河北省沧州市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)

这是一份河北省沧州市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）△ABC的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．
A．三条边垂直平分线B．三条中线
C．三条角平分线D．三条高
2．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4图象的与y轴的交点是（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，4）C．（0，2）D．（0，﹣1）
3．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3
4．（3分）如果线段a＝2cm，b＝18cm，那么a和b的比例中项是（ ）
A．3cmB．4cmC．±6cmD．6cm
5．（3分）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝3D．x＝﹣1
6．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（ ）
A．CD2＝AD•DBB．AC2＝BC•CDC．D．
8．（3分）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为（ ）米．
A．51B．50C．20D．1
9．（3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ）
A．B．25C．35D．63
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（ ）
A．（4，4）B．（4，3）C．（4，2）D．（3，4）
11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．1C．D．
12．（3分）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9B．7C．11D．8
13．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．0＜a＜1D．﹣1＜a＜0
14．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1B．sin2α+1C．+1D．cs2α+1
15．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数三年总计8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．50%B．40%C．30%D．20%
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（2，0），且对称轴为直线，有下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+3c＜0；
③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．
其正确结论有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）
17．（4分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0．若m＝3，则此方程根为 ；若此方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ；
18．（4分）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ ．
19．（4分）在矩形ABCD中，E是CD边上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则＝ ；sin∠DCA＝ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx与反比例函数的图象，并根据图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围．
21．（10分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 14
15 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长．
23．（12分）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米，求此时无人机的高度？
（参考数据：tan75°＝2+，tan15°＝2﹣．计算结果保留根号）
24．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长．
25．（13分）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），下表是某4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系（6≤x＜9）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）
2021-2022学年河北省沧州市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1—10小题，每小题3分：11—16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代码填在下面的表格内）
1．（3分）△ABC的外接圆圆心是该三角形（ ）的交点．
A．三条边垂直平分线B．三条中线
C．三条角平分线D．三条高
【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【解答】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边中垂线的交点，
故选：A．
2．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4图象的与y轴的交点是（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，4）C．（0，2）D．（0，﹣1）
【分析】令x＝0，求出二次函数y＝﹣x2+2x+4的函数值，即可得出函数图象与y轴的交点．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣x2+2x+4＝4，
∴二次函数y＝﹣x2+2x+4图象的与y轴的交点是（0，4），
故选：B．
3．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝3
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故选：D．
4．（3分）如果线段a＝2cm，b＝18cm，那么a和b的比例中项是（ ）
A．3cmB．4cmC．±6cmD．6cm
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是xcm，则
x2＝2×18，
解得x＝±6（线段是正数，负值舍去）．
故选：D．
5．（3分）抛物线y＝2（x+3）（x﹣1）的对称轴是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝1C．x＝3D．x＝﹣1
【分析】利用对称性，结合与x轴的两个交点坐标推导即可．
【解答】解：∵y＝2（x+3）（x﹣1）与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
∴对称轴为x＝
＝
＝﹣1，
故选：D．
6．（3分）下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩（单位：cm）的平均数和方差，要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛，最合适的运动员是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数最小，
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，
∵丙的方差最小，
∴选择丙参赛．
故选：C．
7．（3分）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（ ）
A．CD2＝AD•DBB．AC2＝BC•CDC．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断即可．
【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；
由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；
由得不出结论；
由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．
故选：B．
