2021年高考数学二轮复习大题专项练-《三角函数与解三角形》二教师版

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《三角函数与解三角形》二


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且.


（1）求角A的大小；


（2）已知△ABC外接圆半径,求△ABC的周长.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC(acsB＋bcsA)=c．


(1)求C；


(2)若c=eq \r(7)，△ABC的面积为eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周长．


【答案解析】解：


(1)由已知及正弦定理得，


2csC(sinAcsB＋sinBcsA)=sinC，


2csCsin(A＋B)=sinC．


故2sinCcsC=sinC．因sinC≠0，


可得csC=eq \f(1,2)，因为C∈(0，π)，所以C=eq \f(π,3)．


(2)由已知，得eq \f(1,2)absinC=eq \f(3\r(3),2)．


又C=eq \f(π,3)，所以ab=6．


由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcsC=7．


故a2＋b2=13，从而(a＋b)2=25，a＋b=5．


所以△ABC的周长为5＋eq \r(7)．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知△ABC的面积为S，且eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=eq \r(,2)S.


(1) 求sinA；


(2) 若|eq \(AB,\s\up6(→))|=3，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|=2eq \r(,3)，求sinB.


【答案解析】解：


(1) 设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c.


因为△ABC的面积为S，且eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=eq \r(2)S，所以bccsA=eq \r(2)×eq \f(1,2)bcsinA，


所以sinA=eq \r(2)csA，


所以A为锐角，且sin2A＋cs2A=sin2A＋eq \f(1,2)sin2A=eq \f(3,2)sin2A=1，


所以sinA=eq \f(\r(6),3).


(2) 因为|eq \(AB,\s\up6(→))|=c=3，|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CB,\s\up6(→))))=a=2eq \r(3)，


由正弦定理得eq \f(c,sinC)=eq \f(a,sinA)，即eq \f(3,sinC)=eq \f(2\r(3),\f(\r(6),3))，所以sinC=eq \f(\r(2),2).


又因为c

所以sinB=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,4)))=sinAcseq \f(π,4)＋csAsineq \f(π,4)=eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(2),2)=eq \f(2\r(3)＋\r(6),6).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，已知AB=3，BC=4，AC=．


（1）求角B的大小；


（2）若D是BC的中点，求中线AD的长．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在锐角中,设角，,所对边分别为，,，.


（1）求证：;


（2）若,，，求的值.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且.


（1）求A；


（2）若，的面积为，求与的值.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知A、B、C是△ABC的三内角，向量m=(－1， SKIPIF 1 < 0 )，n=(csA，sinA)，且m·n=1.


(1)求角A；


(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求tanC.


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．


（Ⅰ）求角C；


（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．


【答案解析】解:





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知A,B,C是△ABC的三个内角，向量，，


且.


(1)求角A； (2)若，求．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2csC（acsB+bcsA）=c．


（Ⅰ）求C；


（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=eq \r(7)，EA=2，∠ADC=eq \f(2π,3)，且∠CBE，∠BEC，


∠BCE成等差数列．


(1)求sin∠CED；


(2)求BE的长．





【答案解析】解：


设∠CED=α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC=∠CBE＋∠BCE，


又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE=π，所以∠BEC=eq \f(π,3).


(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2＋DE2－2CD·DE·cs∠EDC，


由题设知7=CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6=0，解得CD=2(CD=－3舍去)．


在△CDE中，由正弦定理得eq \f(EC,sin∠EDC)=eq \f(CD,sin α) ，


于是sin α=eq \f(CD·sin\f(2π,3),EC)=eq \f(2×\f(\r(3),2),\r(7))=eq \f(\r(21),7)，即sin∠CED=eq \f(\r(21),7).


(2)由题设知0<α

又∠AEB=π－∠BEC－α=eq \f(2π,3)－α，


所以cs∠AEB=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))=cseq \f(2π,3)cs α＋sineq \f(2π,3)sin α


=－eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α=－eq \f(1,2)×eq \f(2\r(7),7)＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(21),7)=eq \f(\r(7),14).


在Rt△EAB中，cs∠AEB=eq \f(EA,BE)=eq \f(2,BE)=eq \f(\r(7),14)，所以BE=4eq \r(7).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知向量=（2csx，sinx），=（csx，2csx），函数f（x）=•﹣1．


（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；


（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，


对任意满足条件的A，求f（A）的取值范围．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．


（1）当a=2，时，求b、c的值；


（2）若角A为锐角，求m的取值范围．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且


(I)求角B的大小，


(Ⅱ)设，求mn的取值范围．


【答案解析】解：





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知分别为锐角三个内角的对边，


且


（Ⅰ）求的大小；


（Ⅱ）求的取值范围.


【答案解析】解：