专题01 三角函数与解三角形-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

专题01   三角函数与解三角形

三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，利用正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.

类型一：三角函数的图象及其性质

例题1．已知函数．

(1)若且，求的值；

(2)记函数在上的最大值为b，且函数在上单调递增，求实数a的最小值．

【答案】(1)(2)【解析】(1)

，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

∴；

(2)当时，，，∴，

由，，

得，，

又∵函数在上单调递增，

∴，∴，

∴，∴实数a的最小值是.

例题2．已知函数．在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知．

(1)求的值；

(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值．

条件①：的最小正周期为；

条件②：的最大值与最小值之和为0；

条件③：．

【答案】(1)见解析  (2)

【分析】(1)

（1）若选择①和②，则

，，

解得，

所以

所以，

若选择①和③，则

，

解得，

所以，

所以，

若选择②和③，则

，且，这样的不存在，

(2)由（1）可知，若选择①和②，，

由，得

，

所以的增区间为，

因为函数在区间上是增函数，

所以实数的最大值为，

若选择①和③，则，

由，得

，

所以的增区间为，

因为函数在区间上是增函数，

所以实数的最大值为，

此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合正弦函数的性质研究其相关性质．

（1）已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；

②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

（2）函数图象的平移变换解题策略：

①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为.

②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.

类型二：解三角形

例题1．在三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.

(1)求角A；

(2)若，求三角形面积的最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)由，结合正弦定理，得，

所以，又因为，所以

(2)由余弦定理，得

即（当且仅当等号成立）

所以，

即当时，三角形面积的最大值为.

例题2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)试判断的形状，并说明理由；

(2)设点D在边AC上，若，，求的值.

【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形；

(2).

【解析】

(1)：由已知条件，利用正弦定理可得，

即，

所以，由于、B、，

所以或，所以或B=C，所以为等腰三角形或直角三角形；

(2)：在中，由正弦定理得，即，

同理在中，有，

所以，

又，所以，即，

所以，

由（1）可知或，

若，则， 所以,

因为，，所以，

又，所以，所以，即BD平分，

所以，即，所以，解得或（舍去），

所以；

若，则为直角三角形，BD为斜边，则，与题设矛盾，故舍去；

综上，的值为.

例题3．在中，角的对边分别为，已知．

(1)求A；

(2)若与的角平分线交于点D，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)由正弦定理可得：；

整理得：，由余弦定理可得：，

因为，所以；

(2)由题意可得：，则的外接圆直径，

设则，

则的周长，

正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．

1．（2022·上海市实验学校高三开学考试）已知函数．

(1)若，，求的值；

(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值．

2．（2022·广东高州·二模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，．

(1)求角B的大小；

(2)若，求△ABC的面积．

3．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且的面积为．

(1)求a，b，c的值；

(2)求的值．

4．（2021·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)求证：B为钝角；

(2)若△ABC同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③；④．请证明使得△ABC存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b的值．

5．（2022·安徽六安·一模（文））在中，角A，，的对边分别为，，，且.

(1)求；

(2)若，求.

1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）若a=c，b=2，求的面积；

（2）若sinA+sinC=，求C.

2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，证明：△ABC是直角三角形．

3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．