辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（10）——四边形

这是一份辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编（10）——四边形，共21页。

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（10）——四边形
一．多边形内角与外角（共3小题）
1．（2019•鞍山）如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°，再前进8m后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（　　）

A．24m B．32m C．40m D．48m
2．（2020•锦州）一个多边形的每一个内角为108°，则这个多边形是　 　边形．
3．（2019•辽阳）已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是　 　．
二．平行四边形的性质（共3小题）
4．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于12BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　）

A．BE＝EF B．EF∥CD C．AE平分∠BEF D．AB＝AE
5．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为　 　．

6．（2020•沈阳）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM中点，若EF＝6，则AM的长为　 　．

三．平行四边形的判定（共1小题）
7．（2019•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为　 　．

四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
8．（2019•本溪）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，∠B＝45°，延长CD到点E，使DE＝DA，连接AE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AB＝3，CD＝1，求四边形ABCE的面积．

五．菱形的性质（共6小题）
9．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B．245 C．6 D．485
10．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（　　）

A．2 B．52 C．3 D．4
11．（2020•大连）如图，菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝　 　°．

12．（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．

13．（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以对角线OA1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，则过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为　 　．

14．（2019•鞍山）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的周长为　 　．

六．矩形的性质（共5小题）
15．（2019•朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（　　）

A．56 B．65 C．10 D．63
16．（2019•锦州）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当△ADM是等腰三角形时，ME的长为（　　）
A．32 B．65 C．32或35 D．32或65
17．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为　 　．（用含正整数n的式子表示）

18．（2019•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD向点D运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B运动，当点E到达点D时，点E，F同时停止运动．连接BE，EF，设点E运动的时间为t，若△BEF是以BE为底的等腰三角形，则t的值为　 　．

19．（2020•沈阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为　 　．

七．正方形的性质（共2小题）
20．（2019•鞍山）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn∁nAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交A1B1于点D1，连接A1C2交A2B2于点D2，连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn，则S2019＝　 　．

21．（2019•葫芦岛）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PE⊥PA交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F，则下列结论中：
①PA＝PE；②CE=2PD；③BF﹣PD=12BD；④S△PEF＝S△ADP
正确的是　 　（填写所有正确结论的序号）

八．正方形的判定（共1小题）
22．（2019•抚顺）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）

A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
九．中点四边形（共1小题）
23．（2019•沈阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝25，则四边形EGFH的周长是　 　．

一十．四边形综合题（共8小题）
24．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH=2CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．

25．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．
（1）当点F在线段AD上时．
①求证：BE＝DG；
②求证：CD﹣FD=2BE；
（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当S2S1=1325时，请直接写出S3S1的值．

26．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．

（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
27．（2020•朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．
（1）如图1，求证：AM＝CE；
（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求GEAN的值；
（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点N，连接AN，经探究发现NCBC=18，请直接写出GEAN的值．

28．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．
（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．
（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．
①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．

29．（2019•抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为　 　．
（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．

30．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在射线AC上（不包括点A和点C），过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且GH∥DC，点F在BC的延长线上，CF＝AG，连接ED，EF，DF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，
①判断△AEG的形状，并说明理由．
②求证：△DEF是等边三角形．
（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，△DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

31．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当α＝360°时，若AB＝42，请直接写出点O经过的路径长．


2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（10）——四边形
参考答案与试题解析
一．多边形内角与外角（共3小题）
1．【解答】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则60n＝360，解得n＝6，
故他第一次回到出发点A时，共走了：8×6＝48（m）．
故选：D．
2．【解答】解：∵多边形每个内角都为108°，
∴多边形每个外角都为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5．
故答案为：五．
3．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故答案为：5
二．平行四边形的性质（共3小题）
4．【解答】解：由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选：D．
5．【解答】解：∵在▱ABCD中，AB∥CD，点E是CD中点，
∴EC是△ABF的中位线；
∵∠B＝∠DCF，∠F＝∠F（公共角），
∴△ABF∽△ECF，
∵ECAB=EFAF=CFBF=12，
∴S△ABF：S△CEF＝4：1；
又∵△ECF的面积为1，
∴S△ABF＝4，
∴S四边形ABCE＝S△ABF﹣S△CEF＝3．
故答案为：3．
6．【解答】解：∵点E，点F分别是BM，CM中点，
∴EF是△BCM的中位线，
∵EF＝6，
∴BC＝2EF＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝12，
∵AM＝2MD，
∴AM＝8，
故答案为：8．
三．平行四边形的判定（共1小题）
7．【解答】解：如图，若BC为边，AB是对角线，

