2020-2021学年河北省沧州市八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2020-2021学年河北省沧州市八年级（上）期末数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年河北省沧州市八年级（上）期末数学试卷





一、选择题：共10小题，每小题3分


1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）


A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3





2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）


A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．圆





3．已知1≤a≤，化简+|a﹣2|的结果是（ ）


A．2a﹣3B．2a+3C．3D．1





4．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）





A．36°B．60°C．72°D．108°





5．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图，则图中阴影部分的面积之和等于（ ）





A．a2B．0.25a2C．0.5a2D．2





6．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）


A．10B．2C．10或2D．无法确定





7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）





A．5个B．4个C．3个D．2个





8．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（ ）


[来源:Z*xx*k.Cm]


A．7.5°B．10°C．15°D．18°





9．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（ ）





A．①B．②C．①②D．①②③





10．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）


A．50B．50或40C．50或40或30D．50或30或20








二、填空题：共7小题，每小题3分


11．计算= ．





12．若=3﹣x，则x的取值范围是 ．





13．已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为 ．（结果保留根号）





14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 ．








15．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为 度．








16．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．








17．如图，∠BOC=10°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．











三、解答题：共8小题，共69分


18．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．





19．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足+|b﹣4|=0，求该直角三角形的斜边长．





20．如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF．








21．观察下列等式：


①=1×3；②=3×5；③=5×7；


…


根据上述规律解决下列问题：


（1）完成第④个等式： = × ；


（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．





22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．说明：


（1）CD=EB；


（2）AB=AF+2EB．








23．阅读下列材料，然后回答问题：


在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；


．以上这种化简过程叫做分母有理化．


还可以用以下方法化简：．


（1）请用其中一种方法化简；


（2）化简：．





24．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？








25．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．


（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？


（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．











2020-2021学年河北省沧州市八年级（上）期末数学试卷


参考答案与试题解析





一、选择题：共10小题，每小题3分


1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）


A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3


【考点】二次根式有意义的条件．


【分析】二次根式的被开方数是非负数．


【解答】解：依题意，得


3﹣x≥0，


解得，x≤3．


故选：D．


【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．





2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）


A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．圆


【考点】中心对称图形；轴对称图形．


【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．


【解答】解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；


B、只是中心对称图形，不合题意；


C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．


故选A．


【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：


轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．





3．已知1≤a≤，化简+|a﹣2|的结果是（ ）


A．2a﹣3B．2a+3C．3D．1


【考点】二次根式的性质与化简．


【分析】先根据二次根式的性质把原式化为|a﹣1|+|a﹣2|，再根据绝对值的性质化键即可．


【解答】解： +|a﹣2|


=+|a﹣2|


=|a﹣1|+|a﹣2|


∵1≤a≤，


∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，


∴原式=a﹣1+2﹣a=1．


故选：D．


【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简．用到绝对值的性质，熟记性质是解题的关键．





4．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）





A．36°B．60°C．72°D．108°


【考点】等腰三角形的性质．


【分析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．


【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，


∴∠ABC=∠C=72°，


∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，


∴∠1=∠A+∠ABD=72°，


故选：C．


【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．





5．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图，则图中阴影部分的面积之和等于（ ）





A．a2B．0.25a2C．0.5a2D．2


【考点】轴对称的性质．


【分析】只要证明图中的阴影部分与对应的非阴影部分全等，则图中阴影部分的面积就不难计算了．


【解答】解：如图，


[来源:学。科。网]


∵FH∥CD，


∴∠BHF=∠C=90°（同位角相等）；


在△BFH和△BDC中，





∴△BFH∽△BDC（AA），


∴


同理，得


又∵AD=CD，


∴GF=FH，


∵∠BGF=∠BHF=90°，BF=BF，


∴△BGF≌△BHF，


∴S△BGF=S△BHF，


同理，求得多边形GFEJ与多边形HFEI的面积相等，多边形JEDA与多边形IEDC的面积相等，


∴图中阴影部分的面积是正方形ABCD面积的一半，．


故选：C．


【点评】考查了轴对称的性质，解答本题时主要运用了正方形的性质，相似三角形的判定以及相似三角形的性质．所以，在以后的解题中合理的利用已学的定理与性质会降低题的难度．





6．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）


A．10B．2C．10或2D．无法确定


【考点】勾股定理．


【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．


【解答】解：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．


当8为直角边时，根据勾股定理，第三边的长==10；


当8为斜边时，根据勾股定理，第三边的长==2．


故选C．


【点评】此题易忽视的地方：长为8的边可能为直角边，也可能为斜边．





7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）





A．5个B．4个C．3个D．2个


【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理．


【专题】证明题．


【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．


【解答】解：共有5个．


（1）∵AB=AC


∴△ABC是等腰三角形；[来源:ZXXK]





