
∴，又
∴四边形为平行四边形
∴
（2）∵，∴
又∵，∴
又∵，即
∴，∴．
12. （2021•浙江省湖州市）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．
【答案】（1）60°；（2）．
【解析】解：（1）连结，
，
，
是的直径，
，
．
（2），
，
，且是直径，
，
．
13. （2021•浙江省金华市）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可。
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想办法求出OH,PH,可得结论。
（2）如图2中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。
【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(m+2m)2,
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OH＝,BH＝,
在Rt△PBH中，PH＝＝,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．
(2)如图2中，连接AD,OD．
∵＝,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,
∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,
∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,
∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝。
14. （2021•浙江省宁波市）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．
（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理求得，再根据，求得，即可得到答案；
（2）由，得到，从而推出，证得，由此得到结论；
（3）①连结．利用已知求出，证得，得到，利用中，根据正弦求出，求出EF的长，再利用中，，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；
②过点C作于H，证明，得到，证明，得到，设，得到，利用勾股定理得到 ，求得，利用函数的最值解答即可．
【详解】解：（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）①如图，连结．
∵为的直径，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
②如图，过点C作于H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
当时，的最小值为3，
∴的最小值为．
15. （2021•湖北省荆门市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．
【分析】（1）连接DF、EF，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠EDF，进而证明∠OFD＝∠EDF，根据平行线的判定定理得到FC∥DM，根据矩形的性质得到AF∥CD，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据题意得到CD＝2BM，证明△BEM∽△CED，根据相似三角形的性质得到EC＝2BE，根据勾股定理、正弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．
16. （2021•北京市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
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