∵四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，
∴BD1＝AC＝2，
若AB，BC为边，
∵四边形ABCD3是平行四边形，
∴D3A∥BC，AD3＝BC＝2，
∴∠D3AE＝∠CBA＝45°，
∴D3E＝AE=2，
∴BE＝AE+AB＝32
∴BD3=BE2+D3E2=18+2=25，
若AB，AC为边，
∵ABD2C是平行四边形，
∴BD2＝AC＝2，
故答案为：2或25
四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
8．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∠B＝45°
∴∠C+∠B＝180°
∴∠C＝135°
∵DE＝DA，AD⊥CD
∴∠E＝45°
∵∠E+∠C＝180°
∴AE∥BC，且AB∥CD
∴四边形ABCE是平行四边形
∴AE＝BC
（2）∵四边形ABCE是平行四边形
∴AB＝CE＝3
∴AD＝DE＝AB﹣CD＝2
∴四边形ABCE的面积＝3×2＝6
五．菱形的性质（共6小题）
9．【解答】解：连结BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC=12S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴12×5×PE+12×5×PF＝12，
∴PE+PF=245，
故选：B．

10．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OD=12BD=12×6＝3，OA=12AC=12×8＝4，AC⊥BD，
由勾股定理得，AD=OD2+OA2=32+42=5，
∵OE＝CE，
∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，
∴OE∥AD，
∵AO＝OC，
∴OE是△ADC的中位线，
∴OE=12AD=12×5＝2.5，
故选：B．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣80°＝100°；
故答案为：100．
12．【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为12×2×4＝4．
故答案为：4．
13．【解答】解：过A1作A1C⊥x轴于C，
∵四边形OAA1B是菱形，
∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，
∴A1C=32，AC=12，
∴OC＝OA+AC=32，
在Rt△OA1C中，OA1=OC2+A1C2=3，
∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，
∴∠A3A2B1＝90°，
∴∠A2B1A3＝60°，
∴B1A3＝23，A2A3＝3，
∴OA3＝OB1+B1A3＝33=（3）3
∴菱形OA2A3B2的边长＝3＝（3）2，
设B1A3的中点为O1，连接O1A2，O1B2，
于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B1=3=（3）1，
∴过点B1，B2，A2的圆的圆心坐标为O1（0，23），
∵菱形OA3A4B3的边长为33=（3）3，
∴OA4＝9＝（3）4，
设B2A4的中点为O2，
连接O2A3，O2B3，
同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（3）2，
∴过点B2，B3，A3的圆的圆心坐标为O2（﹣3，33），…以此类推，菱形菱形OA2019A2020B2019的边长为（3）2019，
OA2020＝（3）2020，
设B2018A2020的中点为O2018，连接O2018A2019，O2018B2019，
求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（3）2018，
∴点O2018是过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心，
∵2018÷12＝168…2，
∴点O2018在射线OB2上，
则点O2018的坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），
即过点B2018，B2019，A2019的圆的圆心坐标为（﹣（3）2018，（3）2019），
故答案为：（﹣（3）2018，（3）2019）．

14．【解答】解：如图，连接AC，
∵E，F分别是AD，DC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD为菱形，BD＝4，
∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2，
∴AB=AO2+BO2=13，
∴周长为413，
故答案为：413．

六．矩形的性质（共5小题）
15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD=12BD，OC=12AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
∵x＞0，
∴DE=5，AC＝65，
∴CD=DE2+CE2=(5)2+52=30，
∴AD=AC2-CD2=(65)2-(30)2=56，
故选：A．
16．【解答】解：①当AD＝DM时．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，
∴BD=CD2+BC2=5，
∴BM＝BD﹣DM＝5﹣4＝1，
∵ME⊥BC，DC⊥BC，
∴ME∥CD，
∴BMBD=MECD，
∴15=ME3，
∴ME=35．
②当M′A＝M′D时，易证M′E′是△BDC的中位线，
∴M′E′=12CD=32，
故选：C．

17．【解答】解：∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，
∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，
∵点F2是CF1的中点，
∴△EF1F2的面积等于12，
同理可得△EFn﹣1Fn的面积为12n-1，
∵△BCFn的面积为2×12n÷2=12n，
∴△EFnB的面积为2+1﹣1-12-⋯-12n-1-12n=2﹣（1-12n）=2n+12n．
故答案为：2n+12n．
18．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于G，