8．（3分）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高度为（ ）米．
A．51B．50C．20D．1
【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的高度．
【解答】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，
∴礼炮升到最高点的高度是51米．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（ ）
A．B．25C．35D．63
【分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AEF＝S△ABC．
∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，
∴S△ABC＝25．
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（ ）
A．（4，4）B．（4，3）C．（4，2）D．（3，4）
【分析】连接DB、OA并延长交于点P，根据位似中心的概念得到点P为位似中心，根据平面直角坐标系解答即可．
【解答】解：连接DB、OA并延长交于点P，
则点P为位似中心，
由平面直角坐标系可知，点P的坐标为（4，2），
故选：C．
11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
12．（3分）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（ ）
A．9B．7C．11D．8
【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
【解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，得
CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．
则有9﹣x+10﹣x＝8，
解得：x＝5.5．
所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．
故选：C．
13．（3分）已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（a是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a＞0C．0＜a＜1D．﹣1＜a＜0
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限时，②当点A（a，y1），B（a+1，y2）在不同象限时．
【解答】解：∵k＝a2+1＞0，
∴反比例函数y＝（a是常数）的图象在一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小，
①当A（a，y1），B（a+1，y2）在同一象限，
∵y1＜y2，
∴a＞a+1，
此不等式无解；
②当点A（a，y1）、B（a+1，y2）在不同象限，
∵y1＜y2，
∴a＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜0，
故选：D．
14．（3分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1B．sin2α+1C．+1D．cs2α+1
【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴OC2＝（）2+12＝．
故选：A．
15．（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数三年总计8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．50%B．40%C．30%D．20%
【分析】由全市5G用户数年平均增长率为x，可得出该市2020年底有5G用户2（1+x）万户，2021年底有5G用户2（1+x）2万户，根据计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：∵该市2019年底有5G用户2万户，全市5G用户数年平均增长率为x，
∴该市2020年底有5G用户2（1+x）万户，2021年底有5G用户2（1+x）2万户，
依题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
整理得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．
故选：B．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过点（2，0），且对称轴为直线，有下列结论：
①abc＞0；
②4a+2b+3c＜0；
③无论a，b，c取何值，抛物线一定经过．
其正确结论有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【分析】由对称轴可得b＝﹣a，抛物线还经过点（﹣1，0），抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，由此可得c＜0，c＝﹣2a，再结合选项进行判断即可．
【解答】解：∵对称轴为直线，
∴﹣＝，
∴b＝﹣a，
∵抛物线经过点（2，0），
∴抛物线还经过点（﹣1，0），
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故①符合题意；
∵x＝2时，y＝0，
∴4a+2b+c＝0，
∴4a+2b+c+2c＝2c＜0，
故②符合题意；
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣a，
∴c＝﹣2a，
当x＝＝﹣1，
∴抛物线一定经过．
故③符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）
17．（4分）关于x的方程x2﹣4x+m＝0．若m＝3，则此方程根为 x1＝1，x2＝3 ；若此方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜4 ；
【分析】把m＝3代入方程求出解即可；由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【解答】解：把m＝3代入方程得：x2﹣4x+3＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0，
所以x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3；
∵此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＞0，
解得：m＜4．
故答案为：x1＝1，x2＝3；m＜4．
18．（4分）如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠AIB＝ 125° ；若∠ACB＝a（0°＜a＜90°），则∠DBI＝ 90°﹣α ．
【分析】（1）由三角形的内心的性质可得∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，由外角的性质和圆周角的性质可得∠BID＝∠DBI，由三角形内角和定理和外角定理可求解；
（2）由（1）知∠BID＝∠DBI，根据三角形内角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，
∴∠BID＝∠DBI，
∵∠ACB＝70°，
∴∠ADB＝70°，
∴∠BID＝∠DBI＝＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣∠BID＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125°；
（2）由（1）知∠BID＝∠DBI，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠BID＝∠DBI＝＝＝90°﹣α，
故答案为：90°﹣α．
19．（4分）在矩形ABCD中，E是CD边上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则＝ ；sin∠DCA＝ ．
【分析】根据题意可证明Rt△ADE≌Rt△BCE，得到DE＝CE＝CD＝AB，再证明△CEF∽△ABF，根据相似三角形的性质即可求出的值；设DE＝x，则AE＝CD＝2x，根据勾股定理依次表示出AD，AC，再由sin∠DCA＝即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，△ABE是等边三角形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，AD＝BC，AE＝BE，
∴Rt△ADE≌Rt△BCE（HL），
∴DE＝CE＝CD＝AB，
由四边形ABCD为矩形可得DC∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝，
故答案为：；
设DE＝x，则AE＝CD＝2x，
在Rt△ADE中，
由勾股可得＝＝，
在Rt△ADC中，
由勾股定理可得＝＝，
