专题01 三角函数与解三角形-冲刺高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

专题01   三角函数与解三角形

三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1 三角函数图像及性质问题 ，2 结构不良试题 3 三角形面积周长问题4三角形三线问题5 三角函数实际应用问题

在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.

题型一：三角函数的图象及其性质

1．，已知点A，B是函数的图像与直线的两个交点.且的最小值为.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若对于都有，求m的取值范围.

1 已知函数，．

(1)求的最小正周期；

(2)求在区间上的最大值和最小值；

(3)若，，求的值．

题型二：结构不良试题

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．

①向量与向量平行．

②

③

(1)确定角A和角B之间的关系；

(2)若D为线段BC上一点，且满足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b．

1．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.

请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

题型三：三角形面积，周长问题

1  中，.

(1)若，求；

(2)若，求的面积.

1．在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.

(1)求的值；

(2)若，，求的周长.

题型四：三角形三线问题

1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)求A；

(2)若O是的内心，，且，求面积的最大值.

1 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．

(1)求A；

(2)已知的面积为，设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度．

题型五  三角函数实际应用问题

1  如图，在中，， ，为外一点，．

(1)求角的大小，并判断的形状；

(2)求四边形的面积的最大值．

1 ．如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.

(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？

1．如图,在平面四边形中,,.

(1)试用表示的长;

(2)求的最大值.

2．已知平面四边形中，，若，的面积为．

(1)求的长；

(2)求四边形周长的最大值．

3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知是与的等比中项．

(1)求A﹔

(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．

4．在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．

(1)求角B的大小；

(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．

5．某地区组织的贸易会现场有一个边长为的正方形展厅，分别在和边上，图中区域为休息区，，及区域为展览区．

(1)若的周长为，求的大小；

(2)若，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积最大，并求出最大值．

一、解答题

1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

2．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

(1)求的面积；

(2)若，求b．

4．（2022·北京·统考高考真题）在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

5．（2021·全国·统考高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

6．（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．