∴四边形ABGE是矩形，
∴AB＝EG＝3，AE＝BG＝2t，
∵BF＝EF＝5﹣t，FG＝|2t﹣（5﹣t）|＝|3t﹣5|，
∴EF2＝FG2+EG2，
∴（5﹣t）2＝（3t﹣5）2+9，
∴t=5±74
故答案为：5±74．
19．【解答】解：（1）∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
在△AOM和△CON中，
∠M=∠N∠AOM=∠CONAO=CO，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）如图所示，连接CE，

∵MN是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，则DE＝6﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，
∴Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即32+（6﹣x）2＝x2，
解得x=154，
即AE的长为154．
故答案为：154．
七．正方形的性质（共2小题）
20．【解答】解：∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形，
∴A1D1∥A2C1，
∴A1D1A2C1=A0A1A0A2，
∴A1D12=11+2，
∴A1D1=23，
同理可得：A2D2=43，
∴S1＝1-12×1×23=40-13×40，S2＝4-13×4，S3＝42-13×42，…，Sn＝4n﹣1-13×4n﹣1=23×4n﹣1，
∴S2019=23×42018，
故答案为：23×42018．
21．【解答】解：①解法一：如图1，在EF上取一点G，使FG＝FP，连接BG、PG，

∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
∵BF=EF∠BFG=∠EFPFG=FP，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；
解法二：如图2，连接AE，∵∠ABC＝∠APE＝90°，

∴A、B、E、P四点共圆，
∴∠EAP＝∠PBC＝45°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP＝PE，
故①正确；
②如图3，连接CG，由①知：PG∥AB，PG＝AB，

∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴CE=2CG=2PD；
故②正确；
③如图4，连接AC交BD于O，由②知：∠CGF＝∠GFD＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠COF＝90°，
∴四边形OCGF是矩形，
∴CG＝OF＝PD，
∴12BD＝OB＝BF﹣OF＝BF﹣PD，
故③正确；
④如图4中，在△AOP和△PFE中，
∵∠AOP=∠EFP=90°∠APF=∠PEFAP=PE，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴S△AOP＝S△PEF，
∴S△ADP＜S△AOP＝S△PEF，
故④不正确；
本题结论正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
八．正方形的判定（共1小题）
22．【解答】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN=12AB＝FM，ME=12CD＝NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，
∴平行四边形EMFN是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，
则∠MEN＝90°，
∴菱形EMFN是正方形；
故选：A．
九．中点四边形（共1小题）
23．【解答】证明：∵E、G是AB和AC的中点，
∴EG=12BC=12×25=5，
同理HF=12BC=5，
EH＝GF=12AD=12×25=5．
∴四边形EGFH的周长是：4×5=45．
故答案为：45．
一十．四边形综合题（共8小题）
24．【解答】（1）证明：如图1中，

证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BG⊥DE．

（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．

由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH（SAS），
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴HK=2CH，
∴BH﹣DH＝BH﹣BK＝KH=2CH．

②如图3﹣1中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．

由（1）可知，BH＝DE，且CE＝CH＝1，EH=2CH，
∵BC＝3，
∴BD=2BC＝32，
设DH＝x，则BH＝DE＝x+2，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x+2）2+x2＝（32）2，
解得x=-2+342或-2-342（舍弃）．

如图3﹣2中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．

设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴BH＝DH﹣HG＝x-2，
在Rt△BDH中，∵BH2+DH2＝BD2，
∴（x-2）2+x2＝（32）2，
解得x=2+342或2-342（舍弃），
综上所述，满足条件的DH的值为34+22或34-22．
25．【解答】（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG．

②证明：如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T．
∵∠FDC＝∠FGC＝90°，
∴C，F，D，G四点共圆，
∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠DGT＝90°，
∴∠GDT＝∠DTG＝45°，
∴GD＝GT，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠TGC，
∵GF＝GC，
∴△GDF≌△GTC（SAS），
∴DF＝CT，
∴CD﹣DF＝CD﹣CT＝DT=2DG．

（2）解：当点F在线段AD上时，如图1中，
∵S2S1=1325，
∴可以假设S2＝13k，S1＝25k，
∴BC＝CD＝5k，CE＝CG=13k，
∴CF=26k，
在Rt△CDF中，DF=CF2-CD2=k，
∴DF＝CT=k，DT＝4k
∴DG＝GT＝22k，
∴S3＝S△GFC+S△DFG=12×13k×13k+12×k×2k=152k，
∴S3S1=152k25k=310．
当点F在AD的延长线上时，同法可得，S3＝S△DCF+S△FGC=12×5k×k+12×13k×13k=9k，

