空间向量与立体几何（一）同步练习

空间向量与立体几何（一）同步练习

空间向量及线性运算知识精讲同步练习

（答题时间：20分钟）

一、选择题

1. 给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足||＝||，则＝；④若空间向量满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等。其中正确命题的个数为（    ）

A. 4           B. 3    C. 2     D. 1

2. 下列命题中正确的个数是（    ）

①若与共线，与共线，则与共线。

②向量，，共面，即它们所在的直线共面。

③若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ。

A. 0           B. 1      C. 2       D. 3

3. 已知向量，，满足，则（　　）

A.          B.

C.与同向         D.与同向

4. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（　　）

A. 有相同起点的向量   B. 等长向量

C. 共面向量   D. 不共面向量

空间向量及线性运算知识精讲同步练习参考答案

1. 答案：D

解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；

当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；

根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错；

命题④显然正确；

对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错。

2. 答案：A

解析：①当＝0时，与不一定共线，故①错误；

②中，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；

③当为零向量，不为零向量时，λ不存在。

3.答案：D

解析：由条件可知，C在线段AB上，故D正确。

4.答案：C

解析：根据题意易知，＝＝-，所以向量、、是共面向量。

空间向量及线性运算典例精析同步练习

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，－＋化简后的结果是（    ）

A.         B.

C.      D.

2. 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，模与向量的模相等的向量有（    ）

A. 7个        B. 3个

C. 5个        D. 6个

3. 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点。若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A. －＋＋    B. ＋＋

C. －＋    D. －－＋

4. 已知空间向量，，且＝＋2，＝－5＋6，＝7－2，则一定共线的三点是（    ）

A. A，B，D             B. A，B，C

C. B，C，D       D. A，C，D

5. 在四面体O－ABC中，＝，＝，＝，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝（    ）

A. －+      B. －＋

C. ＋＋     D. ＋＋

二、解答题

6. 已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：

（1）＝＋x＋y；

（2）＝x＋y＋。

7. 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝。

求证：四边形EFGH是梯形。

空间向量及线性运算典例精析同步练习参考答案

1. 答案：A

解析：由正方体的性质可得－＋＝－＋＝＋＝。

2. 答案：A

解析：||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||。

3. 答案：A

解析：＝＋＝＋（－）＝＋－＝－＋＋。

4. 答案：A

解析：＝＋＝（－5＋6）＋（7－2）

＝2＋4＝2，∴A，B，D三点共线。

5. 答案：C

解析：＝＋＝＋

＝＋×（＋）

＝＋（－＋－）

＝＋＋

＝＋＋。

6. 解：（1）∵＝－

＝－（＋）

＝－－，

∴x＝y＝－。

（2）∵＋＝2，∴＝2－。

又∵＋＝2，∴＝2－。

从而有＝2－（2－）＝2－2＋。

∴x＝2，y＝－2。

7. 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴＝，＝，

＝－＝－＝（－）

＝＝（－）＝（－）

＝（－）＝，

∴∥且||＝||≠||。

又点F不在上，∴四边形EFGH是梯形。

空间向量的数量积运算同步练习

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　　）

A. 2·     B. 2·

C. 2·     D. 2·

2. 如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于（　　）

A. 6       B. 6

C. 12        D. 144

3. 已知向量是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则，且是l⊥α的（　　）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是（　　）

A. 钝角三角形      B. 锐角三角形

C. 直角三角形      D. 不确定

二、填空题

5. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________。

三、解答题

6. 已知空间四边形OABC各边及对角线长相等，E，F分别为AB，OC的中点，求与所成角的余弦值。

空间向量的数量积运算同步练习参考答案

1. 答案：B

解析：2·＝－2·＝－2a2cos 60°＝－a2，

2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，

2·＝·＝－a2，

2·＝·＝－·＝－a2。

2. 答案：C

解析：∵＝＋＋，

∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，

∴||＝12。

3. 答案：B

解析：若l⊥平面α，则，，，；

反之，若，则，，并不能保证l⊥平面α。

4. 答案：B

解析：·＝（－）·（－）＝·－·－·＋2＝2>0。

同理，可证·>0，·>0。

∴三角形的三个内角均为锐角。

5. 答案：

解析：2＝（＋＋）2

＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·

＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°

＝50＋20＋15＝85，

∴||＝。

6. 解：如图，设＝，＝，＝，

且||＝||＝||＝1，

易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，

则·＝·＝·＝。

因为＝（＋），

＝－，||＝||＝，

∴·＝（＋）·（－）

＝·＋·－·－||2＝－。

∴。

∵异面直线所成的角为直角或锐角，

∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为。