2021年高考数学二轮复习大题专项练-《三角函数与解三角形》五(含答案)

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《三角函数与解三角形》五


LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为eq \f(a2,3sinA)．


(1)求sinBsinC；


(2)若6csBcsC=1，a=3，求△ABC的周长．






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c，b=6，．


（1）若A=30°，求△ABC的面积；


（2）若点M在线段BC上，连接AM，若CM=4，，求c的值．


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°.在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq \f(2,17)秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.





(1)求A，C两地的距离；


(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.(已知声音的传播速度为340米/秒)














LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)=eq \f(tan A,cs B)＋eq \f(tan B,cs A).


(1)证明：a＋b=2c；


(2)求cs C的最小值．



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中， ,．


（1）求边的长；


（2）求角C的大小。
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边,,a=3,


△ABC的面积为6.


⑴角A的正弦值；


⑵求边 b、c.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程的两个根，且.


求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsA＋acsB=－2ccsC.


(1) 求C的大小；


(2) 若b=2a，且△ABC的面积为2eq \r(3)，求c.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acs2A－eq \r(3)cs(B＋C)=sin 3A＋eq \r(3).


(1)求A的大小；


(2)若b=2，求△ABC面积的取值范围．


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，．


（1）求角B的大小；


（2）若，求△ABC的面积．


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足．


（1）求角A的大小；


（2）若，求的面积．























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2sin B,2-cs 2B),n=(2sin2(+),-1),m⊥n, a=,b=1.


(1)求角B的大小;


(2)求c的值.















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsB=2a＋b．


(1)求角C的大小；


(2)若△ABC的面积S=eq \f(\r(3),2)c，求ab的最小值．



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且.


（Ⅰ）求角A；


（Ⅱ）若，求的取值范围.























LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为、、,已知.


（1）求B；


（2）若,求的取值范围.



































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由题设得eq \f(1,2)acsinB=eq \f(a2,3sinA)，即eq \f(1,2)csinB=eq \f(a,3sinA)．


由正弦定理得eq \f(1,2)sinCsinB=eq \f(sinA,3sinA)．


故sinBsinC=eq \f(2,3)．


(2)由题设及(1)得csBcsC－sinBsinC=－eq \f(1,2)，


即cs(B＋C)=－eq \f(1,2)，所以B＋C=eq \f(2π,3)，故A=eq \f(π,3)．


由题设得eq \f(1,2)bcsinA=eq \f(a2,3sinA)，即bc=8．


由余弦定理得b2＋c2－bc=9，


即(b＋c)2－3bc=9，得b＋c=eq \r(33)．


故△ABC的周长为3＋eq \r(33)．








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:（1）因为，所以.


因为，所以.


所以，


故的面积.


（2）在中，由余弦定理，得.


因为，所以．


在中，由正弦定理，得．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)由题意，设AC=x，


因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚eq \f(2,17)秒，所以BC=x－eq \f(2,17)×340=x－40，


在△ABC内，由余弦定理得BC2=CA2＋BA2－2BA·CA·cs∠BAC，


即(x－40)2=x2＋10 000－100x，解得x=420.


答：A，C两地的距离为420米.


(2)在Rt△ACH中，AC=420，∠CAH=30°.


所以CH=AC·tan∠CAH=140eq \r(3)米.


答：该仪器的垂直弹射高度CH为140eq \r(3)米.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)由题意知2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin A,cs A)＋\f(sin B,cs B)))=eq \f(sin A,cs Acs B)＋eq \f(sin B,cs Acs B)，


化简得2(sin Acs B＋sin Bcs A)=sin A＋sin B，


即2sin(A＋B)=sin A＋sinB．


因为A＋B＋C=π，


所以sin(A＋B)=sin(π－C)=sin C.


从而sin A＋sin B=2sin C.


由正弦定理得a＋b=2c.


(2)由(1)知c=eq \f(a＋b,2)，所以cs C=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(a2＋b2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))\s\up12(2),2ab)=eq \f(3,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＋\f(b,a)))－eq \f(1,4)≥eq \f(1,2)，


当且仅当a=b时，等号成立．


故cs C的最小值为eq \f(1,2).








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LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1) 由正弦定理eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB)=eq \f(c,sinC)，且bcsA＋acsB=－2ccsC得，


sinBcsA＋sinAcsB=－2sinCcsC，所以sin(B＋A)=－2sinCcsC.


又A，B，C为三角形内角，所以B＋A=π－C，所以sinC=－2sinCcsC.


因为C∈(0，π)，所以sinC>0.所以csC=－eq \f(1,2)，所以C=eq \f(2,3)π.


(2) 因为△ABC的面积为2eq \r(3)，所以eq \f(1,2)absinC=2eq \r(3)，所以ab=eq \f(4\r(3),sinC).


由(1)知C=eq \f(2,3)π，所以sinC=eq \f(\r(3),2)，所以ab=8.


又因为b=2a，解得a=2，b=4，


所以c2=a2＋b2－2abcsC=22＋42－2×2×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))=28，


所以c=2eq \r(7).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵A＋B＋C=π，∴cs(B＋C)=－cs A①，


∵3A=2A＋A，


∴sin 3A=sin(2A＋A)=sin 2Acs A＋cs 2Asin A②，


又sin 2A=2sin Acs A③，


将①②③代入已知，得2sin 2Acs A＋eq \r(3)cs A=sin 2Acs A＋cs 2Asin A＋eq \r(3)，


整理得sin A＋eq \r(3)cs A=eq \r(3)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))=eq \f(\r(3),2)，


又A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴A＋eq \f(π,3)=eq \f(2π,3)，即A=eq \f(π,3).


(2)由(1)得B＋C=eq \f(2π,3)，∴C=eq \f(2π,3)－B，


∵△ABC为锐角三角形，∴eq \f(2π,3)－B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，解得B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，


在△ABC中，由正弦定理得eq \f(2,sin B)=eq \f(c,sin C)，∴c=eq \f(2sin C,sin B)=eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B)),sin B)=eq \f(\r(3),tan B)＋1，


又B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴eq \f(1,tan B)∈(0，eq \r(3))，∴c∈(1，4)，


∵S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A=eq \f(\r(3),2)c，∴S△ABC∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，2\r(3))).








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LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解:(1)根据已知,有m·n=0,


则4sin Bsin2(+)+cs 2B-2=0,


则2sin B[1-cs(+B)]+cs 2B-2=0,


所以sin B=,


又B∈(0,π),


则B=或,又a>b,所以B=.


(2)由余弦定理:b2=a2+c2-2accs B,


故有1=3+c2-3c,解得c=2或c=1.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)因为2ccsB=2a＋b，所以2c·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)=2a＋b，


化简得a2＋b2－c2=－ab，所以csC=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=－eq \f(1,2)．


又因为0°

(2)因为S=eq \f(1,2)absinC=eq \f(\r(3),4)ab=eq \f(\r(3),2)c，即c=eq \f(1,2)ab．


代入a2＋b2－c2=－ab，得eq \f(1,4)a2b2－ab=a2＋b2≥2ab，


解得ab≥12，所以ab的最小值为12，当且仅当a=b时，等号成立．








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LISTNUM OutlineDefault \l 3 （1）；（2）.