专题3 不等式-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题3不等式

一、单选题

1．记全集，集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果.

【详解】

因为或，，

所以，

因此.

故选：C.

2．若正实数a，b满足，则的最小值为（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】D

【分析】

利用“1”的代换，将转化为，利用基本不等式即可求得最小值.

【详解】

由题意得：，

当且仅当，即时等号成立，

故选：D

3．已知，，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.

【详解】

对于A中，令，此时满足，，但，所以不正确；

对于B中，由函数为上的单调递增函数，因为，所以，所以正确；

对于C中，令，此时满足，，但，所以不正确；

对于D中，令，此时满足，，但，所以不正确.

故选：B.

4．不等式的解集（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

把分式不等式等价转换为与之等价的一元一次不等式，从而求出它的解集.

【详解】

不等式，即，即，

故选：A.

5．设实数，满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】

画出可行域,根据目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率求解.

【详解】

由实数，满足约束条件，画出可行域如图所示：

目标函数表示动点P与原点所确定直线的斜率，

当点P为点时，目标函数取得最大值，最大值是3，

故选：D

6．设函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用分段函数解析式，分类讨论可将不等式转化为两个不等式组，分别解不等式，然后求并集即可．

【详解】

因为函数，

所以不等式等价于和，

解得或者和，

所以不等式的解集为，，；

故选：．

7．已知函数，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

令，则，从而，即可，然后构造函数，利用导数判断其单调性，进而可得，解不等式可得答案

【详解】

解：令，则，

，

所以，

所以，

令，则，

因为，所以，所以，

所以在单调递增，

所以由，得，

所以，解得，

故选：C

【点睛】

关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式

8．设，，不等式恒成立，则实数的最大值等于（    ）

A．0 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】

不等式变形为，再用基本不等式求得的最小值即可．

【详解】

因为，，所以不等式恒成立，即恒成立，

又，当且仅当，即时等号成立．

所以，即的最大值为9．

故选：C．

【点睛】

关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题时通过分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．而求最值有的可以应用基本不等式，有的可以利用函数的单调性，方法较多，易于求解．

9．已知，那么“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据充分条件、必要条件的定义以及基本不等式判断可得；

【详解】

解：因为，若，则

所以

即当且仅当，时取等号；

若，当，时，

则“”是“”的充分不必要条件；

故选：A

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

10．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由不等式解集可求，代入求解即可.

【详解】

由题意知：，则有，

∴，解之得，

故选：B

11．已知，且，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】

依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：因为且，所以，所以

当且仅当，即，时取等号；

所以的最小值为

故选：C

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

12．已知，，，均为实数，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】

利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】

若，则，故A正确；

若，，则，则，故B正确；

当时，满足，，但，故C错误；

若，，则，故D正确；

故选：C

二、填空题

13．关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】

令，当不是方程的根时，得到，求解得到的范围；再验证当以及是方程的根时是否满足题意，即可得出结果.

【详解】

在区间内、外各有一个实数根，

令，

当不是方程的根时，

所以，

解得：；

当是方程的根时，

得，

此时方程变为：，

解得：或，

在区间内，在区间外，符合题意；

当是方程的根时，得，

此时方程变为：，

解得：或，

此时方程的两根均在区间外，不符合题意；

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：本题考查利用一元二次方程根的分布问题求参数，解题时要注意分析判别式、对称轴以及端点（与根比大小的数）的函数值符号.

14．已知，则取最大值时x的值为___________.

【答案】

【分析】

直接使用基本不等式，即可求得结果.

【详解】

因为，当且仅当，即时取得最大值.

故答案为：.

【点睛】

熟练掌握基本不等式是解题关键.

15．若实数，且，则的最大值为__________.

【答案】4

【分析】

化简整理可得，利用基本不等式可求得的范围，进而可求得答案.

【详解】

由，得到，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，即，

解得，所以的最大值为4.

故答案为：4

16．已知x，y是正实数，且，则的最小值是_____．

【答案】

【分析】

由基本不等式可得，然后可得答案.

【详解】

因为

当且仅当，即时等号成立

所以，因为，所以

故答案为：

三、解答题

17．设条件实数满足；条件实数满足，且命题“若，则”为真命题，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】

求得，或，再由命题“若，则”真命题，得到，即可求解.

【详解】

由不等式，解得，

可得集合，

又由集合或，

由于命题“若，则”真命题，所以是的充分条件，可得，

因为，所以，

所以实数a的取值范围是.

【点睛】

有关充分、必要条件求解参数的取值范围问题的方法及注意点：

1、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合间关系列出关于参数的不等式（组）求解；

2、要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解得现象.

18．已知函数

（1）若在上的最大值为，求的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）或；（2）答案见解析.

【分析】

（1）先讨论的情况，当时，由于函数的对称轴为，故分和两种情况求解即可；

（2）由题得，进而分，，，，五种情况讨论即可得答案.

【详解】

解：（1）当时，函数，故不成立，

当时，由于函数的对称轴为，

所以当时，在上单调递减，，解得；

当时，在上单调递增，，解得.

故或.

（2）由得，即，

当时，不等式为，解得；

当时，，解得；

当时，，解得或；

当时，，解得；

当时，，解得或；

综上：当时，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：；

当时，不等式的解集为：；

【点睛】

本题主要考查一元二次函数与一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键是先根据具体得，进而结合一元二次不等式分，，，，五种情况讨论即可得答案.

19．已知函数

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；

（2）当a>0时，解关于x的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】

（1）由题意可得恒成立，即恒成立，然后分和两种情况讨论即可；

（2）由，得，然后分，，求解即可

【详解】

解：(1)由题意知恒成立  ∴恒成立

①当时，2>0恒成立

② ∴0<a<2

综上：

(2)由，得，

①当时，， ∴x(2，)

②当时，， ∴x(，2)

③当时，， ∴x

综上：当时，不等式的解集为(2，) ；当时，不等式的解集为(，2) ；当时，不等式的解集为.

20．已知集合，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）求出集合，解不等式且即得解；

（2）先求出，由题得且，解不等式得解.

【详解】

（1）集合.

由可知：且.

解得，满足条件.

（2），.

要使得，且，

解得，

实数的取值范围为.

【点睛】

易错点睛：第2小问，列不等式时要注意由，得到且，不要漏掉了其中任何一个条件.

21．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低．

【答案】15米.

【分析】

设泳池的长为x米，则宽为米，则可得总造价与的关系，利用基本等式可求总造价合适最低.

【详解】

设泳池的长为x米，则宽为米，

则总造价，

整理得到

当且仅当 等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．

答：泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．

22．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】

（1）分别求得、、三种情况下的解析式，则可求得不等式的解集；

（2）不等式恒成立等价于，利用绝对值三角不等式，求得，代入不等式即可求得答案.

【详解】

（1）原不等式等价于或或，

解得或或.

∴不等式的解集为或.

（2）不等式恒成立等价于，

即.

∵，当且仅当时，等号成立.

∴，则，解得，

∴实数的取值范围是.

【点睛】

解题的关键是分段讨论，去掉绝对值，再分别求解，灵活运用绝对值三角不等式，可大大简化计算，提高正确率，属中档题.