（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线


∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，


∵△ABC是等腰三角形，


∴∠EBC=∠ECB，


∴△BCE是等腰三角形；





（3）∵∠A=36°，AB=AC，


∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，


又BD是∠ABC的角平分线，


∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，


∴△ABD是等腰三角形；


同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．


故选：A．


【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．





8．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（ ）





A．7.5°B．10°C．15°D．18°


【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．


【专题】计算题．


【分析】根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出即可．


【解答】解：∵AC=AB，


∴∠B=∠C，


∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+30°=∠AED+α，


∴∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，


∵AE=AD，


∴∠AED=∠ADE=∠C+α，


即∠AED=∠AED+α﹣30°+α，


∴2α=30°，


∴α=15°，


∠DEC=α=15°，


故选C．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．





9．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（ ）





A．①B．②C．①②D．①②③


【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定．


【分析】从已知条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等，边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．


【解答】解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F


∴∠AEB=∠AFC=90°，


∵AB=AC，∠A=∠A，


∴△ABE≌△ACF（第一个正确）


∴AE=AF，


∴BF=CE，


∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，


∴△BDF≌△CDE（第二个正确）


∴DF=DE，


连接AD


∵AE=AF，DE=DF，AD=AD，


∴△AED≌△AFD，


∴∠FAD=∠EAD，


即点D在∠BAC的平分线上（第三个正确）


故选D．





【点评】此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．





10．一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（ ）


A．50B．50或40C．50或40或30D．50或30或20


【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质．


【专题】压轴题；分类讨论．


【分析】本题中由于等腰三角形的位置不确定，因此要分三种情况进行讨论求解，①如图（1），②如图（2），③如图（3），分别求得三角形的面积．


【解答】解：如图四边形ABCD是矩形，AD=18cm，AB=16cm；


本题可分三种情况：


①如图（1）：△AEF中，AE=AF=10cm；


S△AEF=•AE•AF=50cm2；








②如图（2）：△AGH中，AG=GH=10cm；


在Rt△BGH中，BG=AB﹣AG=16﹣10=6cm；


根据勾股定理有：BH=8cm；


∴S△AGH=AG•BH=×8×10=40cm2；





③如图（3）：△AMN中，AM=MN=10cm；


在Rt△DMN中，MD=AD﹣AM=18﹣10=8cm；


根据勾股定理有DN=6cm；


∴S△AMN=AM•DN=×10×6=30cm2．


故选C．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论．





二、填空题：共7小题，每小题3分


11．计算= ．


【考点】二次根式的混合运算．


【专题】计算题．


【分析】先进行二次根式的乘法运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．


【解答】解：原式=2﹣﹣


=2﹣﹣


=﹣．


故答案为﹣．


【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．





12．若=3﹣x，则x的取值范围是 x≤3 ．


【考点】二次根式的性质与化简．


【分析】根据二次根式的性质得出3﹣x≥0，求出即可．


【解答】解：∵=3﹣x，


∴3﹣x≥0，


解得：x≤3，


故答案为：x≤3．


【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时， =a，当a＜0时， =﹣a．





13．已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为 4+2 ．（结果保留根号）


【考点】等腰直角三角形．


【分析】设等腰直角三角形的直角边长x，根据面积为2建立方程求出x的值，再由勾股定理求出斜边的长就可以求出周长．


【解答】解：设等腰直角三角形的直角边长x，由题意，得=2，


解得：x=2，


在等腰直角三角形中，由勾股定理，得


斜边==2．


∴三角形的周长为：2+2+2=4+2．


故答案为：4+2．


【点评】本题考查了等腰直角三角形，用到的知识点是三角形的面积和周长公式、勾股定理，求出三角形的各边长是关键．





14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 8 ．





【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．


【专题】计算题．


【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．


【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，


∴DE=AC=5，


∴AC=10．


在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得


CD===8．


故答案是：8．


【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．





15．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为 110 度．





【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．


【分析】利用HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BCA=∠DCA，利用已知求得∠BCA=55°，所以∠BCD=2∠BCA=110°．


