2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅱ卷）

2021届高考理科数学模拟预热卷（全国Ⅱ卷）

【满分：150分】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则(   )

A. B. C. D.

2.若，则的终边在(   )

A.第一象限 B.第四象限 C.x轴上 D.y轴上

3.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为，已知且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(   )

A.10% B.20% C.30% D.40%

4.已知等差数列的前项和为,则的值是(   )

A.24 B.48 C.60 D.72

5.已知点，若点P在函数的图象上，则使得的面积为2的点P的个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知数列中,为其前项和,则(   )

A.3 009 B.3 025 C.3 010 D.3 024

7.已知圆柱的上、下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(   )

A. B. C. D.

8.已知椭圆，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为(   )

A. B. C. D.

9.已知奇函数在上是增函数,若,,,则的大小关系为(   )

A.  B.  C.  D.

10.已知正方体的棱长为2，点分别为的中点，则三棱锥的外接球体积为(   )

A. B. C. D.

11.若函数为增函数，则函数的大致图象是(   )

A.  B.

C.  D.

12.已知数列的前n项和为，且，数列满足，若对于任意，不等式都成立，则实数λ的取值范围是(   )

A.  B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量,且,则向量和的夹角是____________,_______________.

14.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是             .

15.若复数满足,其中是虚数单位,则的实部为______________.

16.若满足约束条件则的最大值为_________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. （12分）在中，角的对边分别为，已知.

（1）求的值；

（2）在边上取一点，使得，求的值.

18. （12分）血红蛋白是高等生物体内负责运输氧气的一种蛋白质血红蛋白的值现在多统一采用国际单位制，以每升血液中有血红蛋白多少克为准血红蛋白的正常值因不同人群而有不同的范围，成年男性的是，成年女性的是.成年男性的血红蛋白值低于，成年女性的血红蛋白值低于即为贫血.某医师测得20名成年男性和20名成年女性的血红蛋白值，并将所得数据整理后作出了如下频率分布直方图

（1）求成年男性、成年女性的贫血率

（2）根据贫血情况列出列联表，并判断能否有的把握认为贫血与性别有关系

（3）从贫血的人中按照分层随机抽样的方法抽取6人，现从这6人中选4人到上级医院全面评估其健康状况求其中至少有3名成年女性的概率.

附：

19. （12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合.过且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且.

（1）求的离心率；

（2）设是与的公共点.若，求与的标准方程.

20. （12分）如图，三棱柱中，平面平面和都是正三角形，D是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

21. （12分）已知函数,.

(1) 当时,讨论函数的零点个数；

(2) 若在上单调递增,且求c的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 (α为参数），以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；

(2)若直线l与曲线C相交于两点，求的面积.

23. [选修4 – 5：不等式选讲]（10分）

已知函数.

(1)求不等式的解集.

(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.

答案以及解析

一、选择题

1.答案：C

解析：由已知可得，，又，故选C.

2.答案：D

解析：.当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上.综上，的终边在y轴上，故选D.

3.答案：B

解析：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为，由得，化简得，解得或.又∵该产品的次品率不超过40%，，应取，即这10件产品的次品率为.

4.答案：B

解析：设等差数列的公差为.由题意可得解得则.故选B.

5.答案：C

解析：本题考查直线方程、点到直线的距离公式.由题知，设的高为h，则，解得，即点P到直线的距离为.易知直线的方程为.设点，则，即①或②.由①得或；由②知方程只有一个正实数根，所以点P的个数为3，故选C.

6.答案：B

解析：数列中,,可得,即奇数项为1,偶数项为2,则.故选B.

7.答案：C

解析：设圆柱的底面半径为,高为,由题意得,所以,所以圆柱的表面积为.故选C.

8.答案：C

解析：设，由得，所以因为，所以，得，所以椭圆的离心率.

9.答案：C

解析：由题意: ,

且: ,

据此: ,

结合函数的单调性有: ,

即.本题选择C选项.

