专题13 概率与统计-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

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专题13概率与统计
一、单选题
1．已知一组数据，，的平均数是5，方差是4则由，，，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．8
【答案】C
【分析】
根据，，的平均和方差是得出,
求出，，，11这4个数据得方差为即可得出答案.
【详解】
解:由已知得，，
则新数据的平均数为，
所以方差为

，
故选:C
2．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知4号、34号、49号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）
A．28 B．23
C．19 D．13
【答案】C
【分析】
本题首先可根据题意确定抽样间隔，然后根据抽样间隔即可得出结果.
【详解】
因为，
所以抽样间隔为，另一个学生的编号为，
故选：C.
3．某高校大一新生中，来自东部地区的学生有人，中部地区学生有人、西部地区学生有人．从中选取人作样本调研饮食习惯．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（ ）
①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生人、中部地区学生人、西部地区学生人；
②用简单随机抽样的方法从新生中选出人；
③西部地区学生小刘被选中的概率为；
④东部地区学生小张被选中的概率比中部地区的学生小王被选中的概率大.
A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③
【答案】B
【分析】
根据题意，为了保证调研结果相对准确，则应该选择分层抽样，然后计算出分层抽样的抽样比，计算出东部、中部、西部地区应选取的学生人数，利用分层抽样时，每个个体被选到的概率一样．
【详解】
由题意得，应该选择分层抽样，故②错误，若采用分层抽样，则抽样比为，则分别抽取东部地区学生人，中部地区学生人，西部地区学生人，故①正确；
而采用分层抽样时，每个个体别选到的概率一样都为，故③正确，④错误．
故选：B．
【点睛】
当总体中分成互不交叉的几层时，一般选用分层抽样，解决分层抽样问题时，常用公式有：
①；
②总体中某两层的个体数之比等于样本中这层抽取的个数之比．
4．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程
x（次数/分钟）
20
30
40
50
60
y(℃)
25
27.5
29
32.5
36
则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为（ ）
A．33℃ B．34℃ C．35℃ D．35.5℃
【答案】B
【分析】
由已知数据求出，，代入到线性回归方程即可求出，从而可选出正确答案.
【详解】
由题意，得，，则；
当时，.
故选:B.
5．为了了解1500名社区成员早锻炼情况，对他们随机编号为1，2，，1500号，从中抽取一个容量为50的样本．若采用系统抽样，则分段的间隔k为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】B
【分析】
根据系统抽样的知识可得答案.
【详解】
分段的间隔k为
故选：B
6．从1，2，3，…，30中任取一个数，它是偶数或能被3整除的数的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先计算出所有基本事件的个数，并计算出满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可得到答案．
【详解】
从1，2，3，…，30中任取一个数共有30种情况，
其中能被3整除的数共有10个，偶数共15个，
其中既能被3整除又是偶数的数有5个，
故是偶数或能被3整除的数共有个，
故所求概率.
故选：D.
【点睛】
方法点睛：本题考查古典概型及其概率计算公式，本题先要求出所有个数以及是偶数或能被3整除的数的个数，再根据概率计算公式求解，注意这两个事件不互斥，即既是偶数又能被3整除的数有5个，在计算时要减去.
7．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．
【详解】
设甲到达的时刻为，乙到达的时刻为则所有的基本事件构成的区域

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为：
（A）．
故选：C

【点睛】
方法点睛：几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代入几何概型的概率公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.
8．一正方形地砖的图案如图所示，其内部花形是以正方形边长的一半为直径作弧而得到的，若一只蚂蚁落在该地砖内，则它恰好在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先原图形分割为相同的四部分，研究第一部分，计算出一个小阴影的面积，再利用这部分总面积，计算比值即得结果.
【详解】
如图，把原图形分割为相同的四部分，只需取其中一部分分析，
设最小正方形的边长为1，则由小图知，一个小阴影的一半的面积为圆的面积的减掉一个小三角形的面积，即一个小阴影的面积为．

