2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅰ卷）

2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅰ卷）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知，设集合，且，则

(   )

A. B.1 C.2 D.

3.在中,内角的对边分别为。若,则角的大小为(   )。

A.或 B. C.或 D.

4.已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则等于(   )

A. B. C. D.

5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程,则实数应满足(   )

A. B. C. D.

6.已知函数是偶函数,当时,,则曲线在处的切线方程为(   )

A. B. C. D.

7.的展开式中的系数为(   )

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

8.若，，则(   )

A. B. C. D.

9.若将函数的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(     )

A.   B.
C.   D.

10.已知四棱锥的体积是,底面是正方形,是等边三角形,平面平面,则四棱锥的外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

11.设双曲线的两条渐近线与圆相交于四点，若四边形的面积为12，则双曲线的离心率是(   )

A. B. C.或 D．

12.函数的图象大致为(   )

A. B.

C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知,且,则的最小值为_____________.

14.已知向量.若,则_________________.

15.已知分别是双曲线的左、右焦点，P是抛物线与双曲线的一个交点.若，则抛物线的准线方程为_________.

16.的内角的对边分别为。若,则的面积为_________________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （12分）在等比数列中，，前n项和为是和的等差中项.

（1）求的通项公式；

（2）设，求的最大值.

18. （12分）如图，在三棱柱中，为棱上的动点.

（I）若D为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）若平面平面，且，是否存在点D，使二面角的平面角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

19. （12分）某市工会组织了一次工人综合技能比赛,一共有1 000名工人参加,他们的成绩都分布在内,数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图,规定成绩在76分及76分以上的为优秀.

求图中的值；

估计这次比赛成绩的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)；

某工厂车间有25名工人参加这次比赛,他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致,若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人,求这两人成绩均低于92分的概率.

20. （12分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，焦距为.

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆C有两个不同的交点，设D为直线上一点，且直线的斜率的积为.证明：点D在x轴上.

21. （12分）已知函数的导函数的两个零点为和0.

(1)求的单调区间;

(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,的极坐标为.

写出曲线的直角坐标方程及的直角坐标；

设直线与曲线相交于两点,求的值.

23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）

已知,函数,其中.

(1)求使得等式成立的x的取值范围；

(2)(i)求的最小值.

(ii)求在区间上的最大值.

答案以及解析

一、选择题

1.答案：D

解析：因为，所以在复平面内对应的点为，在第四象限.故选D.

2.答案：D

解析：因为

,且，所以,

所以.故选D.

3.答案：B

解析：,

。,

,由正弦定理得。

4.答案：C

解析：将双曲线C化为标准方程，则，，.由双曲线定义，知 .又，，，，.故选C.

5.答案：A

解析：依题意，，故，解得.

6.答案：A

解析：当时,,则,所以曲线在处的切线方程为.

7.答案：C

解析：因为，的通项为，所以的展开式中的系数为的展开式中的系数为.所以的展开式中的系数为.故选C.

8.答案：D

解析：

得或.

，，，

故选D.

9.答案：B

解析：由题意,将函数的图象向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.

10.答案：A

解析：由已知可得,则,设球心为到平面的距离为,球的半径为,则由,得,解得,所以,,选A.

11.答案：A

解析：本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形是矩形，设点A在第一象限，由，得，则，即，则或3.又因为，所以，则该双曲线的离心率，故选A.

12.答案：C

解析：由，解得，故函数的定义域为.因为函数为奇函数，为偶函数，所以函数为奇函数，故排除A,D；当时，，故排除B.选C.

二、填空题

13.答案：17

解析：，且，

则

当且仅当即且，

此时.

故答案为：17.

14.答案：

解析：由题意可得,因为,所以,即.

15.答案：

解析：将双曲线方程化为标准方程得，则为抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，联立解得(舍去)，即点P的横坐标为.由解得，，解得，抛物线的准线方程为.

16.答案：

解析：因为,所以由余弦定理,得,解得,所以。所以的面积.

三、解答题

17.答案：（1）由题意得，即，设等比数列的公比为q，则有，解得，

.

（2），

设，当或4时，取到最小值，，

的最大值为64.

18.答案：解：（I）证明：连接交于点O，连接.

四边形是平行四边形，

为的中点.

在中，分别为的中点，

为的中位线，即.

又平面，平面，

平面.

（Ⅱ）存在.理由如下：

连接.

，

为菱形，即.

又平面平面，平面平面，

平面.

过点C作的平行线，即两两垂直.

如图，以C为坐标原点，以的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.

，

故，

.

假设存在点D，使二面角的平面角的余弦值为，设，

，

易得平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

，

可取.

由，

解得或.

点D在棱上，，即.

19.答案：(1)由题意得,解得.

(2)由(1)可得,各分组的频率分别为0.2,0.28,0.32,0.08,0.08,0.04.

平均数的估计值为.

(3)由题意可知,该工厂车间参赛的25人中,成绩在76分及76分以上的三个分组的频率分别为,所以成绩优秀的有5人,其中成绩低于92分的有4人,分别记为,另一人记为.

从5人中任选两人,所有的情况有,共10种情况.

设“这两人成绩均低于92分”为事件,则事件包含的情况有6种.

所以.

20.答案：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，

由题知，

所以，

故椭圆C的方程为.

（Ⅱ）证明：设点，则，

所以直线的斜率.

因为直线的斜率的积为，

所以直线的斜率.

直线的方程为，

直线的方程为，

联立，

得点D的纵坐标为，

因为点M在椭圆C上，所以，则.

所以点D在x轴上.

21.答案：(1).

令,

因为,所以的零点就是的零点,且与符号相同.

又因为,所以当时,,即,

当或时,,即,

所以的单调递增区间是,单调递减区间是.

(2)由(1)知,是的极小值点,所以有

解得,所以.

由(1)可知当时,取得极大值,为,

故在区间上的最大值取和中的最大者.

因为,所以函数在区间上的最大值是.

22.答案：(1)曲线的极坐标方程为,

将代入可得直角坐标方程为.

的直角坐标为.

(2)联立方程与,可得.

则,

所以.

23.答案：(1)由于,故

当时,,

当时,,

所以,使得等式成立的x的取值范围为.

(2)(i)设函数,,

则,,

所以,由的定义知,

即.

(ii)当时,,

当时,.

所以.