10.答案：C

解析：如图所示，在正方体中，连接，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，在中，取中点H，连接，因为为的垂直平分线，所以的外心在上，设为点M，同理可得的外心N，连接，则三棱柱外接球的球心为的中点设为点O，因为，，可得，所以，解得，所以.

11.答案：A

解析：由函数有意义可知且，故为减函数，

又函数为增函数，所以为减函数，故.

又当时，函数单调递减，

且易知函数为偶函数，所以函数的图象为选项A中的图象.

12.答案：A

解析：当时，，当时，，

因为当时，，所以数列的通项公式为，所以.

因为，所以，即，得.

令，则，

易得时，取得最大值，因为，所以的最大值为或，

又，所以，故选A.

二、填空题

13.答案：;6

解析：设向量的夹角为,因为,且,所以,解得.又,所以,所以.

14.答案：120

解析:先安排3个歌舞类节目，它们的次序有四种可能:1，3，5或2，4，6或1，3，6或1，4，6.对于前两种情况，其余节目任意排，共有种排法；对于后两种情况，要注意2个小品类节目不相邻，共有种排法.综上所述，共有120种排法.

15.答案：2

解析：复数的实部是2.

16.答案：15

解析：画出变量满足约束条件的平面区域,如图中阴影部分所示.平移直线至经过直线与的交点时,取得最大值,.

三、解答题

17.答案：（1）在中，因为，

由余弦定理，得，

所以.

在中，由正弦定理，

得，

所以.

（2）在中，因为，

所以为钝角，

而，所以为锐角，

故，则.

因为，所以，

.

从而

.

18.答案：（1）成年男性的贫血率为.
成年女性的贫血率为.
（2）成年男性的贫血人数为，成年女性的贫血人数为.
根据贫血情况可得列联表如下：

所以有的把握认为贫血与性别有关系.
（3）按分层随机抽样的方法抽取的这6人中有成年男性
（人），成年女性（人）
从这6人中选4人，至少有3名成年女性包括1名成年男性、
3名成年女性和4名成年女性两种情况，则至少有3名成年
女性的概率.
19.答案：（1）由已知可设的方程为，其中.

不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为；的纵坐标分别为，故.

由得，即.解得（舍去），.

所以的离心率为.

（2）由（1）知，故.

设，则，，

故.①

由于的准线为，所以，而，故，代入①得

，即，解得（舍去），.

所以的标准方程为，的标准方程为.

20.答案：（1）如图，连接，交于点E，连接，

由于四边形是平行四边形，所以E是的中点.

因为D是的中点，所以.

因为平面平面，

所以平面.

（2）如图，取的中点O，连接，

根据和都是正三角形，得.

又平面平面，平面平面，所以平面，于是.

以O为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

设，则.

所以.

设平面的法向量为，则

，即，令，则，所以.

设平面的法向量为，

则，即，令，则，

所以.

设二面角的大小为，由图易知为锐角，

则，

因此二面角的余弦值为.

21.答案：(1)当时, ,定义域为,

由可得,

令, 则,

由,得,由,得,

所以在上单调递增,在上单调递减,

则 的 最 大 值 为,

且当时, ,当时, ,

由此作出函数的大致图象,如图所示.

由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；

当或 ,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；

当 即时 ,直线与函数的 象 没 有 交 点 ,即 函数无零点.

(2)在上单调递增,即在上恒成立.

设,则 .

①若,则,在上 单 调递减,显 然

在上不恒成立,

②若,则,在上单调递减, 当时, ,故,单调递减,不符合题意.

③若,当时,, 单调递减,

当时 , , 单调递增,

所以,

由 ,得,

设,则,

当时 , , 单调递减,

当时, , 单调递增,

所以,所以,

又,所以,即c的最大值为2.

22.答案：

(1)由，得，得，

故直线l的直角坐标方程为.

由，消去α，得，

故曲线C的普通方程为.

(2)因为圆心到直线l的距离，

所以.

又原点O到直线l的距离，

所以的面积为.

23.答案：(1)原不等式等价于或或

解得或或.

不等式的解集为.

(2)不等式恒成立等价于,

即.

,当且仅当,

即时,等号成立.

,则,解得,

实数的取值范围是.