∴S3S1=925，
综上所述，S3S1的值为310或925．
26．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，即∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，又AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH；
（2）∵∠EGF＝∠BCD＝90°，
∴C、E、G、F四点共圆，
∵四边形BEHF是平行四边形，M为BH中点，
∴M也是EF中点，
∴M是四边形GECF外接圆圆心，
则GM的最小值为圆M半径的最小值，
∵AB＝3，BC＝2，
设BE＝x，则CE＝2﹣x，
同（1）可得：∠CBF＝∠BAE，
又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴ABBC=BECF，即32=xCF，
∴CF=2x3，
∴EF=CE2+CF2=139x2-4x+4，
设y=139x2-4x+4，
当x=1813时，y取最小值1613，
∴EF的最小值为41313，
故GM的最小值为21313．

27．【解答】（1）证明：∵AP⊥BM，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP+∠BAP＝90°，
∵∠BAP+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ABP，
∵CE⊥AC，
∴∠BAM＝∠ACE＝90°，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△CAE（ASA），
∴CE＝AM；
（2）过点E作CE的垂线交BC于点F，
∴∠FEC＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠FCE＝45°，
∴∠CFE＝∠FCE＝45°，
∴CE＝EF，∠EFN＝135°，
∵四边形AMBG是平行四边形，
∴AM＝BG，∠ABG＝∠BAC＝90°，
∴∠GBN＝∠ABG+∠ABC＝135°，
∴∠GBN＝∠EFN，
由（1）得△ABM≌△CAE，
∴AM＝CE，
∴BG＝CE＝EF，
∵∠BNG＝∠FNE，
∴△GBN≌△EFN（AAS），
∴GN＝EN，
∵AG∥BM，
∴∠GAE＝∠BPE＝90°，
∴AN=12GE，
∴GEAN=2；
（3）如图，延长GM交BC于F，连接AF，
在平行四边形ABMG中，AB∥GM，△ABM≌△MGA，
∴∠AMG＝∠BAC＝90°，
∴∠GMC＝∠ACE＝90°，
∴GF∥CE，
∵AM＝MC，
∴BF＝CF，
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC，AF=12BC，
∵CNBC=18，
设CN＝x，则BC＝8x，AF＝FC＝4x，FN＝3x，
∴在Rt△AFN中，AN=AF2+FN2=5x，
在Rt△ABM中，
AB=22BC=22×8x=42x，AM=12AB=22x，
∴BM=AB2+AM2=(42x)2+(22x)2=210x，
∴AG=BM=210x，
由（1）知△ABM≌△CAE，
∴△CAE≌△MGA，
∴AE＝AG，
在Rt△AEG中，EG=AE2+AG2=2AG=2×210x=45x，
∴GEAN=45x5x=455．


28．【解答】（1）证明：如图1中，

在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，
∴四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∵∠DAB＝∠D′AB′＝90°，
∴∠DAD′＝∠BAB′，
∵AD＝AB，AD′＝AB′，
∴△ADD′≌△ABB′（SAS），
∴DD′＝BB′．

（2）①解：如图2中，结论：CA′=2BM，∠BPC＝45°．

理由：设AC交BP于O．
∵四边形ABCD，四边形A′B′CD′都是正方形，
∴∠MA′A＝∠DAC＝45°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝45°，
∴∠AMA′＝90°，
∴AA′=2AM，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=2AB，
∴AA'AM=ACAB=2，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△AA′C∽△MAB，
∴A'CBM=AA'AM=2，∠A′CA＝∠ABM，
∴CA′=2BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝45°，即∠BPC＝45°．

②解：如图3中，设AC交BP于O．

在菱形ABCD和菱形A′B′C′D′中，∵∠BAD＝∠B′A′D′＝60°，
∴∠C′A′B′＝∠CAB＝30°，
∴∠A′AC＝∠MAB，
∵MA′＝MA，
∴∠MA′A＝∠MAA′＝30°，
∴AA′=3AM，
在△ABC中，∵BA＝BC，∠CAB＝30°，
∴AC=3AB，
∴AA'AM=ACAB=3，
∵∠A′AC＝∠MAB，
∴△A′AC∽△MAB，
∴A'CBM=AA'AM=3，∠ACA′＝∠ABM，
∴A′C=3BM，
∵∠AOB＝∠COP，
∴∠CPO＝∠OAB＝30°，即∠BPC＝30°．