则蚂蚁落在该地砖内，恰好在阴影部分的概率为．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是将图像分割成四块相同的部分，计算出一个小阴影的面积，进而利用面积比求得该几何概型的概率即可.
9．已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（ ）
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.26
【答案】C
【分析】
甲、乙两人买相同品牌的N95口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌或品牌的N95口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可得结果．
【详解】
由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为．
故选：C．
【点睛】
方法点睛：利用相互独立事件的概率求复杂事件概率的解题思路：（1）把待求事件拆分成若干个彼此互斥的简单事件的和；（2）将彼此互斥的简单事件转化为若干个已知（易求）概率的相互独立事件的积；（3）代入概率公式求解．
10．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出全部的结果总数为，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本事件总数为，再利用古典概型的概率求解.
【详解】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为．
所以所求的概率，
故选：B．
【点睛】
方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
11．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是
②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；
③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；
④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．
其中所有正确结论的序号是（ ）

A．①④ B．①③ C．②④ D．①②
【答案】A
【分析】
根据几何概型概率计算，判断①的周期性.根据直线和圆的位置关系，判断②的正确性.根据线性规划的知识求得的最大值，由此判断③的正确性.将转化为过的两条切线所成的角大于等于，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围，从而判断出④的正确性.
【详解】
对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，
根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；
对于②，当时，直线,过点，所以直线与白色部分在第I和第IV象限部分没有公共点.圆的圆心为，半径为，圆心到直线，即直线的距离为，所以直线与白色部分在第III象限的部分没有公共点.综上所述，直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，②错误；
对于③，设l：z＝x+y，由线性规划知识可知，当直线l与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z最大，
由解得z（舍去），③错误；
对于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要过点P的两条切线所成角大于等于，
所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得．
故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.
12．如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）

A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729
【答案】B
【分析】
求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.
【详解】
由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率，
开关3正常工作的概率，
故该系统正常工作的概率,
所以该系统的可靠性为.
故选：B.
二、填空题
13．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．
【答案】9
【分析】
根据对立事件的性质可知，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】
由事件A，B互为对立事件，其概率分别P(A)＝，
P(B)＝，且x>0，y>0，所以P(A)＋P(B)＝＋＝1，
所以
，
当且仅当x＝6，y＝3时取等号，所以x＋y的最小值为9.
故答案为：9
【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．某校进行体育抽测，小明与小华都要在跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率为______.
【答案】
【分析】
由题意分析知，小明与小华选择的结果至少有2项相同：{有2项相同，有3项相同}，而他们选项目是相互独立的，即总选法共有种，即可算出概率.
【详解】
由题意，两人在6项运动任选3项的选法：种，
小明与小华选出3项中有2项相同的选法：种，
小明与小华选出3项中有3项相同的选法：种，
∴他们选择的结果至少有2项相同的概率为，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：将选择的结果至少有2项相同的基本事件{有2项相同，有3项相同}列出，再应用古典概型求概率.
15．下列命题中，正确命题的序号为_________.
①已知随机变量服从二项分布，若，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量服从正态分布，若，则；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.
【答案】②③④
【分析】
根据二项分布的均值与方差公式计算判断A，由方差公式判断B，由正态分布判断C，由独立重复试验的概率公式判断D．
【详解】
根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以①错误；
根据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；
由正态分布的图像的对称性可得，所以③正确；
由独立重复试验的概率的计算公式可得，由，得，即时，，同理得时，，即最大，
，所以④正确.所以正确命题的序号为②③④.
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查二项分布，正态分布，随机变量的方差．正态分布曲线具有对称性，常常出现由对称性求概问题，二项分布中概率公式是，可用作商法确定其中的最大值或最小值．
16．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为__.
ξ
1
2
3
4
P

m
n


【答案】
【解析】
，，所以，且概率和，解得.
三、解答题
17．某工厂，两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利10元、8元、6元，现从，生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：

（1）根据已知数据，列出产品等级与生产线的列联表，并判断是否有99%的把握认为一等级产品与生产线有关？
（2）分别计算两条生产线抽样产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？
附：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

【答案】（1）列联表见解析，没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关；（2）1.6；2.36；生产线的获利更稳定.
【分析】
（1）由题中数据完成列联表，求出卡方值，和6.635比较即可判断；
（2）根据方差公式求出方差即可判断.
【详解】
（1）根据已知数据可建立列联表如下：

一等级
非一等级
合计
生产线
20
80
100
生产线
35
65
100
合计
55
145
200


所以没有99%的把握认为一等级的产品与生产线有关
（2）生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：
（元）
获利方差为
生产线随机抽取的100件产品获利的平均数为：
（元）
获利方差为
所以，则生产线的获利更稳定．
【点睛】
本题考查独立性检验和利用方差判断数据的稳定性，在计算的时候，注意数据的正确性以及计算公式的熟悉性.
18．某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域的空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：
空气质量指数






空气质量等级
1级优
2级良
3级轻度污染
4级中度污染
5级重度污染
6级严重污染
该社团将该校区在2019年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图所示，把该直方图所得频率估计为概率.

