专题4 基本初等函数的图像和性质-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题4基本初等函数的图像和性质

一、单选题

1．函数在的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

判断函数的奇偶性，然后利用特殊函数值进行判断即可.

【详解】

因为，，

所以为奇函数，因此函数的图像关于原点对称，故排除A，

又因为，，，，故排除B，C.

故选：D

2．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式 的解集为（    ）

A．               B． 

C．   D．

【答案】A

【分析】

根据为偶函数，可得在上的单调性，将所求整理为或，根据的性质，即可求得答案.

【详解】

因为在R上的偶函数，且上单调递减，

所以在上单调递增，且，

则等价于或，

根据的单调性和奇偶性，解得或，

故选：A

3．已知函数的定义域为，函数，则函数的定义域为（    ）

A． B．(0, 1) C． D．

【答案】B

【分析】

根据函数的定义域为，得到，然后由求解.

【详解】

因为函数的定义域为，

所以，

所以，

解得 ，

所以的定义域为(0, 1)

故选：B

4．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．   D．

【答案】C

【分析】

先求得的值域，根据题意可得的值域为[1,2]是在上值域的子集，分两种情况讨论，根据的单调性及集合的包含关系，即可求得答案.

【详解】

因为，

所以，即的值域为[1,2]，

因为对于任意，总存在，使得成立，

所以的值域为[1,2]是在上值域的子集，

当时，在上为增函数，所以，所以，

所以，解得，

当时，在上为减函数，所以，所以

所以，解得，

综上实数a的取值范围是，

故选：C

【点睛】

解题的关键是将题干条件转化为两函数值域的包含关系问题，再求解，考查分析理解的能力，属中档题.

5．已知函数的值域为R．则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

当函数的值域为时，命题等价于函数的值域必须包含区间得解

【详解】

的值域为R

令，则

的值域必须包含区间

当时，则

当时，符合题意；

当时，不符合题意；

当时，，解得

，即实数的取值范围是

故选：A

【点睛】

转化命题的等价命题是解题关键.

6．已知函数满足，则（    ）

A．7 B．4 C．3 D．1

【答案】A

【分析】

根据分段函数的特征，讨论值所在的区间，代入相应解析式即可求解．

【详解】

当时，，

且满足，

即；

当时，，

，不满足，

故（舍去）．

则；

故选：A.

【点睛】

易错点睛：本题主要考查分段函数求值，注意求的值需在所讨论的区间内，不满足的需舍去．

7．设，则 （    ）

A． B．25 C． D．

【答案】D

【分析】

由对数化为指数可得答案

【详解】

由，可得，所以，

故选：D.

8．函数是定义域为的奇函数，且，已知，，则函数的最小值为（    ）

A．-2 B．-1 C． D．0

【答案】B

【分析】

先由函数是定义域为的奇函数，求得的解析式，进而得到的解析式，再由可得函数是以4为周期的函数，则与的也是以4为周期的函数，只需求出在上的最小值即可.

【详解】

设 ，则，

所以 ，

因为函数是定义域为的奇函数，

所以，

所以，

又，

所以，

所以，

所以该函数的最小值为-1.

故选：B

9．若二次函数在区间上的最大值为6，则（    ）

A． B．或5 C．或-5 D．

【答案】C

【分析】

讨论二次项系数，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】

显然，有，

当时，在上的最大值为，

由，解得，符合题意；

当时，在上的最大值为，

由，解得，

所以的值为或-5.

故选：C

10．函数是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则以下关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据偶函数的性质，利用函数的单调性进行判断即可.

【详解】

因为是定义在上的偶函数，

所以，

又因为在为减函数，，

所以，即，

故选：B

11．幂函数经过点，则是（    ）

A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数

C．奇函数，且在上是增函数 D．奇函数，且在上是减函数

【答案】C

【分析】

根据幂函数的定义，求得，再由幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.

【详解】

依题意，设，将点代入上式，则，得到，即，

所以该函数为奇函数，且在上是增函数，

故选：C.

12．已知函数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解

【详解】

由函数单调性性质得：，在R上单调递增

所以在R上单调递增，

令函数，

则函数为奇函数，且在R上单调递增，

故．

故选:A

【点睛】

构造奇函数利用单调性是解题关键.

二、填空题

13．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________.

【答案】或

【分析】

当时,分， ，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，同理，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，最后取并集.

【详解】

当时,当,即时,,解得,此时,

当，即时，解得，此时无解，

当，即时，，解法，此时无解，

所以，

又因为，在上单调递减，

所以由对勾函数的性质得，

解得，此时，.

综上：.

当时,当,即时, ,解得,此时无解，

当，即时，解得，此时，

当，即时，，解得，此时，

综上：

此时，在上单调递减，

所以

综上：实数a 的取值范围为或

故答案为：或

【点睛】

方法点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．

14．已知函数恰有两个零点，则的取值范围为______.

【答案】或

【分析】

当时，求出函数的两个零点是和，当时，求出函数的零点为，然后分三类讨论零点可解得结果.

【详解】

当时，令，得或；

当时，令，得，

若的两个零点是和，则，解得，

若的两个零点是和，则，解得，

若的两个零点是和，则，此不等式组无解，

综上所述：的取值范围为或.

故答案为：或.

【点睛】

关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数的零点是哪两个进行求解是解题关键.

15．已知偶函数在上单调递增，，则满足的的取值范围是______.

【答案】

【分析】

由偶函数的性质可将变形为，利用函数在上的单调性得出，解此不等式即可得解.

