高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀学案，共8页。学案主要包含了三点共线定理等内容，欢迎下载使用。

























例题1 设两个非零向量a与b不共线。


（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），


求证：A，B，D三点共线；


（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线。


（1）证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），


∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）


＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5，


∴，共线。


又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线。


（2）假设ka＋b与a＋kb共线，


则存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），


即（k－λ）a＝（λk－1）b。


又a，b是两个不共线的非零向量，


∴k－λ＝λk－1＝0。


消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1。





总结提升：


（1）证明三点共线，通常转化为证明由这三点为起点、终点的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据。


（2）注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。


（3）向量，共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1＋λ2＝成立；若λ1＋λ2＝，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量，不共线。





【三点共线定理】


已知为平面内两个不共线的向量，设，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1。


特别地有：当点P在线段AB上时，x>0，y>0；


当点P在线段AB之外时，xy<0。


证明：充分性


如图，因为A，B， C三点共线，设，则


，


又由，所以，所以x+y=1。





必要性


∵，且x+y=1，


，


∴共线。


又∵向量与向量有一个公共点A，


∴A、B、C三点共线。





总结提升：


充要条件的判断和证明一定要双向进行推理和证明，分清条件和结论。





例题2 如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）





A. B. C. D.


答案：B


解法1：选取作为基底，


因为，，所以


，


，


因为向量与共线，


所以，解得。


解法2：注意到N，P，B三点共线，


因此＝m＋＝m＋，


从而m＋＝1，所以m＝。





总结提升：


利用三点共线定理在解决有关参数求值问题时，解题的关键是找到几何图形中共线的三点，构造出中以这三点为终点的三个向量，然后利用平面向量的线性运算，用其中两个不共线的向量表示另一个向量，观察是否满足定理条件中x+y=1这一条件，如满足，则说明这三点共线。





例题3 如图，点G是ΔOAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线，设求的值。





解：如图，延长OG，交AB于点D，则


=，


因为


所以


所以，


因为P，G，Q三点共线，根据三点共线定理可知


，即。











1. 证明A、B、C 三点共线的方法：


（1）共线定理：。


（2）三点共线定理：已知为平面内两个不共线的向量，设，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1。


2. 数学思想方法


化归与转化的数学思想








（答题时间：30分钟）


1. 为不共线向量，，，当时， =（ ）


A. 0 B.-1 C.-2 D.


2. 已知向量，若与共线，则等于（ ）


A. -2 B. 2 C. D.


3. 已知为任意两个非零向量，且，，，则（ ）


A. B，C，D三点共线 B. A，B，C三点共线


C. A，B，D三点共线 D. A，C，D三点共线


4. ΔOAB中，点P在边AB上，，设，则=（ ）


A. B. C. D.


5. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且，则实数m的值为（ ）





A. 1 B. C. D.


6. 如图，在ΔABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC与不同的两点M、N，若则m+n的值为__________。





7. 如图，平行四边形ABCD中，，求证：E、F，C三点共线。

















1. 答案：D


解析：∵，故可设


∴2=


∴


又，为不共线向量


∴ ∴


2. 答案：C


解析：向量向量


由共线定理得：化简得即。


3. 答案：C


解析：由已知得，所以，即A，B，D三点共线。故选C。


4. 答案：B


解析：如图，因为，所以








5. 答案：D


解析：，


设


则，


因为，所以，


则解得故选D。


6. 答案：2


解析：，


∵M，O，N三点共线，


，


∴m+n=2。


7. 证明：，





所以点E，F，C三点共线。





重点
1. 会用平面向量的共线定理解决简单的求参问题、三点共线问题；


2. 初步掌握三点共线定理的简单应用。
难点
灵活应用三点共线定理解决有关平面几何问题
考试要求
考试


题型 选择题、填空题


难度 中等、较难
典例一：共线定理的应用
典例二：三点共线定理