（1）请估算2019年(以365天计算)全年空气质量优､良的天数(未满一天按一天计算)；
（2）该校2019年某三天举行了一场运动会，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用为元，求的分布列.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.
【分析】
（1）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，
（2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别求对应概率，列表得分布列.
【详解】
（1）由频率分布直方图可估算2019年(以365天计算)全年空气质量优､良的天数为.
（2）由题意知，的所有可能取值为0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，
由频率分布直方图知空气质量指数为的概率为，
空气质量指数为的概率为，
空气质量指数为的概率为，
则，
，
，
，
，
，
.
所以的分布列为

0
10000
20000
30000
40000
50000
60000








【点睛】
思路点睛：求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化计算）.
19．某单位有车牌尾号为2的汽车和尾号为6的汽车，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，车日出车频率0.6，车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：
车尾号
0和5
1和6
2和7
3和8
4和9
限行日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且，两车出车相互独立.
（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
（2）设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望.
【答案】（1）0.5；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，，2，3，4，5，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，根据计算可得结果；
（2）的可能取值为0，1，2，3，求出的各个取值的概率可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，，2，3，4，5
由已知可得，
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，
因为，两车是否出车相互独立，且事件，互斥，
所以


所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.
（2）的可能取值为0，1，2，3




所以的的分布列为

0
1
2
3

0.08
0.32
0.42
0.18
.
【点睛】
关键点点睛：第二问分析出的可能取值，搞清楚的每个取值对应的事件是解题关键.
20．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A、B两个靶进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，射击B靶如果连续命中两次则得5分.甲同学准备参赛，经过一定的训练甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概率是；向B靶射击，命中的概率为.假设甲同学每次射击结果相互独立.
（1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】
（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可；
（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可
【详解】
（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，
“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F.
由题意可知，.
由于，
.
（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6.






X
0
1
2
3
5
6
P






.
【点睛】
关键点点睛：此题考查古典概型及其概率计算公式的应用，求离散型随机变量的分布列以及期望的求法，解题的关键是正确求出所对应的概率，属于中档题
21．某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线测试，得到数据如下：






电信
4
3
8
6
12
网通
5
7
9
4
3
（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过的前提下，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？
（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求、两个地区同时选到的概率；
（3）在（2）的条件下，以表示选中的掉线次数超过5个的位置的个数，求随机变量的分布列及数学期望.
参考公式：























【答案】（1）不能；（2）；（3）分布列见解析，.
【分析】
（1）写出列联表计算出可得结论；
（2）求出任选3个的方法数，以及同时选到的方法数，然后可计算概率；
（3）随机变量的所有可能取值为1，2，3，计算出概率，得分布列，再根据期望计算期望．
【详解】
（1）根据题意列出列联表如下：
位置
类型
糟糕
良好
合计
电信
3
2
5
网通
2
3
5
合计
5
5
10
，
故在犯错误的概率不超过的前提下，不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关.
（2）依题意，所求概率.
（3）随机变量的所有可能取值为1，2，3，
；；.
故的分布列为

1
2
3




∴.
【点睛】
关键点点睛：本题考查独立性检验，考查古典概型，及随机变量的概率分布率和期望，解题时需要正确对数据进行分析，从中确定恰当的数据进行求解．
22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求出的值；
（2）求这200人年龄的中位数；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
【答案】（1）；（2）中位数为；（3）.
【分析】
（1）根据频率之和等于1求出；
（2）根据频率直方图中的中位数等分样本数据所占频率求解即可；
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为．设从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率．
【详解】
解：（1）由，得；
（2）由于前两组的频率和为，第三组的频率为，故中位数为
（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，
从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，
分别记为.
设从5人中随机抽取3人，为，共10个基本事件
其中第2组恰好抽到2人包含， 共6个基本事件,
从而第2组抽到2人的概率
【点睛】
方法点睛：频率分布直方图中的中位数，平均数，众数的求解方法：
众数：是频率分布直方图中最高矩形的中点值即为样本数组的众数估计值；
平均数：各组中点值乘以各组的频率之和即为样本数组的平均数的估计值；
中位数：频率分布直方图中，垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分，则其对于的数据即为中位数的估计值.