∴sin∠DCA＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（9分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数的图象都经过点A（m，2）．
（1）求k，m的值；
（2）在图中画出正比例函数y＝kx与反比例函数的图象，并根据图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解．
（2）先画出正比例函数图象，根据图形即可作答．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．
∴m＝3．
∴A（3，2），
将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．
∴k＝．
（2）如图：
∴正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围：x＞3或﹣3＜x＜0．
21．（10分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 14
15 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
（2）上述样本数据的众数是 14万元 ，中位数是 14.5万元 ；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
【分析】（1）根据题目中的数据，可以得到销售额14万元和16万元的天数，然后即可将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据，可以直接写出样本数据的众数，计算出样本数据的中位数；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
【解答】解：（1）由题目中的数据可得，
销售额为14万元的有6天，销售额为16万元的有4天，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）由条形统计图可得，
样本数据的众数是14万元，中位数是（14+15）÷2＝14.5（万元），
故答案为：14万元，14.5万元；
（3）＝14.65（万元），
答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是14.65万元．
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长．
【分析】设OF＝a，连接OC，根据垂径定理得出AE＝EC，CF＝FD，根据勾股定理求出AE，求出AC，根据勾股定理得出CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2，求出82﹣（5+a）2＝52﹣a2，再求出a即可．
【解答】解：设OF＝a，连接OC，
∵AB⊥CD，OE⊥AC，OE和OF过圆心O，
∴AE＝EC，CF＝FD，
∵OB＝OC＝OA＝5，
在Rt△OAE中，，
∴AE＝EC＝4，
即AC＝4+4＝8，
在Rt△AFC和Rt△OFC中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2，
即82﹣（5+a）2＝52﹣a2，
解得：a＝1.4，
即OF＝1.4．
23．（12分）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15米，求此时无人机的高度？
（参考数据：tan75°＝2+，tan15°＝2﹣．计算结果保留根号）
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，再由锐角三角函数定义表示出AE的长，然后表示求出CF＝BE的长，进而得到AE+BE＝AE+DF＝45，求得DE即可．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：
则四边形BCFE是矩形，
∴CF＝BE，EF＝BC＝15米，
由题意得：AB＝45米，∠DAE＝75°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴tan∠DAE＝，
∴AE＝＝＝（2﹣）DE，
在Rt△DCF中，∠DCF＝45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF＝DF，
∴BE＝DF，
∵AB＝AE+BE＝AE+DF，
∴（2﹣）DE+DE﹣15＝45，
∴DE＝（30+15）米，
答：此时无人机的高度为（30+15）米．
24．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理，同圆的半径相等和切线的判定定理解答即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，过点B作BN⊥CD于点N，利用三角形的面积和相似三角形的判定与性质求得BM的长；利用证明△BCN≌△BCM，得到CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1；再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求出DN，则结论可求．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO．
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴OC⊥CD．
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CM⊥AB于点M，过点B作BN⊥CD于点N，如图，
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2，
∴×AB•CM＝2，
∴CM＝2．
∵∠ACB＝90°，CM⊥AB，
∴△BCM∽△CAM，
∴，
∴．
∴．
解得：BM＝﹣1或+1（不合题意，舍去），
∴BM＝﹣1．
∵∠BCM+∠CBM＝90°，∠A+∠CBM＝90°，
∴∠A＝BCM．
∵∠BCN＝∠A，
∴∠BCN＝∠BCM，
在△BCN和△BCM中，
，
∴△BCN≌△BCM（AAS）．
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1．
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴，
∴，
解得：DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2．
25．（13分）去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），下表是某4个月的销售记录，每月销售量y（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系（6≤x＜9）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？
（纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴）
【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出x＝3时，销售量y的值，再求政府补贴；
（3）纯收入＝销售总金额﹣成本+政府当月补贴列出函数解析式，根据二次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵每月销售量y与该月销售价x之间成一次函数关系，
∴设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣10x+90（6≤x＜9）；
（2）当x＝8时，y＝﹣10×8+90＝10（万件），
∵a与x之间满足关系式：a＝20%（10﹣x），
∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为：10a＝10×20%（10﹣8）＝4（万元），
答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月的纯收入w万元，
则w＝y[（x﹣6）+0.2（10﹣x）]＝（﹣10x+90）（0.8x﹣4）＝﹣8x2+112x﹣360＝﹣8（x﹣7）2+32，
∵﹣8＜0，6≤x＜9
∴当x＝7时，w最大，最大值为32万元，
答：当销售价定为7时，该月纯收入最大．
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x（元/件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y（万件）
…
30
20
14
5
…
甲
乙
丙
丁
平均数
376
350
376
350
方差s2
12.5
13.5
2.4
5.4
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价
x（元/件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量
y（万件）
…
30
20
14
5
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