【详解】

因为为偶函数且在上单调递增，且，

由可得，所以，，即，解得.

因此，满足的的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：

（1）把不等式转化为；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.

16．已知函数满足，则__________.

【答案】1

【分析】

在中，令即可得解.

【详解】

因为，

所以，

故答案为：1

三、解答题

17．已知函数.

（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；

（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）将变形为，然后求出右边的最大值即可；

（2）分、两种情况讨论即可.

【详解】

（1）对任意的，恒有，即，

 整理得对任意的恒成立，

因此，实数a的取值范围是.   

（2）.

当，即时，函数在上单调递增，

在上单调递减，此时；

当，即时，在[0, 2]上单调递增，

此时

综上所述，

18．已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）求使成立的实数a的取值范围.

【答案】（1），为增函数，证明见解析；（2）[0，1).

【分析】

（1）利用和可求出，，然后利用单调性的定义可得的单调性；

（2）利用的奇偶性可将不等式化为，然后利用其单调性去掉即可解出答案.

【详解】

（1）是定义在上的奇函数，则，

即，则，

所以，又因为，得，所以，.   

设且，则

，

，，在上是增函数

（2）由（1）知，在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，得，

，

即，解得.

故实数的取值范围是[0，1).

19．已知函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.

（1）求，的解析式，并判断的单调性；

（2）已知，且，不等式成立，求的取值范围.

【答案】（1），，单调递增；（2）.

【分析】

（1）由可得，然后结合奇偶性可解出，的解析式，然后判断出的单调性即可；

（2）由可得，然后可得，然后分、两种情况讨论即可.

【详解】

（1）由题可得，则

又，所以，

因为在上单调递增，在上单调递减

所以函数在上单调递增

（2）等价于

因为函数单调递增，则

当时，上式等价于，即

当时，上式等价于，即

综上可知，

20．已知函数满足，当时，，且.

（1）求的值，并判断的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；在上为增函数；（2）.

【分析】

（1）利用赋值法求出的值，利用函数的单调性定义判断的单调性即可；（2）利用已知等式把不等式转化为，利用函数的单调性，结合常变量分离法、配方法进行求解即可.

【详解】

（1）令，得，得，

令，得，得；

设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以

，

因为，所以，所以，

因此

即在上为增函数；

（2）因为，即，即，

又，所以，

又因为在上为增函数，所以在上恒成立；

得在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，当时，取最小值，所以；

即时满足题意.

21．已知函数，函数．

（1）若函数的图象过点，求m的值；

（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的最小值；

（3）若对，都存在，使得，求m的取值范围．

【答案】（1）；（2）1；（3）.

【分析】

（1）根据，求的值；（2）由（1）可知，化简函数，并利用函数单调性求的最小值，以及利用对称性和单调性求的最小值，再求的最小值；（3）方法一，设函数的值域是，函数的值域是，由条件可知，分情况讨论，判断是否满足，并求的取值范围；方法二，首先求得函数的值域，转化为，求的取值范围.

【详解】

（1）由得：，

令，则

所以或（舍），则     

（2）由（1）知函数

令，，则：

当时递增，函数在上递增，

所以函数在R上递增，

则当时，；

另一方面，函数的图象关于对称，且先增后减，

则当时，，

所以，当且仅当时，的最小值为  

（3）法1：与问题（2）同理，

已知函数在R上单增，

故在上的值域为，

设的值域为B，则，

①当时，当时，

函数在上递减，

故，

设函数，

令，，则：

当时，递减，

函数在上递增，

所以函数在R上递减，

故当时，，

即，不满足；

②当时，的图象关于对称，

且在递增，在上递减，

故，又，

故，

由情况①知，

即，

不满足；

③当时，的图象关于对称，

且在递增，在上递减，

故，又，

故，，

由有：，所以此时；

④当时，当，函数在上递增，

故，

由有：，所以此时；

综合①②③④有：

法2：与问题（2）同理，

易知函数在R上单增，

故在上的值域为，

设的值域为B，则

函数，则，

因此只需在上的最小值即可．

由于函数的图象关于对称，且先增后减，

故当时，，

又

则必有：，

而当，时，

在上递增，此时，

故当且仅当时，满足，

因此所求范围为．

【点睛】

结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ．

22．已知函数满足：．

（1）求的解析式；

（2）设，且的最小值为3，求实数a的值．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】

（1）用替换x得，解方程组得解；

（2）由（1）可知，再对分三种情况讨论，结合函数的单调性求最值得解.

【详解】

（1）用替换x有：，

又，

联立方程可得：

（2）由（1）可知，则：

①当时：

<i>当，函数的对称轴，

所以在上递增，其最小值为；

<ii>当，函数的对称轴，

所以在上的最小值为；

综合<i>、<ii>以及可知：时，

②当时：

<i>当，函数的对称轴，

所以在上递增，其最小值为；

<ii>当，函数的对称轴，

所以在上递减，无最小值，

且在上恒成立；

综合<i>、<ii>可知：时，

或1，故无解

③当时：

<i>当，函数的对称轴，

所以在的最小值为；

<ii>当，函数的对称轴，

所以在上递减，

无最小值且在上恒成立；

综合<i>、<ii>以及可知：

时，，

综合①②③可知：或-3

【点睛】

方法点睛：求分段函数的最值，常用的方法有：（1）先分别求每一段的最值，再比较每一段的最值得解；（2）先求出分段函数的单调性，再通过图象分析得解.