初中数学27.2.1 相似三角形的判定精品第2课时课后作业题

27.2.1相似三角形的判定（第2课时）

自主预习

1.全等三角形的判定方法有哪些？

2. 如图所示，在△ABC中，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形（     ）

A.1对       B.2对       C.3对        D.4对

2题图                            3题图

3. 如图，已知△ABC和△DEF中，

（1）当＝        ＝        时，△ABC∽△DEF.

（2）当∠A＝         且＝        时，△ABC∽△DEF.

4．一个三角形三边的长分别为6 cm，9 cm，7．5 cm，另一个三角形三边长分别为8 cm，12 cm，10 cm，这两个三角形相似吗?为什么?

5．一个直角三角形两条直角边的长分别为6 cm，4 cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9 cm，6 cm，这两个直角三角形是否相似?为什么?

互动训练

知识点一：三边对应成比例的两个三角形相似

1．将一个三角形的各边长都缩小后，得到的三角形与原三角形(    )

A．一定相似    B．一定不相似      C．不一定相似    D．无法确定

2．如图，△ABC与△DEF相似，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（    ）

A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2

2题图

3．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（     ）

　　       ①             ②           ③             ④

A.  ①和②        B. ②和③       C.  ①和③       D. ②和④                        

4．若△ABC各边分别为AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，△DEF的两边为DE＝5 cm，EF＝4 cm，则当DF＝      cm时，△ABC∽△DEF.

5．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．

5题图

6．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.

6题图

7．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).

7题图

知识点二：两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似

8．在△ABC和△A′B′C′中，下列能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(    )

A. ＝                      B. ＝且∠A＝∠A′

C. ＝且∠B＝∠C′            D. ＝且∠B＝∠B′

9．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(　 　)

A. ＝       B．＝      C.＝        D．＝

9题图                     10题图              11题图

10．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列三个条件：

①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.

其中能满足△APC和△ACB相似的条件有(     )

A．1个     B．2个      C．3个    D．0个

11．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为(    )

A．P1        B．P2        C．P3        D．P4

12．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝          时，△AOC∽△BOD.

        12题图                              13题图

13．如图，点C、D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．

14．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，

求证：△ADQ∽△QCP.

14题图

15. 如图，在矩形ABCD中，AB∶BC=1∶2，点E在AD上，且ED=3AE．判断△ABC与△EAB是否相似，并说明理由．

15题图

课时达标

1. 下列判断中正确的是(    )

A. 全等三角形不一定是相似三角形    B. 不全等的三角形一定不是相似三角形
C. 不相似的三角形一定不全等 　　　 D. 相似三角形一定不是全等三角形

2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 (    )
　A. 　　　 B. 　　　 C.  　　　　D. 

3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A．　 B．　　　 C．　　D．

4.  如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　）

A．0个      B．1个 C．2个       D．3个

        4题图                  5题图          

5.  如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是            ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

6.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).

             6题图                      7题图

7.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.
8．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A、B、C、D、E、F都是格点，

证明△ABC∽△DEF.

8题图

9. 如图，点B、C分别在△ADE的边AD、AE上，且AC=3，AB=2.5，EC=2，DB=3.5．

求证：△ABC∽△AED.

9题图      

10．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.

求证：(1) △ACB∽△DCE；

(2) EF⊥AB.

10题图

11．如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AD·AC＝AE·AB.

求证：△AED∽△ACB.

11题图    

12．如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．

(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由.

(2)求∠1+∠2的度数.

12题图

13. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．

13题图

拓展探究

1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）

A．s B．s C．s或s D．以上均不对

1题图                                 2题图

2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的面积为（　　）

A．10× B．10× 

C．10× D．10×

27.2.1相似三角形的判定（第2课时）答案

自主预习

1.有以下4种：SSS, SAS,ASA,AAS，两个直角三角形可以用HL.

2. C. 解析：∵△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC，应选C.

3. （1）=，（2）∠D, .

4. 解：这两个三角形相似，∵.

根据三角形相似的判定方法知它们是相似的。

5. 解：这两个直角三角形是相似的．

（1）∵，而两直角是相等的．

∴这两个直角三角形相似．

（2）∵这两个直角三角的两条直角边分别为6 cm，4 cm和9cm，6cm，

∴它们的斜边分别为2 cm，3 cm

而， ∴这两个直角三角形相似

互动训练

1. A. 解析：因为将一个三角形的各边长都缩小后，得到的三角形与原三角形的各边成比例，所以两个三角形一定相似，答案为：A.

2．A. 解析：∵△ABC∽△DEF，∴=，即=， ∴DE=1.2， 故选A.

