


空间向量与立体几何(三)同步练习
展开空间向量与立体几何(三)同步练习
巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习
(答题时间:40分钟)
一、选择题
1. 已知平面内的两个向量=(2,3,1),=(5,6,4),则该平面的一个法向量为( )
A. (1,-1,1) B. (2,-1,1)
C. (-2,1,1) D. (-1,1,-1)
2. 设直线l1的方向向量为=(2,1,-2),直线l2的方向向量为=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=( )
A. 1 B. -2
C. -3 D. 3
3. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论:
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1。
这四个结论中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
4. 已知直线l的方向向量为=(2,0,-1),平面α的一个法向量为=(-2,1,-4),则l与α的位置关系为________。
5. 在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cos x+1,2cos x,0)和点Q(cos x,-1,3),其中x∈[0,π]。若直线OP与直线OQ垂直,则x的值为________。
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,且有=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1)。给出结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥。其中正确的是________。
三、解答题
7. 如图,在正方体AC1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
8. 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD。
巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习参考答案
1. 答案:C
解析:显然与不平行,设平面的法向量为=(x,y,z),
则有⇒
令z=1,得x=-2,y=1。
∴(-2,1,1)。
2. 答案:D
解析:l1⊥l2⇔⊥,
∴2×2+1×2+(-2)×m=0,∴m=3。
3. 答案:C
解析:∵=+=+,
=+=+,
∴∥,从而A1M∥D1P,可得①③④正确。
又B1Q与D1P不平行,故②不正确。
4. 答案:l∥α或l⊂α
解析:∵=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,
∴,∴l∥α或l⊂α。
5. 答案:或
解析:由题意得⊥。
∴cos x·(2cos x+1)-2cos x=0。
∴2cos2x-cos x=0。∴cos x=0或cos x=。
又x∈[0,π],∴x=或x=。
6. 答案:①②③
解析:由·=-2-2+4=0,知AP⊥AB,故①正确;
由·=-4+4+0=0,知AP⊥AD,故②正确;
由①②知是平面ABCD的法向量,故③正确,
,显然④不正确。
7. 解:建立如图所示的坐标系,设正方体棱长为2,
则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2)。
再设Q(0,2,c),
∴=(1,-1,0),
=(-1,-1,1),
=(-2,0,c),
=(-2,-2,2)。
设平面PAO的法向量为
=(x,y,z),
则⇒
令x=1,则y=1,z=2。
∴平面PAO的一个法向量为=(1,1,2)。
若平面D1BQ∥平面PAO,那么n1也是平面D1BQ的一个法向量。
∴·=0,即-2+2c=0,∴c=1,
这时·=-2-2+4=0,
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO。
8. 证明:如图,取D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为2,
则O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1),
B(2,2,0),D(0,0,0),
∴=(1,-1,2),=(1,1,0),=(-2,0,1)。
而·=1-1+0=0,
·=-2+0+2=0,
∴⊥,⊥,即OA1⊥OB,OA1⊥BG。
而OB∩BG=B,
∴OA1⊥平面GBD。
巧用向量法求空间距离同步练习
(答题时间:30分钟)
一、选择题
1. 已知 则点A与G之间的距离为( )
A. B. C. D.
2. 已知A(1,0,0),B(1,-2,3),C(-1,2,1),则点A到直线BC的距离为( )
A. B. C. D.
3. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AB,BC的中点,则点C1到平面B1EF的距离是( )
A. B. C. D.
二、填空题
4. 已知直三棱柱的各棱长都是2,且AB⊥AC,则点A1到直线BC1的距离为______。
5. 空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是A(0,1,3),B(2,0,2),C(1,-1,2),D(-1,3,1),E,F分别是AB与CD的中点,则EF的长为______。
三、解答题
6. 四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分别为AD,PC的中点。
(1)证明:DE∥平面PFB;
(2)求点E到平面PFB的距离。
巧用向量法求空间距离同步练习参考答案
1. 答案:A
解析:
2. 答案:B
解析:据条件知
在向量方向上的投影为
∴点A到直线BC的距离为
3. 答案:D
解析:设所求距离为h。
因为
在△B1EF中,EF边上的高为
而E到平面B1C1F的距离EB=1。
4. 答案:
解析:建系如图,则B(2,0,0),A1(0,0,2),C1(0,2,2)
上的投影为
∴点A1到直线的距离为
5. 答案:
解析:易知故
6. 解:(1)以D为原点,建立如图所示的坐标系,则P(0,0,2),F(1,0,0),B(2,2,0),E(0,1,1)。
=(-1,0,2),
=(1,2,0),=(0,1,1),
∴=+,
∴∥平面PFB。
又∵D∉平面PFB,∴DE∥平面PFB。
(2)∵DE∥平面PFB,∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离。
设平面PFB的一个法向量=(x,y,z),
则
令x=2,得y=-1,z=1。
∴=(2,-1,1),=(-1,0,0),
∴点D到平面PFB的距离,
∴点E到平面PFB的距离为。
巧用向量法求空间角同步练习
(答题时间:40分钟)
一、选择题
1. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A. 120° B. 60°
C. 30° D. 60°或30°
2. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A. 0 B.
C. - D.
3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A. - B.
C. - D.
二、填空题
4. 平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为________。
5. 已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中,E是BC的中点。则直线A′C与DE所成角的余弦值为________。
三、解答题
6.
如图所示,已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°。
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小。
巧用向量法求空间角同步练习参考答案
1. 答案:C
解析:由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°,∴直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°。
2. 答案:A
解析:
建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),
C(0,2,0),
∴=(-2,-2,3),
=(-2,2,0)。
∴cos〈,〉==0。
∴〈,〉=90°,其余弦值为0。
3. 答案:B
解析:
建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1)。
∴=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1)。
设平面B1BD的法向量为=(x,y,z)。
∵⊥,⊥,
∴∴
令y=1,则=(-1,1,0)。
∴cos〈,〉==,设直线BE与平面B1BD所成角为θ,则
sin θ=|cos〈,〉|=。
4. 答案:4
解析:=(4,5,3),点P到平面α的距离为===4。
5. 答案:或
解析:设=(1,0,-1),=(0,-1,1),
则cos θ=±|cos〈,〉|=±||=±。
∴θ=或。
6. 答案:
解析:
如图所示建立空间直角坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E,=(a,a,-a),=,∴
10. 解:
如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体棱长为1,
则=(1,0,0),=(0,0,1),连接BD、B′D′。
在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H。
设=(m,m,1)(m>0),由已知〈,〉=60°,
又由·=||||cos〈,〉,可得2m=,解得m=。所以=(,,1)。
(1)因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=45°,即DP与CC′所成的角为45°。
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0)。
因为cos〈,〉==。
所以〈,〉=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°。
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