华师大版九年级下册3. 圆周角优质第2课时学案

这是一份华师大版九年级下册3. 圆周角优质第2课时学案，共6页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

3. 圆周角


第2课时 圆周角定理的推论


学习目标：


理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程.（重点）


能运用圆周角定理的推论解决有关问题.（难点）





自主学习


一、知识链接


1.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，∠B=56°，则∠C的度数是 .





第1题图 第2题图


2.如图，若∠AOB=100°，则∠C的度数为__________.


二、新知预习


（预习课本P43-44）填空并完成练习：


推论1 90°的圆周角所对的弦是_______.


如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的________，这个多边形叫做这个圆的____________.


推论2 圆内接四边形的对角__________.


练习：


1.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是_______.


第1题图 第2题图


2.如图，若△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，则⊙O的半径为________.


合作探究


要点探究


探究点1：圆周角定理的推论1


观察与探究 如图，点A、B、C在圆上，∠C=90°.


问题 命题：若AB是直径，则其所对的圆周角∠C为90°.请写出它的逆命题，逆命题是真命题吗？








试一试 请证明你的结论.


已知：如图，___________________________________________________.


求证：_____________________________.


证明：假设AB不是圆的直径，不妨设AD是圆内的一条直径，连结CD.


易知___________=90°.


∵∠ACB=90°，且由图可知，∠ACB≠__________,即假设不成立，


∴_______________________.


【要点归纳】 90°的圆周角所对的弦是直径.


【典例精析】


例1 如图①，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是 cm．





图① 图②


【方法归纳】在圆中遇90°角，通常连结圆上两点（非直角顶点），构造直径.


【针对训练】如图②，半径为3的⊙A经过原点O和点B（0，2），点C是y轴左侧⊙A上一点，则tan∠OCB= .


探究点2：圆周角定理的推论2


概念学习 如果一个圆经过一个多边形的各个顶点，这个圆就叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形.


猜想与论证 如图，四边形ACBD为⊙O的内接四边形.


若CD是直径，则∠DAC=_____°,∠DBC=______°,∠DAC+∠DBC=_______°，


∠C+∠D=______°.


（2）若线段CD不经过点O，先用量角器量一量∠C和∠D的度数，它们之间存在怎样的数量关系？结合（1）中的结果，写出你的结论：


你的结论：


证明：由圆周角定理可知：∠1=__________,∠2=__________,


∵∠1+∠2=__________=__________°，∴∠C+∠D=__________°.


【要点归纳】 圆内接四边形的对角互补.


【典例精析】


例2 如图③，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，若∠BCD=120°，则∠BOD的度数为_________.


【针对训练】如图④，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为_________.





图③ 图④ 图⑤ 图⑥


例3 如图⑤，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCD的外角∠CDM=70°，则∠AOC的度数为_________.


【针对训练】如图⑥所示，四边形ABCD内接于⊙O，A为的中点，∠ABD=65°，连结BD，则∠ BCE =_________.


二、课堂小结


当堂检测


1.如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，且∠C=100°，则∠A=_________°.





第1题图 第2题图 第3题图 第4题图


2.如图，若∠BOD=140°，则∠BCD=_________°.


3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是上两点，若∠D=110°，则∠ABC=_________°.


4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C=2∠A，则cs A=_________.


5.如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，BD为直径，四边形OABC是平行四边形，求∠D的度数．





6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，过A、C、D三点的圆交BA的延长线于点E，连结EC．


（1）求证：∠E=90°；


（2）若AB=6，BC=10，求AE的长．





参考答案


自主学习


一、知识链接


1.34° 2.50°


二、新知预习


1.直径 2.外接圆 内接多边形 3.互补


练习：1.110° 2.2


合作探究


一、要点探究


探究点1：圆周角定理的推论1


问题


逆命题为 若∠C为90°，则其所对的弦AB为直径.


试一试


点A、B、C是圆上的三点，∠ACB=90° AB是圆的直径 ∠ACD ∠ACD AB是圆的直径


【典例精析】例1 5 【针对训练】


探究点2：圆周角定理的推论2


猜想与论证


（1）90 90 180 180


（2）∠C+∠D =180° 2∠C 2∠D 2（∠C+∠D） 360 180


【典例精析】例2 120° 【针对训练】60°


例3 140° 【针对训练】50°


当堂检测


1.80 2.110 3.20 4.


5.解：∵四边形OABC是平行四边形，∴CB=OA=OC=OB,即△OCB为等边三角形，∴∠COB=60°，∠D=∠COB=30°.


6.解：（1）连结AD，∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°，


∴点A、C、D在以AC为直径的圆上，∴∠E=90°；


（2）∵BC=10，∴BD=5.∵∠B=∠B，∠ADB=∠E=90°，∴△BAD∽△BCE，


∴，即，解得AE=．





圆周角
圆周角定理的推论1
内容
90°的圆周角所对的弦是直径.
辅助线作法
在圆中遇90°角，通常连结圆上两点（非直角顶点），构造直径.
圆周角定理的推论2
内容
圆内接四边形的对角互补.
拓展
对角互补的四边形，其顶点在同一个圆上