3. C. 解析：设每个正方形网格的边长为1，三角形各边的值分别为：

  在图①中，，2，； 在图②中，，，3；

在图③中，2，2，2；在图④中，3，，4；

   只有①和③的三边对应成比例，两个三角形相似，所以答案：C.

4. 3.

5. 解：相似．理由如下：

在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.8，

在Rt△DEF中，DF＝＝＝4.8，

∴＝＝＝.  ∴△ABC∽△DEF.

6. 证明：∵AB∥DE，∴△ODE∽△OAB. ∴＝.

∵BC∥EF，∴△OEF∽△OBC. ∴＝＝.

∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC. ∴＝.

∴＝＝.  ∴△DEF∽△ABC .

7. 解：如下图，

7题图

8. B.

9. C. 解析：注意∠BAC＝∠D，这两个角的夹边成比例，答案为：C.

10. B. 解析：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；符合条件，答案为：B.

11. C. 解析：因△ABC的两条直角边之比为2︰3，所以△EPD的两条直角边之比也是2︰3，而DE=4, 所以EP=6, 所以选P3点，故答案为：C.

12. . 解析：∵AB与CD相交于点O, ∴∠AOC=∠BOD，

当时，△AOC∽△BOD. 即， ∴OC=

13. 解：∵＝＝，＝，∴＝.

又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFC.

∴ ＝.  ∴ ＝.  ∴ CF＝.

14. 证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.

∵Q是CD的中点，BP＝3PC，

∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴＝＝.

又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP.

15.解：△ABC∽△EAB. 理由如下.

∵AB∶BC=1∶2， ∴可设AB=k，BC=2k.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=k，BC=AD=2k，∠ABC=∠BAD=90°.

∵ED=3AE，∴AE=AD=k.

∴=2, =2, ∴=,

又∵∠ABC=∠EAB=90°，

∴△ABC∽△EAB .

课时达标

1. C.

2. A. 解析：根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是.

3. B. 解析：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、，只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．

4. C．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，

∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．

5. AB∥DE（或AC∥DF或）.

解析：当AB∥DE或AC∥DF时，根据平行于三角形一边的直线，截得的三角形与原三角形相似，可知△ABC∽△DEF，

∵∠A=∠D，当时，△ABC∽△DEF.

6．（-1,0）；（1,0）. 

7.  4. 解析：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E, ∴△ABC∽△CDE.

∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4, ∴BC=CD=2

∴, 即AB=4.

8. 证明：∵AC＝，BC＝＝，AB＝4，

DF＝＝2，EF＝＝2，ED＝8，

∴＝＝＝.

∴△ABC∽△DEF . 

9. 证明：∵AC=3，AB=2.5，EC=2，DB=3.5． ∴AE=5，AD=6. 

∴ , ,∴

 又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AED.

10. 证明：（1）由图可知，AC=3, BC=6, DC=2, CE=4,

∴AC︰DC=BC︰CE=3︰2,

   又∵∠ACB=∠DCE,  ∴△ACB∽△DCE；

（2）∵△ACB∽△DCE，∴∠B=∠E，

又∠BDF=∠EDC，∴∠BFD=∠ECD=90°,

 ∴ EF⊥AB.

11. 证明：由AD·AC＝AE·AB得，,

  又∠DAE=∠BAC，∴△AED∽△ACB.

12. 解：（1）△ACF与△ACG相似.

    ∵CF︰AC=1︰, AC︰CG=1︰, ∴CF︰AC= AC︰CG,

又∠ACF=∠GCA，∴△ACF∽△ACG.

（2）∵△ACF∽△ACG，∴ ∠CAF=∠1，∴∠1+∠2=∠ACB=45°.

13.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，

又∵，∴△ABD∽△DCB， ∴∠A＝∠BDC，

∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．

拓展探究

1. C. 解：设运动时间为t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，

当△BAC∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝；

当△BCA∽△BPQ，＝，即＝，解得t＝，

综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，

运动时间为s或s，故选：C．

2. B. 解析：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3），∴OA＝1，OD＝3，

∵∠AOD＝90°，∴AB＝AD＝＝，∠ODA+∠OAD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，S正方形ABCD＝（）2＝10，

∴∠ABA1＝90°，∠OAD+∠BAA1＝90°，

∴∠ODA＝∠BAA1，∴△ABA1∽△DOA，

∴＝，即＝，∴BA1＝，

∴CA1＝+＝，

∴正方形A1B1C1C的面积＝（）2＝10×（）2，…，

第n个正方形的面积为10×（）2(n-1)

∴第2021个正方形的面积为10×（）2020；

故选：B．