③如图4中，过点A作AH⊥A′C于H．

由题意AB＝BC＝CD＝AD＝2，可得AC=3AB＝23，
在Rt△A′AH中，A′H=12AA′＝1，A'H=3AH=3，
在Rt△AHC中，CH=AC2-AH2=(23)2-12=11，
∴A′C＝A′H+CH=3+11或A′C=11-3
由②可知，A′C=3BM，
∴BM＝1+333或333-1．
29．【解答】解：（1）BP+QC＝EC；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP，
∴∠PEQ+∠GEH＝90°，
∵QH⊥GD，
∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，
∴∠PEQ＝∠G，
又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°，
∴∠EPQ＝∠GED，
在△PEQ和△EGD中，∠EPQ=∠GEDEP=EG∠PEQ=∠G，
∴△PEQ≌△EGD（ASA），
∴PQ＝ED，
∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，
即BP+QC＝EC；
故答案为：BP+QC＝EC；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
由题意得：∠PEG＝90°，EG＝EP，
∴∠PEQ+∠GEH＝90°，
∵QH⊥GD，
∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，
∴∠PEQ＝∠G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB＝90°，BC＝DC，
∴∠EPQ+∠PEC＝90°，
∵∠PEC+∠GED＝90°，
∴∠GED＝∠EPQ，
在△PEQ和△EGD中，∠EPQ=∠GEDEP=EG∠PEQ=∠G，
∴△PEQ≌△EGD（ASA），
∴PQ＝ED，
∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，
即BP+QC＝EC；
（3）分两种情况：
①当点P在线段BC上时，点Q在线段BC上，
由（2）可知：BP＝EC﹣QC，
∵AB＝3DE＝6，
∴DE＝2，EC＝4，
∴BP＝4﹣1＝3；
②当点P在线段BC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图3所示：
同（2）可得：△PEQ≌△EGD（AAS），
∴PQ＝DE＝2，
∵QC＝1，
∴PC＝PQ﹣QC＝1，
∴BP＝BC﹣PC＝6﹣1＝5；
综上所述，线段BP的长为3或5．

30．【解答】（1）①解：△AEG是等边三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD=12∠BAD＝60°，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∵GH∥DC，
∴∠AGE＝∠ADC＝60°，
∴∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，
∴△AEG是等边三角形；
②证明：∵△AEG是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠DCF＝60°＝∠CAD，
在△AED和△CFD中，AD=CD∠EAD=∠FCDAE=CF，
∴△AED≌△CFD（SAS）
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°，
∴∠CDF+∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（2）解：△DEF是等边三角形；理由如下：
同（1）①得：△AEG是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD=12∠BAD＝60°，
∴∠FCD＝60°＝∠CAD，
在△AED和△CFD中，AD=CD∠EAD=∠FCDAE=CF，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝60°，
∴∠CDF﹣∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
31．【解答】解：（1）OE＝OD，OE⊥OD；理由如下：
由旋转的性质得：AF＝AC，∠AFE＝∠ACB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠FAC＝45°，
∴∠ACF＝∠AFC=12（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DCF═∠EFC＝22.5°，
∵∠FEC＝90°，O为CF的中点，
∴OE=12CF＝OC＝OF，
同理：OD=12CF，
∴OE＝OD＝OC＝OF，
∴∠EOC＝2∠EFO＝45°，∠DOF＝2∠DCO＝45°，
∴∠DOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴OE⊥OD；
（2）当45°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，理由如下：
连接CE，DF，如图所示：

在正方形ABCD中，AB＝AD
∴AD＝AE
∵O为CF的中点，
∴OC＝OF
∵AF＝AC
∴∠ACF＝∠AFC
∵∠DAC＝∠EAF
∴∠DAC﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE
∴∠EAC＝∠DAF
在△ACE和△AFD中，AC=AF∠EAC=∠DAFAD=AE，
∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，∠ECA＝∠DFA
又∵∠ACF＝∠AFC
∴∠ACF﹣∠ECA＝∠AFC﹣∠DFA，
∴∠ECO＝∠DFO，
在△EOC和△DOF中，EC=DF∠ECO=∠DFOCO=FO，
∵EC＝DF，∠ECO＝∠DFO，CO＝FO
∴△EOC≌△DOF（SAS）
∴OE＝OD．
连接AO，则AO⊥CF，
∴∠AOC＝∠ADC＝90°，
∴A、C、O、D四点共圆，
∴∠AOD＝∠ACD＝45°，
同理A、E、O、F四点共圆，
∴∠AOE＝∠AFE＝45°，
∴∠DOE＝45°+45°＝90°，
∴OD⊥OE．
（3）连接AO，如图3所示：
∵AC＝AF，CO＝OF，
∴AO⊥CF，
∴∠AOC＝90°，
∴点O在以AC为直径的圆上运动，
∵α＝360°，
∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，
∵AC=2AB=2×42=8，
∴点O经过的路径长为：πd＝8π．