【解答】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，且CA=CA


∴△ABC≌△ADC


∴∠BCA=∠DCA


∵∠BAC=35°，∠ABC=90°


∴∠BCA=55°


∴∠BCD=2∠BCA=110°．


故答案为：110°．


【点评】此题主要考查全等三角形的判定，常用的方法有AAS、ASA、SSS、SAS、HL，做题时注意灵活运用．





16．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 4 ．





【考点】角平分线的性质．


【专题】压轴题．


【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．


【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，


∴∠DCE=∠DCF，


∵DE⊥AC，DF⊥BC，


∴∠DEC=∠DFC=90°，


在△DEC和△DFC中，


（AAS）


∴△DEC≌△DFC，


∴DF=DE=2，


∴S△BCD=BC×DF÷2


=4×2÷2


=4


答：△BCD的面积是4．


故答案为：4．


【点评】（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．


（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握．





17．如图，∠BOC=10°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 8 ．





【考点】等腰三角形的性质．


【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．


【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，


则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，


∵∠BOC=10°，


∴∠A1AB=20°，∠A2A1C=30°，∠A3A2B=40°，∠A4A3C=50°，…，


∴10°n＜90°，


解得n＜9．


由于n为整数，故n=8．


故答案为：8．


【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．





三、解答题：共8小题，共69分


18．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．


【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．


【专题】计算题．


【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．


【解答】解：原式=﹣+2+8


=﹣3+2+8


=8﹣．


【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、





19．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足+|b﹣4|=0，求该直角三角形的斜边长．


【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．


【分析】先根据已知条件、算术平方根的性质和绝对值的性质求出a、b，再由勾股定理即可得出结果．


【解答】解：∵+|b﹣4|=0，


∴+|b﹣4|=0，


∴|a﹣3|+|b﹣4|=0，


∴a﹣3=0，b﹣4=0，


∴a=3，b=4，


∴直角三角形的斜边长===5．


【点评】本题考查了勾股定理、绝对值的性质以及算术平方根的性质；熟练掌握勾股定理的运用，根据题意求出a、b是解决问题的关键．





20．如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF．





【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．


【专题】证明题．


【分析】由已知可利用SAS判定△ABC≌△AED，根据全等三角形的对应边相等可得到AC=AD，即△ACD是等腰三角形，已知AF⊥CD，则根据等腰三角形三线合一的性质即可推出CF=DF．


【解答】证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，


∴△ABC≌△AED（SAS），


∴AC=AD，


②∵AF⊥CD，AC=AD，


∴CF=FD（三线合一性质）．


【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．





21．观察下列等式：


①=1×3；②=3×5；③=5×7；


…


根据上述规律解决下列问题：


（1）完成第④个等式： = 7 × 9 ；


（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．


【考点】二次根式的性质与化简．


【专题】规律型．


【分析】根据规律化简即可．


【解答】解：（1）∵①==1×3；


②==3×5；


③==5×7；


…


∴==7×9；


故答案为：7，9；





（2）由（1）知，第n个等式=（2n﹣1）（2n+1），


证明如下：．


【点评】本题主要考查了二次根式的性质及化简，根据已知找出规律是解答此题的关键．





22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．说明：


（1）CD=EB；


（2）AB=AF+2EB．





【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．


【专题】证明题；图形的全等．


【分析】（1）由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DE=DC，再由BD=DF，利用HL得到三角形FCD与三角形BDF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；


（2）利用AAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=AE，由AB=AE+EB，等量代换即可得证．


【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，


∴DE=DC，


在Rt△CFD和Rt△EBD中，


，


∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），


∴CD=EB；


（2）在△ACD和△AED中，


，


∴△ACD≌△AED（AAS），


∴AC=AE，


∴AB=AE+EB=AC+EB=AF+FC+EB=AF+2EB．


【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．





23．阅读下列材料，然后回答问题：


在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；


．以上这种化简过程叫做分母有理化．


还可以用以下方法化简：．


（1）请用其中一种方法化简；


（2）化简：．


【考点】分母有理化．


【专题】阅读型．


【分析】（1）运用第二种方法求解，


（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案，


【解答】解：（1）原式==；


（2）原式=+++…


=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1


=3﹣1


【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．





24．在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？





【考点】勾股定理的逆定理．


【专题】应用题．


【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．


【解答】解：由题意得，


OB=12×1.5=18海里，


OA=16×1.5=24海里，


又∵AB=30海里，


∵182+242=302，即OB2+OA2=AB2


∴∠AOB=90°，


∵∠DOA=40°，[来源:学_科_网]


∴∠BOD=50°，


则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°．


【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．





25．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．


（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？


（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．


【考点】分式方程的应用．


【专题】压轴题．


【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；


（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．


【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意，得 ．


解得 x=90．


经检验，x=90是原方程的根．


∴x=×90=60．


答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．


（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，


则有．


解得 y=36．


需要施工费用：36×（8.4+5.6）=504（万元）．


∵504＞500．


∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．


【点评】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强．