2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第十二章　推理与证明、算法、复数 12-2 word版含答案

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1．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

答案：1和3

解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．

2．已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．

(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；

(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.

证明：若an<bn，则s<t.

(1)解：当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．

(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an<bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝－qn－1＝－1<0，所以s<t.

课外拓展阅读

反证法应用举例

反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考查方向主要有以下几个方面：

一　证明否定性命题

　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

(1)　当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.

(2)　假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，

则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)

又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N*.

所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．

用反证法证明问题的一般步骤

二　证明存在性问题

　若f(x)的定义域为，值域为(a<b)，则称函数f(x)是上的“四维光军”函数．

(1)设g(x)＝x2－x＋是上的“四维光军”函数，求常数b的值；

(2)是否存在常数a，b(a>－2)，使函数h(x)＝是区间上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

　(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间在对称轴的右边，所以函数在区间上单调递增．

由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，

即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.

因为b>1，所以b＝3.

(2)假设函数h(x)＝在区间(a>－2)上是“四维光军”函数，

因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，

所以有即

解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．

　利用反证法进行证明时，一定要对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立．

三　证明唯一性命题

　已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长

为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.

(1)求证：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．

(1)　由已知，得SA2＋AD2＝SD2，

∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.

又AB∩AD＝A，

∴SA⊥平面ABCD.

(2)　假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.

∵BC∥AD，BC⊄平面SAD，

∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，

∴平面FBC∥平面SAD.

这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，

∴假设不成立．

故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.

　当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．